טרינום, פירוק הטרינום

בדף זה נלמד את הנושאים:

  1. פירוק טרינום בדרך הרגילה
  2. טיפים לפירוק הטרינום
  3. פתרון משוואות ללא מכנה בעזרת פירוק הטרינום
  4. פירוק הטרינום בדרך המקוצרת.
  5. צמצום שברים אלגבריים בעזרת פירוק הטרינום
  6. פתרון משוואות הכוללות שברים בעזרת פירוק הטרינום

1. כיצד מפרקים טרינום בדרך הרגילה?

טרינום נראה כך ax² + bx + c
במקרה הפשוט המקדם של x² הוא 1. כלומר a = 1.
אנו נדבר על מקרה זה בלבד. המקרה של a≠1 נמצא בקישור.

על מנת לפרק את הטרינום שבו a = 1 נפעל על פי השלבים הבאים:

  1. מחפשים שני מספרים שמכפלתם היא  c וסכומם הוא b.
  2. נפרק את b לשני המספרים הללו.
  3. נוציא גורם משותף לשני האיברים הראשונים וגורם משותף אחר לשני האיברים האחרונים.
  4. נמשיך את הפירוק לגורמים על פי קבוצות.

אני בטוח שאם אתם קוראים את ההסבר הזה בפעם הראשונה הוא לא מובן.
הרשימה הזו נועדה למצב שלאחר שתבינו את הדרך יהיה לכם סדר פעולות מסודר.
את הלמידה תעשו דרך הדוגמאות הבאות.

דוגמה 1
פרקו לגורמים את הביטוי
x² + 10x + 16

פתרון
שלב א: מציאת שני מספרים שמכפלתם 16 וסכומם 10.
מספרים שמכפלתם 16 יכולים להיות:
1,16
2,8
4,4
איזה זוג מתאים גם לתנאי "סכומם הוא 10"?
2,8

שלב ב: פירוק הרכיב b שהוא 10x לשני האיברים שמצאנו
x² + 10x + 16
x² + 2x + 8x +16

שלב ג: הוצאת גורם משותף לשני האיברים הראשונים ולשני האיברים האחרונים
(x(x+2) + 8 (x + 2

שלב ד: פירוק לגורמים על פי קבוצות
(x + 2) (x + 8)
ולסיכום:
(x² + 10x + 16 = (x+8) (x + 2

דוגמה 2
פרקו לגורמים את הביטוי
x²-7x +12

פתרון
שלב א: מציאת שני מספרים שמכפלתם 12 וסכומם 7-.
מספרים שמכפלתם 12 יכולים להיות:
1,12
2,6
3,4
איזו זוג מתאים גם ל"סכומם הוא 7- ?"
אם נהפוך את הסימנים של 3,4 ל  4-, 3- נקבל זוג מספרים שעונה על שני התנאים.

שלב ב: פירוק האיבר b, במקרה שלנו 7x- לשני האיברים הללו.
x²-7x +12
x² – 3x – 4x + 12

שלב ג + ד: הוצאת גורם משותף ופירוק לקבוצות
(x (x – 3) – 4 (x – 3
(x – 3) (x – 4)
ולסיכום:
(x²-7x +12 = (x – 3) (x – 4

דוגמה 3
פרקו לגורמים את הביטוי
x²+x-2=0

פתרון
שלב א: מציאת שני מספרים שמכפלתם היא 2- וסכומם 1.
אלו מספרים מכפלתם היא 2-?
2-, 1
2, 1-
הזוג 2, 1- סכומו 1, ולכן הוא הזוג המתאים לנו.

שלב ב-ד: המשך פתרון התרגיל ברצף
x²+x-2=0
x² – x  +2x – 2 = 0
(x (x – 1) +2 (x – 1
(x – 1) ( x + 2)

סיכום:
פירוק הטרינום מתבצע כך:

  1. מוצאים שני מספרים שמכפלתם c וסכומם b.
  2. מפרקים את האיבר b לשני המספרים הללו.
  3. מוציאים גורם משותף.
  4. הופכים את הסוגריים שנוצרו לגורם משותף.

10 דוגמאות קצרות לפירוק הטרינום

השלב של "מציאת שני מספרים שמכפלתם c וסכומם b" הוא השלב הראשון ואולי הקשה ביותר בפירוק הטרינום.
מצורפים שני סרטונים הכוללים כל אחד מיהם פתרון של השלב הזה בלבד עבור 5 תרגילים.

