טרינום

כאשר מפרקים טרינום אנו מפרקים 3 איברים שהיה בניהם קשר של חיבור לאיברים שהקשר בניהם הוא כפל.
מדוע קשר של כפל עדיף על קשר של חיבור?

  1. משום שאז ניתן לצמצם איברים – יעיל כאשר יש מונה ומכנה.
  2. משום שאז ניתן לדעת מתי הביטוי שווה ל 0 ביתר קלות – יעיל כאשר מנסים לפתור משוואה ריבועית בקלות.
    למשל:
    x²-7x +12=0    >>  לא פתיר באופן מיידי.
    0=(x-3) * (x-4)  >>  רואים את הפתרונות בקלות.

בדף זה נלמד מספר נושאים:

  1. פירוק טרינום בדרך הרגילה (פירוק לקבוצות)
  2. פירוק הטרינום בדרך המקוצרת.
  3. טיפים לפירוק הטרינום
  4. פתרון משוואות ללא מכנה בעזרת פירוק הטרינום
  5. צמצום שברים אלגבריים בעזרת פירוק הטרינום
  6. פתרון משוואות הכוללות שברים בעזרת פירוק הטרינום

1. פירוק טרינום בדרך הרגילה (פירוק לקבוצות)

טרינום נראה כך ax² + bx + c
במקרה הפשוט המקדם של x² הוא 1. כלומר a = 1.
אנו נדבר על מקרה זה בלבד. המקרה של a≠1 מובא בהמשך.
על מנת לפרק את הטרינום נצטרך למצוא שני מספרים שמכפלתם היא  c וסכומם הוא b.

אני ממליץ למצוא קודם כל שני מספרים שמכפלתם היא  c ואז לבדוק אם הם מתאימים גם לתנאי השני של "סכומם הוא b " וזה בגלל שהתנאי הראשון יצמצם מאוד את מספר האפשרויות.

למשל:
x²-7x +12
שני מספרים שמכפלתם היא 12 וסכומם הוא 7- הם?
3- ו-  4-.

שלב 1: נפרק את הרכיב b שהוא 7x- לשני המספרים 3-, 4-
x²-7x +12 =
x²-3x-4x+12   >>    פירוק 7x- ל:   3x-  ו  4x – .

שלב 2: נוציא גורם משותף לשני המספרים הראשונים x²-3x ולשני האחרונים 4x+12-
(x (x-3) -4(x-3   >> הוצאת גורם משותף לשני האיברים הראשונים וגורם משותף אחר לשני האחרונים.

שלב 3: מוציאים (x-3) גורם משותף
(x-3) * (x-4)    >>  הוצאת x-3 כגורם משותף.

התרגיל כולו ברצף:
x²-7x +12 =
x²-3x-4x+12   >>    פירוק 7x- ל:   3x-  ו  4x – .
(x (x-3) -4(x-3   >> הוצאת גורם משותף לשני האיברים הראשונים וגורם משותף אחר לשני האחרונים.
(x-3) * (x-4)      >>  הוצאת x-3 כגורם משותף.

דוגמה נוספת.
x²+x-2=0

שני המספרים שמכפלתם 2- וסכומם 1 הם?
2, 1-.
x²-x+2x-2=0  >> פירוק האיבר b= -1 למספרים 2, 1-
x(x-1) +2(x-1)=0  >> הוצאת גורם משותף לשני הראשונים ושני האחרונים.
x+2)(x-1)=0)   >> הוצאת x -1 גורם משותף.
x= -2,  x=1

סיכום:
פירוק הטרינום מתבצע כך:

  1. מוצאים שני מספרים שמכפלתם a*c וסכומם b.
  2. מפרקים את האיבר b לשני המספרים הללו.
  3. מוציאים גורם משותף.
  4. הופכים את הסוגריים שנוצרו לגורם משותף.

2. פירוק הטרינום בדרך המקוצרת

כאשר אתם לא צריכים להראות את הדרך המלאה לפירוק הטרינום יש דרך קצרה בהרבה להגיע אל התשובה הנכונה.

פרקו את הטרינום:
x²-7x +12
שני מספרים שמכפלתם היא 12 וסכומם הוא 7- הם?
3- ו-  4-.
לכן פירוק הטרינום הוא:
(x²-7x +12 = (x-3) * (x-4

כלומר מצאנו את זוג המספרים ורשמנו אותם צמוד ל x.

