טרינום

כאשר מפרקים טרינום אנו מפרקים 3 איברים שהיה בניהם קשר של חיבור לאיברים שהקשר בניהם הוא כפל.
מדוע קשר של כפל עדיף על קשר של חיבור?

  1. משום שאז ניתן לצמצם איברים – יעיל כאשר יש מונה ומכנה.
  2. משום שאז ניתן לדעת מתי הביטוי שווה ל 0 ביתר קלות – יעיל כאשר מנסים לפתור משוואה ריבועית בקלות.
    למשל:
    x²-7x +12=0    >>  לא פתיר באופן מיידי.
    0=(x-3) * (x-4)  >>  רואים את הפתרונות בקלות.

פירוק טרינום בדרך הרגילה (פירוק לקבוצות)

טרינום נראה כך ax² + bx + c
במקרה הפשוט המקדם של x² הוא 1. כלומר a = 1.
אנו נדבר על מקרה זה בלבד. המקרה של a≠1 מובא בהמשך.
על מנת לפרק את הטרינום נצטרך למצוא שני מספרים שמכפלתם היא  c וסכומם הוא b.

אני ממליץ למצוא קודם כל שני מספרים שמכפלתם היא  c ואז לבדוק אם הם מתאימים גם לתנאי השני של "סכומם הוא b " וזה בגלל שהתנאי הראשון יצמצם מאוד את מספר האפשרויות.

למשל:
x²-7x +12
שני מספרים שמכפלתם היא 12 וסכומם הוא 7- הם?
3- ו-  4-.

שלב 1: נפרק את הרכיב b שהוא 7x- לשני המספרים 3-, 4-
x²-7x +12 =
x²-3x-4x+12   >>    פירוק 7x- ל:   3x-  ו  4x – .

שלב 2: נוציא גורם משותף לשני המספרים הראשונים x²-3x ולשני האחרונים 4x+12-
(x (x-3) -4(x-3   >> הוצאת גורם משותף לשני האיברים הראשונים וגורם משותף אחר לשני האחרונים.

שלב 3: מוציאים (x-3) גורם משותף
(x-3) * (x-4)    >>  הוצאת x-3 כגורם משותף.

התרגיל כולו ברצף:
x²-7x +12 =
x²-3x-4x+12   >>    פירוק 7x- ל:   3x-  ו  4x – .
(x (x-3) -4(x-3   >> הוצאת גורם משותף לשני האיברים הראשונים וגורם משותף אחר לשני האחרונים.
(x-3) * (x-4)      >>  הוצאת x-3 כגורם משותף.

דוגמה נוספת.
x²+x-2=0

שני המספרים שמכפלתם 2- וסכומם 1 הם?
2, 1-.
x²-x+2x-2=0  >> פירוק האיבר b= -1 למספרים 2, 1-
x(x-1) +2(x-1)=0  >> הוצאת גורם משותף לשני הראשונים ושני האחרונים.
x+2)(x-1)=0)   >> הוצאת x -1 גורם משותף.
x= -2,  x=1

פירוק הטרינום בדרך המקוצרת

כאשר אתם לא צריכים להראות את הדרך המלאה לפירוק הטרינום יש דרך קצרה בהרבה להגיע אל התשובה הנכונה.

פרקו את הטרינום:
x²-7x +12
שני מספרים שמכפלתם היא 12 וסכומם הוא 7- הם?
3- ו-  4-.
לכן פירוק הטרינום הוא:
(x²-7x +12 = (x-3) * (x-4

כלומר מצאנו את זוג המספרים ורשמנו אותם צמוד ל x.

דוגמה נוספת:
x² +6x +8
שני מספרים שמכפלתם 8 וסכומם 6?
4 ו 2.
לכן פירוק הטרינום הוא:
(x² +6x +8 = (x+2) (x + 4

טיפים ושלבים להתמודדות עם טרינום / נוסחת כפל מקוצר שלא מצליחים לפרק

השאלות שאפרט כאן אלו שלבים שיעזרו לכם לפרק טרינום ונוסחאות כפל מקוצר קשים:

1.האם ה x² נמצא תחת סימן מינוס?
האם ניתן להוציא גורם משותף לשלושת האיברים?

2x² – 16x + 32
x² + 8x – 16-

אלו ביטויים שיכולים להראות קשים – בלתי ניתנים לפירוק.
אבל כאשר נוציא גורם משותף 2 בביטוי הראשון ומינוס בביטוי השני נראה שאלו ביטויים קלים לפירוק.

