הוכחת מרובעים

בדף זה נעבור על המשפטים השונים בעזרתם מוכיחים את המרובעים השונים.
לאחר כל קבוצת קישורים יהיה קישור לדף הכולל תרגילי הוכחה של אותו מרובע.

המרובעים שנלמד להוכיח כאן הם: דלתון, טרפז, מקבילית, מעוין, מלבן וריבוע.

מה ההבדל בין מרובע לריבוע?
מרובע זה שם כללי להרבה מאוד צורות שיש להם 4 צלעות.
ריבוע זה סוג מיוחד של מרובע שבו כל הצלעות שוות וכל הזוויות שוות 90 מעלות.

הדף כולל הסבר מילולי שפתוח לכולם והסבר בסרטון שמיועד למנויים באתר.

1.הוכחת דלתון

מרובע המורכב משני משולשים שווה שוקיים הוא דלתון.
כלומר אם הוכחתם שבמרובע שתי זוגות של צלעות סמוכות שוות אז הוכחתם שהמרובע דלתון.

ניתן להוכיח על ידי שוויון צלעות או הישענות על המשפט האומר שאם במשולש תיכון / גובה / חוצה זווית הם ישר אחד אז המשולש הוא משולש שווה שוקיים.

שתי שיטות נפוצות להוכחת דלתון:

1. הוכחה כי ABC≅ ADC.
2. הוכחה כי AC מקיים 2 מתוך 3 התכונות: חוצה זווית של זוויות A ו C, מאונך ל BD, תיכון ל BD.

• דלתון – דף הכולל תרגילי הוכחות של דלתון (ותרגילים אחרים).

2.הוכחת טרפז וטרפז שווה שוקיים

על מנת להוכיח שמרובע הוא טרפז:

1. מוכיחים שהמרובע כולל זוג ישרים מקבילים.
2. שזוג הישרים הנוסף במרובע אינו מקביל.

על מנת להוכיח מרובע הוא טרפז שווה שוקיים צריך להוכיח קודם כל שהמרובע הוא טרפז ולאחר מכן יש 3 אפשרויות:

1. להוכיח שהשוקיים שוות.
2.  טרפז שבו זוויות הבסיס שוות הוא טרפז שווה שוקיים.
3. טרפז שבו האלכסונים שווים הוא טרפז שווה שוקיים.

• הוכחת טרפז – כולל תרגילים.
• טרפז – תאוריה ותרגילים.
• טרפז שווה שוקיים – תאוריה ותרגילים.

3.הוכחת מקבילית

על מנת להוכיח שמרובע הוא מקבילית יש 5 משפטי הוכחה:

1. מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.
2. מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית.
3. מרובע שיש לו זוג אחד של צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית.
4. מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית.
5. מרובע שבו יש שתי זוגות של זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.

• מקבילית – הדף המרכזי על הצורה, כולל תאוריה ותרגילים.
• הוכחת מקבילית – דף עם תרגילי הוכחה.

4.הוכחת מעוין

מעוין הוא סוג של מקבילית, רק עם יותר תכונות.

יש שתי דרכים להוכיח שמרובע הוא מעוין:

1. להוכיח שהמרובע הוא מקבילית על פי אחד מ 5 המשפטים שלמעלה ואז להוכיח גם את אחד מהדברים הבאים:
   – שיש זוג אחד של צלעות סמוכות שוות.
   – שאחד מהאלכסונים הוא גם חוצה זווית.
   – שאחד מהאלכסונים הוא גם אנך לאלכסון השני.
2. להוכיח שלמרובע יש 4 צלעות שוות. בדרך זו אין צורך להוכיח שהמרובע הוא מקבילית.

איך זוכרים את כל האופציות שקיימות באפשרות 1?

כל האופציות הללו קשורות למשולש שווה שוקיים. אלכסון המקבילית הוא תיכון. וכאשר המרובע הופך למעוין נוספות לו תכונות משולש שווה שוקיים.

• הוכחת מעוין – דף עם תרגילי הוכחה.
• מעוין – הדף המרכזי על הצורה, כולל תאוריה ותרגילים.

5.הוכחת מלבן

מלבן הוא סוג של מקבילית, רק עם יותר תכונות.

הבהרה: מלבן הוא לא מעוין והוא לא כולל את תכונות המעוין.

יש שתי דרכים להוכיח שמרובע הוא מלבן:

1. להוכיח שהמרובע הוא מקבילית ואז להוכיח שהמקבילית היא מלבן על ידי אחד משני המשפטים הבאים:
   – מקבילית שבה אחת הזוויות שווה ל 90 מעלות היא מלבן.
   – מקבילית שבה האלכסונים שווים הוא מלבן.
2. מרובע שבו יש 3 זוויות השוות ל 90 מעלות היא מלבן. (ואם יש 3 כמובן שגם הרביעית משלימה ל 360 מעלות ושווה 90 מעלות, אך אין צורך להוכיח זאת).

• הוכחת מלבן תרגילים.
• מלבן, מידע מקיף על הצורה.

6.הוכחת ריבוע

על מנת להוכיח שמרובע הוא ריבוע נצטרך להוכיח קודם שהמרובע הוא מעוין או מלבן ולאחר מיכן נצטרך למצוא תכונה אחת ששייכת למרובע האחר על מנת להוכיח ריבוע.

אם נתון לנו מעוין:

1. מעוין עם זווית ישרה (90 מעלות) הוא ריבוע.
2. מעוין עם אלכסונים שווים הוא ריבוע.

אם נתון לנו מלבן:

1. מלבן שאלכסוניו מאונכים זה לזה הוא ריבוע.
2. מלבן עם זוג צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע.
3. מלבן שאלכסוניו הם חוצי זווית הוא ריבוע.