דוגמה נוספת:
x² +6x +8
שני מספרים שמכפלתם 8 וסכומם 6?
4 ו 2.
לכן פירוק הטרינום הוא:
(x² +6x +8 = (x+2) (x + 4

3. טיפים לפירוק הטרינום

טיפ 1
קודם לחפש שני מספרים שמכפלתם C רק לאחר מיכן מספרים שסכומם b.

חיפוש המכפלה מצמצם משמעותית את האפשרויות לשני מספרים שסכומם b.

טיפ 2
אם c חיובי זה אומר ששני המספרים שאנו מחפשים חיוביים או ששני המספרים שליליים.
אם c שלילי זה אומר שאנו מחפשים מספר אחד שלילי ומספר אחד חיובי.

הסבר: c הוא תוצאת המכפלה של שני המספרים שאנו מחפשים. אם תוצאת המכפלה (c) חיובית זה אומר שלשני המספרים אותו סימן.
ואם תוצאת המכפלה שלילית זה אומר שיש מספר אחד חיובי ומספר שני שלילי.

טיפ 3
כיצד מפרקים טרינום שיש לו סימן מינוס לפני x². למשל:
x² + 8x -12-

במקרה והביטוי הוא חלק ממשוואה השווה 0, כלומר:
0 = x² + 8x -12-
ניתן להכפיל את כל איברי המשוואה ב 1- ולקבל:
x² – 8x +12 = 0
x – 6) (x-2) = 0)

במקרה והטרינום מופיע לבדו, ללא משוואה ניתן להוציא מינוס לפני הסוגריים וכך כל איברי הטרינום ישנו סימן:
(x² + 8x -12  = – (x² – 8x + 12-
(x² – 8x +12) –
(x – 6) (x-2) –

הסבר כיצד לפרק טרינום כאשר a≠1 נמצא בקישור.

דוגמאות ותרגילים

תרגיל 1
x² + 5x + 6
המספרים 2 ו 3 מכפלתם 6 וסכומם 5.
לכן הפירוק המידי הוא
(x+2) * (x+3)
אם אתם צריכים להראות את הדרך המלאה אז:
x² + 5x + 6= x²+3x+2x+6
(x(x+3) +2(x+3
(x+3) (x+2)

תרגיל 2
x² -3x -4
המספרים 4-  ו  1+ מכפלתם היא 4- וסכומם 3-. לכן פירוק הטרינום המידי הוא:
(x-4) (x+1)
ואם אתם צריכים להראות את הדרך כולה:
x² -3x -4
x² + x – 4x – 4
(x (x+1) -4(x+1
(x+1) (x-4)

4. פתרון משוואות ללא מכנה בעזרת פירוק הטרינום

אם יש לנו משוואה x*y=0 אז הפתרונות של המשוואה הם x=0 או y=0.
על עובדה זו נשען פתרון משוואות בעזרת פירוק הטרינום.

דוגמה לפתרון משוואה:
x² +8x -20=0
שני מספרים שמכפלתם 20- וסכומם 8 הם 10  ו  2-.
x+10) (x-2) =0)
x-2=0  או x+10=0
x=2  או x=-10
פתרונות המשוואה הם: x= -10,  x=2

הדרך המלאה:
x² +8x -20=0
x²-2x+10x-20=0
x(x-2) + 10(x-2)=0
x+10) (x-2)=0)

תרגיל 1
x²-6x +9=0
שני מספרים שמכפלתם 9 וסכומם 6- הם  3-  ו   3-.
x-3) (x-3)=0)
x-3)²=0)
x-3=0
x=3
הפתרון הוא x=3.

הדרך המלאה:
x²-6x +9=0
x²-3x-3x+9=0
x(x-3) -3(x-3) =0
x-3)(x-3)=0)
x-3)²=0)

תרגיל 2
x²+10x +9=0
שני מספרים שמכפלתם 9 וסכומם 10 הם  1  ו  9.
x+9) (x+1)=0)
x+1=0  או x+9=0
x=-1  או   x=-9
הפתרונות הם: x= -9,  x=-1.

הדרך המלאה:
x²+10x +9=0
x² + x+9x+9=0
x(x+1)+9(x+1)=0
x+9) (x+1)=0)

תרגיל 3
x² -1=0
שני מספרים שמכפלתם היא 1-  וסכומם 0 הם 1  ו   1-.
x-1) (x+1)=0)
x+1=0 או x-1=0
x=-1  או x=1
הפתרונות הם: x=1,   x=-1.

הדרך המלאה:
x² -1=0
x²+x-x-1=0
x(x+1) -1(x+1)=0
x-1)(x+1)=0)

תרגיל 4
x²-5x-14=0
שני מספרים שמכפלתם 14- וסכומם 5- הם  7-  ו  2.
x-7) (x+2) =0)
x+2=0  או x-7=0
x=-2  או x=7
הפתרונות הם:  x=7,  x= -2.