  1. x² + 8x + 15
  2. x² -3x -18
  3. x² + x – 12
  4. x² + 6x + 9
  5. x² – 8x + 16
  6. x² + 9x + 20
  7. x² – 2x – 3
  8. x² + 10x -24
  9. x² – 19x + 60
  10. x² -5x  -50

2. טיפים לפירוק הטרינום

טיפ 1
קודם לחפש שני מספרים שמכפלתם C רק לאחר מיכן מספרים שסכומם b.

חיפוש המכפלה מצמצם משמעותית את האפשרויות לשני מספרים שסכומם b.
למשל עבור הטרינום:
x² + 12x + 20
האפשרויות למכפלה השווה 20 הם:
20  ,1
10  ,2
5  ,4
סך הכל 3 אפשרויות.
ולעומת זאת אם היינו מחפשים אפשרויות לשני מספרים שסכומם 12 היינו מקבלים אינסוף אפשרויות.

טיפ 2
כאשר אנו מחפשים שני מספרים שמכפלתם c לא לשכוח  ש: c * 1 = c
לדוגמה הפירוקים הבאים:
x² + 6x + 5
המספרים המבוקשים הם 5,1.
x² + 2x -3
המספרים המבוקשים הם 3, 1-.
x² – 8x -9
המספרים המבוקשים הם 9, 1-.

טיפ 3
אם c חיובי זה אומר ששני המספרים שאנו מחפשים חיוביים או ששני המספרים שליליים.
אם c שלילי זה אומר שאנו מחפשים מספר אחד שלילי ומספר אחד חיובי.

הסבר: c הוא תוצאת המכפלה של שני המספרים שאנו מחפשים. אם תוצאת המכפלה (c) חיובית זה אומר שלשני המספרים אותו סימן.
ואם תוצאת המכפלה שלילית זה אומר שיש מספר אחד חיובי ומספר שני שלילי.

טיפ 4
כיצד מפרקים טרינום שיש לו סימן מינוס לפני x². למשל:
x² + 8x -12-

במקרה והביטוי הוא חלק ממשוואה השווה 0, כלומר:
0 = x² + 8x -12-
ניתן להכפיל את כל איברי המשוואה ב 1- ולקבל:
x² – 8x +12 = 0
x – 6) (x-2) = 0)

במקרה והטרינום מופיע לבדו, ללא משוואה ניתן להוציא מינוס לפני הסוגריים וכך כל איברי הטרינום ישנו סימן:
(x² + 8x -12  = – (x² – 8x + 12-
(x² – 8x +12) –
(x – 6) (x-2) –

תרגילים

בחלק זה מופיעים 4 תרגילים שהם לא משוואה.
בחלק הבא מופיעים 4 תרגילים בהם נדרש לפרק טרינום ולפתור משוואה.
החלק הכולל פתרון משוואה הוא החשוב יותר.

תרגיל 1
x² + 5x + 6

פתרון
שלב א: מציאת שני מספרים שמכפלתם 6 וסכומם 5
6,  1
3,  2
הזוג 3,  2 מתאים.

שלב ב: פירוק האיבר b למספרים 3, 2 והמשך הפתרון.
x²+3x+2x+6
(x(x+3) +2(x+3
(x+3) (x+2)

לסיכום:
(x² + 5x + 6 = (x+3) (x+2

תרגיל 2
x² -3x -4

פתרון
שלב א: מציאת שני מספרים שמכפלתם 4- וסכומם 3-
מספרים שמכפלתם היא 4 הם:
4  ,1
2  ,2
נשחק עם סימני המספרים על מנת שיתאימו ונקבל:
שהמספרים 4-  ו  1+ מכפלתם היא 4- וסכומם 3-. לכן פירוק הטרינום המידי הוא:
x² -3x -4
x² + x – 4x – 4
(x (x+1) -4(x+1
(x+1) (x-4)

תרגיל 3
x² – 9x + 14

פתרון
שלב א: מציאת שני מספרים שמכפלתם היא 14 וסכומם הוא 9-.
עבור המכפלה האפשרויות הן:
14  ,1
7   ,2
כאשר נשנה את הסימן עבור הזוג השני ל 7-,  2- הם יתאימו לסכום 9- וגם למכפלה 14.