2x² – 16x + 32 = 2(x² – 8x + 16) = (x – 4)²
x² + 8x – 16- = – (x² – 8x + 16) = (x – 4)²-

2. האם למספר החופשי יש שורש עגול?

אם כן לבדוק את ההתאמה לאחת מנוסחאות הכפל המקוצר.
כי בכול נוסחאות הכפל המקוצר המספר החופשי (המספר שללא משתנה) מועלה בריבוע.

אבל זה שלמספר החופשי יש שורש "עגול" עדיין לא אומר בהכרח שזה נוסחת כפל מקוצר.
כי גם לטרינום יכול להיות שורש עגול.
לכן אם לא מצאנו התאמה לנוסחת כפל מקוצר להמשך לחפש טרינום.

3. חיפוש טרינום כאשר קודם מחפשים שני מספרים שמכפלתם C.

כפי שכבר הזכרנו בדף זה.
חיפוש המכפלה מצמצם משמעותית את האפשרויות לשני מספרים שסכומם b.

4. האם הביטוי הוא חלק מתרגיל הכולל ביטויים נוספים? אם כן סביר שאחד האיברים מפירוק אחר יתאים גם לפירוק הזה.

הסתכלו על התרגיל:

תרגיל פירוק הטרינום

ועל הפירוק שלו:

פירוק הטרינום

שימו לב שבכול פירוק יש רכיב אחד מפירוק אחר.
הדבר נובע מכך שתרגילים אלו נבנים על מנת שנצמצם איברים.
לכן בכול איבר של משהו מהפירוק של איבר אחר.

לכן בתרגיל אם הצלחנו לפרק חלק מהביטויים ולא הצלחנו חלק אחר נבדוק האם חלק מהפירוקים שעשינו קיימים גם בביטויים שלא הצלחנו לפרק.

כללים נוספים שכדאי לדעת:

  1. אם c חיובי זה אומר ששני המספרים שאנו מחפשים הם בעלי אותו סימן (חיוביים או שליליים).
    אם ה- b חיובי שניהם חיוביים, אם ה- b שלילי שניהם שליליים (כמו בדוגמה למעלה).
  2. אם c שלילי זה אומר שאחד המספרים חיובי ואחד שלילי. למשל:
    (x² + 2x -8 = (x+4)*(x-2
  3. שימו לב שלא כל משוואה ריבועית ניתן לפרק לטרינום.

סיכום:

פירוק הטרינום מתבצע כך:

  1. מוצאים שני מספרים שמכפלתם a*c וסכומם b.
  2. מפרקים את האיבר b לשני המספרים הללו.
  3. מוציאים גורם משותף.
  4. הופכים את הסוגריים שנוצרו לגורם משותף.

הסבר כיצד לפרק טרינום כאשר a≠1 נמצא בקישור.

דוגמאות ותרגילים

תרגיל 1
x² + 5x + 6
המספרים 2 ו 3 מכפלתם 6 וסכומם 5.
לכן הפירוק המידי הוא
(x+2) * (x+3)
אם אתם צריכים להראות את הדרך המלאה אז:
x² + 5x + 6= x²+3x+2x+6
(x(x+3) +2(x+3
(x+3) x+2)

תרגיל 2
x² -3x -4
המספרים 4-  ו  1+ מכפלתם היא 4- וסכומם 3-. לכן פירוק הטרינום המידי הוא:
(x-4) (x+1)
ואם אתם צריכים להראות את הדרך כולה:
x² -3x -4
x² + x – 4x – 4
(x (x+1) -4(x+1
(x+1) (x-4)

 

פתרון משוואות בעזרת פירוק הטרינום

אם יש לנו משוואה x*y=0 אז הפתרונות של המשוואה הם x=0 או y=0.
על עובדה זו נשען פתרון משוואות בעזרת פירוק הטרינום.

דוגמה לפתרון משוואה:
x² +8x -20=0
שני מספרים שמכפלתם 20- וסכומם 8 הם 10  ו  2-.
x+10) (x-2) =0)
x-2=0  או x+10=0
x=2  או x=-10
פתרונות המשוואה הם: x= -10,  x=2

הדרך המלאה:
x² +8x -20=0
x²-2x+10x-20=0
x(x-2) + 10(x-2)=0
x+10) (x-2)=0)

תרגיל 1
x²-6x +9=0
שני מספרים שמכפלתם 9 וסכומם 6- הם  3-  ו   3-.
x-3) (x-3)=0)
x-3)²=0)
x-3=0
x=3
הפתרון הוא x=3.