הדרך המלאה:
x²-5x-14=0
x²+2x-7x-14=0
x(x+2) -7(x+2)=0
x-7)(x+2)=0)

5. צמצום שברים אלגבריים בעזרת פירוק הטרינום

פירוק הטרינום יחד עם טכניקות נוספות כמו הוצאת גורם משותף ונוסחאות הכפל המקוצר מסייע לצמצם שברים ולפתור משוואות הכוללות שברים בצורה קלה יותר.
מצורף דף בו אתם צריכים להשתמש בכול הטכניקות הללו על מנת להפוך את השבר לפשוט יותר.

תרגיל 1

טרינום תרגיל 1

פתרון

פתרון תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 2

פתרון תרגיל 2

פתרון תרגיל 2

פתרון תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 3

פתרון תרגיל 3

פתרון תרגיל 3

פתרון תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 4

פתרון תרגיל 4

פתרון תרגיל 4

פתרון תרגיל 4

6. פתרון משוואות הכוללות שברים בעזרת פירוק הטרינום

בתרגילים המצורפים כאן יש משוואות שקל יותר לפתור אותם כאשר משתמשים בטכניקות לצמצום שברים.
שימו לב שאתם צריכים לקבוע גם את תחום ההצבה ולפסול פתרונות אם הם לא שייכים לתחום ההצבה.

תרגיל 1

תרגיל 1

פתרון תרגיל 1

פתרון תרגיל 1

פתרון תרגיל 1

פתרון תרגיל 1

פתרון תרגיל 1

מציאת קבוצת ההצבה (רשום בקיצור).
את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנים לפני צמצום שברים.

0 ≠ (x – 5) (x+ 5)
0 ≠ (x-2) (x -1)
קבוצת ההצבה היא x ≠ 5, -5, 2, 1
לאחר שמצאנו את קבוצת ההצבה יש לבדוק אם אחד הפתרונות לא נפסל (במקרה זה קבוצת ההצבה לא פוסלת פתרונות).

תרגיל 2

תרגיל 2

פתרון תרגיל 2

פתרון תרגיל 2

פתרון תרגיל 2

פתרון תרגיל 2

פתרון תרגיל 2

מציאת קבוצת ההצבה (רשום בקיצור).
את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנים לפני צמצום שברים.

0 ≠ ²(x + 4)
0 ≠ (x+2) (2 -x)
קבוצת ההצבה היא x ≠ -4, 2, -2
לאחר שמצאנו את קבוצת ההצבה יש לבדוק אם אחד הפתרונות לא נפסל (במקרה זה קבוצת ההצבה לא פוסלת פתרונות).

אני מקווה שהכל ברור. ואם אחד מהשלבים אינו ברור אתם מוזמנים להשאיר שאלה במערכת התגובות של האתר.

עוד באתר:

7 נספח: תרגילי פירוק טרינום עם דרך מלאה

תרגילים נוספים שלא נכנסו לתוכן של הדף על מנת לא להעמיס.
מי שרוצה תרגילים נוספים ימצא אותם כאן.

  1. x² +7x-8=0
  2. x²+2x-15=0
  3. x²-4x+4=0
  4. x²+x-2=0

פתרונות

1.    x² +7x-8=0

שני המספרים שמכפלתם היא 8- וסכומם 7 הם 8, 1-.
x²-x +8x-8=0
x(x-1) +8(x-1)=0
x-1) (x+8)=0)
x=1,  x=-8

2.   x²+2x-15=0

שני המספרים שמכפלתם 15- וסכומם 2 הם 5, 3-.
x²-3x+5x-15=0
x(x-3) +5(x-3)=0
x+5)(x-3)=0)
x=-5,  x=3

3.    x²-4x+4=0

שני המספרים שמכפלתם 4 וסכומם 4- הם 2-, 2-.
x²-2x-2x+4=0
x(x-2) -2(x-2)=0
x-2)(x-2)=0)
x-2)²=0)
x=2

4.   x²+x-2=0

שני המספרים שמכפלתם 2- וסכומם 1 הם 2, 1-.
x²-x+2x-2=0
x(x-1) +2(x-1)=0
x+2)(x-1)=0)
x= -2,  x=1

נספח 2: קבצי PDF לתרגילים

חלק מהתרגילים בדף הופיעו כתמונות. לאלו ממכם שאינם יכולים לקרוא בדפדפן תמונות מצורפים קבצי PDF.

 

 

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.