שלב ב: נמשיך בפירוק הטרינום
x² – 9x + 14
x² – 7x – 2x + 14
x (x – 7) -2( x – 7
(x – 7) (x – 2)

תרגיל 4
x² – 12x +11

פתרון
שלב א: מציאת שני מספרים שמכפלתם היא 11 וסכומם 12-.
11  ,1  זה הזוג היחידי שמכפלתו 11.
על מנת שמכפלתו תהיה 12- נשנה את הסימן של הזוג ונקבל
11-  ,1-.

שלב ב: המשך הפתרון
x² – 12x +11
x² -x – 11x + 11
(x (x – 1) -11(x – 1
(x – 1)(x – 11)

3. פתרון משוואות ללא מכנה בעזרת פירוק הטרינום

אם יש לנו משוואה x*y=0.
אז הפתרונות של המשוואה הם x=0 או y=0.
על עובדה זו נשען פתרון משוואות בעזרת פירוק הטרינום.

דוגמה לפתרון משוואה:
x² +8x -20=0

פתרון
שלב א: מציאת שני מספרים שמכפלתם 20- וסכומם 8.
מספרים שמכפלתם 20 הם:
20  ,1
10,  2
5,   4
על מנת שהסכום יהיה 8, נשנה את סימן של המספרים 10, 2 ל  10,  2-.
10,  2- הם המספרים שחיפשנו.

שלב ב: המשך פירוק הטרינום
x² +8x -20=0
x² – 2x + 10x – 20=0
x(x-2) + 10(x-2)=0
x+10) (x-2)=0)

שלב ג: פתרון המשוואה שקיבלנו
יש לנו שני איברים שמכפלתם 0.
במקרה הזה אחד מיהם לפחות צריך להיות שווה 0.
x-2=0  או x+10=0
x=2  או x=-10
פתרונות המשוואה הם: x= -10,  x=2

תרגיל 1
x²-6x +9=0

פתרון
שלב א: נחפש שני מספרים שמכפלתם היא 9 וסכומם 6-.
מספרים שמכפלתם היא 9 הם:
9  ,1
3  ,3
על מנת שהמספרים יתאימו גם לסכום 6- נשנה את הסימנים של הזוג השני ונקבל:
3-  , 3-

שלב ב: פירוק הטרינום
x²-6x +9=0
x²-3x-3x+9=0
x(x-3) -3(x-3) =0
x-3)(x-3)=0)
x-3)²=0)

שלב ג: פתרון המשוואה
x-3)²=0)
נוציא שורש ריבועי לשני צדדי המשוואה ונקבל:
x-3=0
x=3

תרגיל 2
x²+10x +9=0

פתרון
שלב א: נחפש שני מספרים שמכפלתם 9 וסכומם 10
מספרים שמכפלתם 9 הם:
9,   1
3,  3
הזוג שגם סכומו 10 הוא 9,  1.

שלב ב: המשך פירוק הטרינום
x²+10x +9=0
x² + x+9x+9=0
x(x+1)+9(x+1)=0
x+9) (x+1)=0)

שלב ג: נפתור את המשוואה
x+9) (x+1)=0)
x+1=0  או x+9=0
x= -1  או   x= -9
הפתרונות הם: x= -9,  x=-1.

תרגיל 3
x² -1=0

פתרון
חלקכם רואים שהביטוי מתאים לנוסחאות הכפל המקוצר ושניתן לכתוב:
(x² – 1 = (x + 1) (x – 1
אבל מי שלא ראה יכול לפתור את התרגיל בעזרת פירוק הטרינום.

שלב א: נמצא שני מספרים שמכפלתם 1- וסכומם 0
1,  1-
זו האפשרות היחידה

שלב ב: נפרק את הטרינום
x² -1=0
x²+x-x-1=0
x(x+1) -1(x+1)=0
x-1)(x+1)=0)

שלב ג: נפתור את המשוואה
שני מספרים שמכפלתם היא 1-  וסכומם 0 הם 1  ו   1-.
x-1) (x+1)=0)
x+1=0 או x-1=0
x=-1  או x=1
הפתרונות הם: x=1,   x=-1.