הדרך המלאה:
x²-6x +9=0
x²-3x-3x+9=0
x(x-3) -3(x-3) =0
x-3)(x-3)=0)
x-3)²=0)

תרגיל 2
x²+10x +9=0
שני מספרים שמכפלתם 9 וסכומם 10 הם  1  ו  9.
x+9) (x+1)=0)
x+1=0  או x+9=0
x=-1  או   x=-9
הפתרונות הם: x= -9,  x=-1.

הדרך המלאה:
x²+10x +9=0
x² + x+9x+9=0
x(x+1)+9(x+1)=0
x+9) (x+1)=0)

תרגיל 3
x² -1=0
שני מספרים שמכפלתם היא 1-  וסכומם 0 הם 1  ו   1-.
x-1) (x+1)=0)
x+1=0 או x-1=0
x=-1  או x=1
הפתרונות הם: x=1,   x=-1.

הדרך המלאה:
x² -1=0
x²+x-x-1=0
x(x+1) -1(x+1)=0
x-1)(x+1)=0)

תרגיל 4
x²-5x-14=0
שני מספרים שמכפלתם 14- וסכומם 5- הם  7-  ו  2.
x-7) (x+2) =0)
x+2=0  או x-7=0
x=-2  או x=7
הפתרונות הם:  x=7,  x= -2.

הדרך המלאה:
x²-5x-14=0
x²+2x-7x-14=0
x(x+2) -7(x+2)=0
x-7)(x+2)=0)

צמצום שברים אלגבריים בעזרת פירוק הטרינום

פירוק הטרינום יחד עם טכניקות נוספות כמו הוצאת גורם משותף ונוסחאות הכפל המקוצר מסייע לצמצם שברים ולפתור משוואות הכוללות שברים בצורה קלה יותר.
מצורף דף בו אתם צריכים להשתמש בכול הטכניקות הללו על מנת להפוך את השבר לפשוט יותר.

תרגילים:

תרגילים של צמצום שברים אלגבריים בעזרת טרינום

פתרונות

פתרונות של צמצום שברים אלגבריים בעזרת טרינום

פתרונות של צמצום שברים אלגבריים בעזרת טרינום

 

פתרון משוואות הכוללות שבר בעזרת פירוק הטרינום

בתרגילים המצורפים כאן יש משוואות שקל יותר לפתור אותם כאשר משתמשים בטכניקות לצמצום שברים.
שימו לב שאתם צריכים לקבוע גם את תחום ההצבה ולפסול פתרונות אם הם לא שייכים לתחום ההצבה.

תרגילים בפתרון משוואות בעזרת טרינום

פתרונות

פתרונות משוואות בעזרת טרינום

פתרונות משוואות בעזרת טרינום

פתרונות משוואות בעזרת טרינום

 

אני מקווה שהכל ברור. ואם אחד מהשלבים אינו ברור אתם מוזמנים להשאיר שאלה במערכת התגובות של האתר.

עוד באתר:

נספח: תרגילי פירוק טרינום עם דרך מלאה

  1. x² +7x-8=0
  2. x²+2x-15=0
  3. x²-4x+4=0
  4. x²+x-2=0

פתרונות

1.    x² +7x-8=0

שני המספרים שמכפלתם היא 8- וסכומם 7 הם 8, 1-.
x²-x +8x-8=0
x(x-1) +8(x-1)=0
x-1) (x+8)=0)
x=1,  x=-8

2.   x²+2x-15=0

שני המספרים שמכפלתם 15- וסכומם 2 הם 5, 3-.
x²-3x+5x-15=0
x(x-3) +5(x-3)=0
x+5)(x-3)=0)
x=-5,  x=3

3.    x²-4x+4=0

שני המספרים שמכפלתם 4 וסכומם 4- הם 2-, 2-.
x²-2x-2x+4=0
x(x-2) -2(x-2)=0
x-2)(x-2)=0)
x-2)²=0)
x=2

4.   x²+x-2=0

שני המספרים שמכפלתם 2- וסכומם 1 הם 2, 1-.
x²-x+2x-2=0
x(x-1) +2(x-1)=0
x+2)(x-1)=0)
x= -2,  x=1

נספח 2: קבצי PDF לתרגילים

חלק מהתרגילים בדף הופיעו כתמונות. לאלו ממכם שאינם יכולים לקרוא בדפדפן תמונות מצורפים קבצי PDF.

 

 

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.