איך מוכיחים מעוין, הוכחת מעוין

2.תרגילים

תרגיל 1
במשולש ABC עובר חוצה זוויות AD.
מנקודה G שעל חוצה הזווית מעבירים את GF כך שהוא מקביל ל AE. ואת GE כך שהוא מקביל ל AF.
הוכיחו כי המרובע AFGE הוא מעוין.

פתרון

1. GF  מקביל ל AE. וגם GE מקביל ל AF. (נתון).
2. מרובע AFGE הוא מקבילית (מרובע שיש לו שני זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית).
3. AG הוא חוצה זווית A. (נתון).
4. מרובע AFGE הוא מעוין. (מקבילית שבה אחד מהאלכסונים הוא חוצה זווית היא מעוין).

תרגיל 2
במקבילית ABCD מעבירים דרך נקודת מפגש האלכסונים O ישר EF המאונך לאלכסון BD.
הוכיחו כי המרובע EBFD הוא מעוין.

פתרון

שלב א: נוכיח את חפיפת המשולשים DOF ≅ BOE

1. ODF = ∠OBE∠ זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
2. DOF = ∠BOE=90∠ זוויות קודקודיות שוות.
3. DO = OB במקבילית ABCD האלכסונים חוצים זה את זה.
4. DOF ≅ BOE חפיפת משולשים על פי ז.צ.ז.

שלב ב: נוכיח מקבילית ומעוין

1. OE=OF צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
2. המרובע EBFD הוא מקבילית (נובע מ 3,5) (מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית).
3. המרובע EBFD הוא מעוין (נובע מ 2,6) (מקבילית שבה האלכסונים מאונכים היא מעוין).

תרגילים 3,4 הם למנויים באתר.