תרגיל 4
x²-5x-14=0

פתרון
שלב א: נמצא שני מספרים שמכפלתם היא 14- וסכומם 5-.
שני מספרים שמכפלתם 14 יכולים להיות:
14,  1
7,  2
על מנת שסכומם יהיה 5- נשנה את הסימנים ונקבל
7,  2-

שלב ב: נפרק את הטרינום
x²-5x-14=0
x²+2x-7x-14=0
x(x+2) -7(x+2)=0
x-7)(x+2)=0)

שלב ג: נפתור את המשוואה
x-7) (x+2) =0)
x+2=0  או x-7=0
x=-2  או x=7
הפתרונות הם:  x=7,  x= -2.

הדרך המלאה:
x²-5x-14=0
x²+2x-7x-14=0
x(x+2) -7(x+2)=0
x-7)(x+2)=0)

3. פירוק הטרינום בדרך המקוצרת

כאשר אתם לא צריכים להראות את הדרך המלאה לפירוק הטרינום יש דרך קצרה בהרבה להגיע אל התשובה הנכונה.

בשלב הראשון אנו מחפשים שני מספרים שמכפלתם c וסכומם b.
נניח שהמספרים הללו הם s,t.
אז פירוק הטרינום יהיה:
(x + s) (x + t)

דוגמה 1
פרקו את הטרינום:
x²-7x +12

פתרון
שני מספרים שמכפלתם היא 12 וסכומם הוא 7- הם?
3- ו-  4-.
לכן פירוק הטרינום הוא:
(x²-7x +12 = (x-3) * (x-4

כלומר מצאנו את זוג המספרים ורשמנו אותם צמוד ל x.

דוגמה 2
x² +6x +8

פתרון
שני מספרים שמכפלתם 8 וסכומם 6?
4 ו 2.
לכן פירוק הטרינום הוא:
(x² +6x +8 = (x+2) (x + 4

דוגמה 3
x² – 5x – 14

פתרון
שני מספרים שמכפלתם 14- וסכומה 5- ?
7-, 2
לכן פירוק הטרינום הוא:
(x² – 5x + 14 = (x – 7) ( x + 2

 

5. צמצום שברים אלגבריים בעזרת פירוק הטרינום

פירוק הטרינום יחד עם טכניקות נוספות כמו הוצאת גורם משותף ונוסחאות הכפל המקוצר מסייע לצמצם שברים ולפתור משוואות הכוללות שברים בצורה קלה יותר.
מצורף דף בו אתם צריכים להשתמש בכול הטכניקות הללו על מנת להפוך את השבר לפשוט יותר.

תרגיל 1

טרינום תרגיל 1

פתרון

פתרון תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 2

פתרון תרגיל 2

פתרון תרגיל 2

פתרון תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 3

פתרון תרגיל 3

פתרון תרגיל 3

פתרון תרגיל 3

תרגיל 4

תרגיל 4

פתרון תרגיל 4

פתרון תרגיל 4

פתרון תרגיל 4

6. פתרון משוואות הכוללות שברים בעזרת פירוק הטרינום

בתרגילים המצורפים כאן יש משוואות שקל יותר לפתור אותם כאשר משתמשים בטכניקות לצמצום שברים.
שימו לב שאתם צריכים לקבוע גם את תחום ההצבה ולפסול פתרונות אם הם לא שייכים לתחום ההצבה.

תרגיל 1

תרגיל 1

פתרון תרגיל 1

פתרון תרגיל 1

פתרון תרגיל 1

פתרון תרגיל 1

פתרון תרגיל 1

מציאת קבוצת ההצבה (רשום בקיצור).
את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנים לפני צמצום שברים.

0 ≠ (x – 5) (x+ 5)
0 ≠ (x-2) (x -1)
קבוצת ההצבה היא x ≠ 5, -5, 2, 1
לאחר שמצאנו את קבוצת ההצבה יש לבדוק אם אחד הפתרונות לא נפסל (במקרה זה קבוצת ההצבה לא פוסלת פתרונות).

תרגיל 2

תרגיל 2

פתרון תרגיל 2

פתרון תרגיל 2

פתרון תרגיל 2

פתרון תרגיל 2

פתרון תרגיל 2

מציאת קבוצת ההצבה (רשום בקיצור).
את קבוצת ההצבה מוצאים על פי המכנים לפני צמצום שברים.

