פרבולה חיובית או שלילית

בדף זה 4 חלקים:

1. השלבים למציאת תחומי החיוביות והשליליות.
2. הכרת המושגים "אי חיוביות" ו "אי שליליות".
3. תרגילים.
4. פרבולות מיוחדות: ללא נקודות חיתוך עם ציר ה x או משיקות לציר ה x.

על מנת להצליח בדף זה עליכם לדעת:

• מציאת נקודות חיתוך של פרבולה עם הצירים.
• זיהוי פרבולת מינימום או מקסימום.
• שרטוט גרף של פרבולה.

1.השלבים למציאת תחומי החיוביות והשליליות הם:

הסבר בכתב ובוידאו

שלב א
מוצאים את נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x ומסמנים אותן על מערכת צירים.

שלב ב
מזהים האם זו פרבולת מינימום או מקסימום.
במידה וזו פרבולת מינימום קודקוד הפרבולה הוא הנקודה הנמוכה ביותר בפרבולה ונמצא מתחת לנקודות החיתוך עם ציר ה x.
במידה וזו פרבולת מקסימום קודקוד הפרבולה הוא הנקודה הגבוהה בפרבולה ונמצא מעל נקודות החיתוך עם ציר ה x.

נסמן את נקודת הקודקוד על מערכת הצירים.

שלב ג
נשרטט סקיצה על פי נקודת הקודקוד ונקודות החיתוך עם ציר ה x.

שלב ד
קובעים את תחומי החיוביות והשליליות על פי הסקיצה.
הערה
מה הכוונה "תחומי חיוביות"?
פרבולה חיובית כאשר ערכי ה y של הפרבולה חיוביים. וזה קורה כאשר הגרף מעל ציר ה x.
לעומת זאת תחומי שליליות הם כאשר ערכי ה y שליליים וזה קורה כאשר גרף הפונקציה נמצא מתחת לציר ה x.

לסיכום, שני הנתונים שצריך לדעת על מנת לקבוע תחומי חיוביות ושליליות הם:

1. נקודות חיתוך עם ציר ה x.
2. לדעת אם זו פרבולת מינימום או מקסימום.

דוגמה
מצאו את תחומי החיוביות והשליליות של הפרבולה f (x) = x² + 6x + 5.

פתרון
שלב א: חיתוך עם ציר ה x
בעזרת טרינום או נוסחת השורשים נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה x.
מציבים f (x) = 0 ומקבלים משוואה ריבועית.
x² + 6x + 5 = 0

נפתור את את המשוואה הריבועית בעזרת טרינום.
x² + 6x + 5 = 0
x² + x + 5x + 5 = 0
x (x +1) + 5(x +1) = 0
x +5) (x+ 1) = 0)
x = -5 או x = -1.

שלב ב: מינימום או מקסימום?
מכוון שהמקדם של x² חיובי אז זו פרבולה עם מינימום (מחייכת).

שלב ג: סקיצה
על פי שני השלבים הקודמים הסקיצה תראה כך.

שלב ד: פתרון
תחומי החיוביות הם כאשר ערכי ה y חיוביים וזה קורה כאשר הגרף נמצא מעל ציר ה x.
זה קורה בתחומים
x > -1 או x < -5

תחומי השליליות הם כאשר ערכי ה y שליליים וזה קורה כאשר הגרף מתחת לציר ה x.
זה קורה בתחום:

וזה התחום שבו הפרבולה שלילית.

2.הכרת המושגים: אי חיוביות ואי שליליות

המשמעות של המילה "אי" היא "לא".
אי חיוביות = לא חיובית.
אי שליליות = לא שלילית.
המושגים קצת מבלבלים כי הם מערבים את המילה לא. לכן צריך להתרכז טוב כאשר עונים על שאלות הכוללות את המושגים הללו.

אי חיוביות של פרבולה – המשמעות היא: כל המקומות בהם הפרבולה לא חיובית.
וזה אומר המקומות בהם הפרבולה שלילית + המקומות בהם הפרבולה שווה ל 0 (נקודות החיתוך עם ציר ה x).

אי שליליות של פרבולה – המשמעות היא: כל המקומות בהם הפרבולה לא שלילית.
וזה אומר המקומות בהם הפרבולה חיובית + המקומות בהם הפרבולה שווה ל 0.

כלומר כאשר מבקשים מאיתנו למצוא חיוביות שליליות של פרבולה אנחנו לא מכניסים את נקודות החיתוך עם ציר ה x לאף אחד מהתחומים.
לעומת זאת בתחומי אי החיוביות ואי השליליות אנו מכניסים את נקודות החיתוך עם ציר ה x בשני המקרים.

תרגיל 1
בשרטוט שלמטה יש את הגרף של הפרבולה  f (x) = -2x² -5x החותכת את ציר ה x בנקודות x = 0,  x = -2.5.
מצאו את תחומי האי חיוביות והאי שליליות של הפרבולה.

פתרון
הפרבולה שלילית כאשר
x > 0 או x < 2.5
לכן הפרבולה אי חיובית כאשר
x ≥ 0 או  x ≤ -2.5

הפרבולה אי שלילית כאשר הגרף נמצא מעל ציר ה x או שווה ל 0.

תרגיל 2
הפרבולה f (x) = x² – 10x + 21 חותכת את ציר ה x בנקודות:
x = 7 ,  x = 3
מצאו את תחומי האי חיוביות והאי שליליות.

פתרון
אי שליליות הם כל המקומות בהם הפרבולה לא שלילית
כלומר חיובית או שווה ל 0.
x ≥ 7 או  x ≤ 3

אי חיוביות הם כל המקומות הפרבולה לא חיובית.
כלומר שלילית או שווה ל 0.

3.תרגילים

בחלק זה 3 תרגילים עם פתרונות מלאים.