0 ≠ ²(x + 4)
0 ≠ (x+2) (2 -x)
קבוצת ההצבה היא x ≠ -4, 2, -2
לאחר שמצאנו את קבוצת ההצבה יש לבדוק אם אחד הפתרונות לא נפסל (במקרה זה קבוצת ההצבה לא פוסלת פתרונות).

אני מקווה שהכל ברור. ואם אחד מהשלבים אינו ברור אתם מוזמנים להשאיר שאלה במערכת התגובות של האתר.

עוד באתר:

7 נספח: תרגילי פירוק טרינום עם דרך מלאה

תרגילים נוספים שלא נכנסו לתוכן של הדף על מנת לא להעמיס.
מי שרוצה תרגילים נוספים ימצא אותם כאן.

  1. x² +7x-8=0
  2. x²+2x-15=0
  3. x²-4x+4=0
  4. x²+x-2=0

פתרונות

1.    x² +7x-8=0

שני המספרים שמכפלתם היא 8- וסכומם 7 הם 8, 1-.
x²-x +8x-8=0
x(x-1) +8(x-1)=0
x-1) (x+8)=0)
x=1,  x=-8

2.   x²+2x-15=0

שני המספרים שמכפלתם 15- וסכומם 2 הם 5, 3-.
x²-3x+5x-15=0
x(x-3) +5(x-3)=0
x+5)(x-3)=0)
x=-5,  x=3

3.    x²-4x+4=0

שני המספרים שמכפלתם 4 וסכומם 4- הם 2-, 2-.
x²-2x-2x+4=0
x(x-2) -2(x-2)=0
x-2)(x-2)=0)
x-2)²=0)
x=2

4.   x²+x-2=0

שני המספרים שמכפלתם 2- וסכומם 1 הם 2, 1-.
x²-x+2x-2=0
x(x-1) +2(x-1)=0
x+2)(x-1)=0)
x= -2,  x=1

שאלה שאלות

4 תגובות בנושא “טרינום, פירוק הטרינום

  1. כהן

    התרגיל הוא במונה איקס פחות 6 ובמכנה איקס בריבוע מינוס 13 איקס פלוס 42 לי יצא במכנה לאחר פירוק טרינום 3 סוגריים באחד איקס מינוס 6 בשני איקס פלוס 6 ובשלישי איקס מינוס 7 ולפי הפתרון יוצא סוגריים אחד של איקס מינוס 6 וסוגריים שני של איקס מינוס 7 (ואז מצמצמים מונה ומכנה ונשאר איקס מינוס 7) וזה השאלה איך הפכו את הפלוס בסוגריים למינוס תודה מראש.

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום כהן
      הפירוק של הטרינום שלך לא נכון.
      זה הפירוק של המכנה, ובתוצאה הזו ניתן לצמצם מונה ומכנה.
      x² – 13x + 42 
      x² – 6x – 7x + 42
      (x (x – 6) -7(x + 6
      (x – 6) (x – 7)

      לא ברור לי לגמרי מה אתה עשית אבל להערכתי הטעות שלך הייתה בשורה השלישית שהוצאת בה 7 כגורם משותף ולא 7- כמו שצריך לעשות.
      אם יש עוד שאלות אתה יכול לשלוח אותן.
      בהצלחה

  2. שראל

    לא ברור לי מה זה מציאת קבוצת ההצבה..
    איך המונה שווה ל0 ואז מוצאים את איקסים והמכנה לשוט נעלם?לאן הוא נעלם?

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום ישראל
      נניח ויש לנו ביטוי 1 לחלק ל x.
      אם x = 0 ונציב את הערך הזה בביטוי נקבל 1 לחלק ל 0.
      זה ביטוי שאינו מוגדר במתמטיקה.

      קבוצת ההצבה באה להגיד לנו אלו מספרים ניתן להציב במקום x ולשמור על התרגיל כתרגיל מוגדר.
      בתרגילים מהסוג שאתה רואה בדף קבוצת ההצבה תלויה רק במכנה, כי רק המכנה יכול לגרום לתרגיל להיות לא מוגדר.
      המונה לא "נעלם" אלא הוא פשוט לא חשוב למציאת קבוצת ההצבה.

      ובשורה התחתונה: כאשר אתה מחפש את קבוצת ההצבה אתה משווה את המכנים ל 0. מספר שאתה מציב במקום x וגורם למכנה להתאפס לא שייך לקבוצת ההצבה.
      מקווה שעזרתי.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.