שרטוט גרף של פרבולה (סקיצה)

בדף זה נלמד לשרטט סקיצה של פרבולה.
על מנת לשרטט סקיצה של פרבולה אנחנו חייבים לדעת שני דברים:

  1. נקודות החיתוך עם ציר ה x.
  2. האם זו פרבולת מינימום (מחייכת) או פרבולת מקסימום (בוכה).

דברים נוספים יכולים להפוך את הסקיצה ליותר מדויקת:

  1. נקודת קודקוד הפרבולה.
  2. נקודת חיתוך עם ציר ה y.

בדף זה נשתמש בשני הדברים הראשונים על מנת לשרטט גרף של פרבולה.
נזכיר:

  • נקודת חיתוך עם ציר ה x מוצאים על ידי הצבה y=0 במשוואת הפרבולה.
  • המקדם של x² הוא זה שקובע אם זו פרבולת מינימום או פרבולת מקסימום. אם המקדם חיובי זו פרבולת מינימום (מחייכת) ואם המקדם שלילי זו פרבולת מקסימום (בוכה).

אם שני הנושאים הללו לא ברורים לכם השתמשו בקישורים שלמעלה ולמדו אותם.

השלבים בשרטוט גרף פרבולה

  1. נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה x ונסמן אותן במערכת הצירים.
  2. נזהה אם זו פרבולת מינימום או מקסימום.
  3. נקבע את מיקום הקודקוד ביחס לנקודות החיתוך עם ציר ה x.
    אם זו פרבולת מינמום אז נקודת הקודקוד היא הנקודה הנמוכה ביותר בפרבולה ולכן נמוכה נמוכה גם מנקודת החיתוך עם ציר ה x.
    אם הקודקוד הוא נקודת מקסימום אז הקודקוד גבוה יותר מכל נקודה בפרבולה וגבוה יותר מנקודות החיתוך עם ציר ה x.
  4. נשרטט את גרף הפרבולה בין שלושת הנקודות המסומנות על מערכת הצירים.

לפתרונות אני הוסיף נושא שלא קשור והוא מציאת תחומי חיוביות ושליליות של פרבולה.
הסיבה שאני עושה זאת היא שהרבה פעמים משרטטים גרף של פרבולה על מנת למצוא תחומי חיוביות ושליליות.

תרגיל 1

שרטטו את גרף הפרבולה  f(x) = x² – 5x .

פתרון
שלב א: נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה x.
נציב f (x) = 0 ונקבל:
x² – 5x = 0
ניתן לפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים וניתן להוציא את x כגורם משותף.
זה מה שנעשה.
x (x – 5) = 0
הפתרון של המשוואה הזו הוא
x = 0  או x = 5.
כלומר נקודות החיתוך עם ציר ה x הם:
(0, 5)   (0, 0).

נסמן את הנקודות במערכת צירים
הנקודות על מערכת הצירים

שלב ב: נזהה האם זו פרבולת מינימום או מקסימום.
f(x) = x² – 5x
המקדם של x² הוא 1, כלומר חיובי.
לכן זו פרבולה עם נקודת מינימום (מחייכת).

שלב ג: מיקום הקודקוד ביחס לנקודות החיתוך
מכוון שזו פרבולת מינימום הקודקוד נמצא מתחת לנקודות החיתוך עם ציר ה x.

הנקודות על מערכת הצירים

שלב ד: נשרטט את גרף הפרבולה בין שלושת הנקודות

גרף הפרבולה

חיוביות ושליליות:
הפרבולה חיובית כאשר x >5 או x < 0
הפרבלה שלילית כאשר

תרגיל 2

שרטטו את גרף הפרבולה f (x) = -x² + 6x +8

פתרון

שלב א: נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה x.
נציב f (x) = 0.
x² + 6x – 8 = 0-
נפתור בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
x = 2 או x = 4.

נסמן את הנקודות על מערכת הצירים.
הנקודות על מערכת הצירים

שלב ב: נזהה האם זו פרבולת מינימום או מקסימום.
f (x) = -x² + 6x +8
המקדם של x² הוא 1-.
לכן זו פרבולת מקסימום (בוכה).

שלב ג: נזהה את מיקום קודקוד הפרבולה ביחס לנקודות החיתוך
הקודקוד הוא נקודת מקסימום.
לכן הוא נמצא מעל נקודות החיתוך עם ציר ה x.
הנקודות על מערכת הצירים

שלב ד: נשרטט את גרף הפרבולה בין שלושת הנקודות

גרף פרבולה

חיוביות ושליליות
הפרבולה חיובית כאשר

הפרבולה שלילית כאשר x > 4 או x < 2

שרטוט גרף פרבולה שאין לה נקודות חיתוך עם ציר ה x

אמרנו שעל מנת לשרטט גרף של פרבולה נחפש את נקודות החיתוך עם ציר ה x.
אבל מה עושים כשאין כאלו?

עדיין נפעל על פי אותם שלבים.
אבל בשלב של סימון נקודות החיתוך לא נסמן דבר.
ובשלב שרטוט הפרבולה נפעיל את ההיגיון שלנו, כפי שיפורט בהמשך.

תרגיל 3

שרטטו את גרף הפרבולה f (x) = -x² +2x -3

פתרון
שלב א: נמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה x.
נציב f (x) = 0
x² + 2x – 3 = 0-
ננסה לפתור בעזרת נוסחת השורשים.

נוסחת השורשים

נוסחת השורשים

פתרון המשוואה הריבועית

נשים לב כי הביטוי בתוך השורש הוא ביטוי שלילי:
12- 4 = (3-) * (1-) * 4 – 2²

ולכן אין למשוואה הזו פתרונות ולפרבולה אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.

שלב ב: נזהה אם זו פרבולת מינימום או מקסימום
f (x) = -x² +2x -3
המקדם של x² הוא מקדם שלילי לכן זו פרבולה עם נקודת מקסימום (בוכה).

שלב ג + שלב ד: שרטוט הפרבולה.
אנו יודעים שיש לנו פרבולה עם נקודת מקסימום וללא נקודות חיתוך עם ציר ה x.

השאלה היחידה שאנו צריכים לשאול את עצמנו היא:
האם קודקוד הפרבולה נמצא מעל או מתחת לציר ה x?

ננסה את שתי האפשרויות, מעל ומתחת לציר ה x.
אם הקודקוד נמצא מעל ציר ה x וזו פרבולת מקסימום הגרף יראה כך:

גרף שלא יכול להציג את הפרבולה

הגרף הזה לא מתאים לנו כי הוא חותך את ציר ה x, ובפרבולה שלנו אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.

ננסה קודקוד מתחת לציר ה x

גרף זה מתאים לשני התנאים שלנו: הוא גם בעל נקודת מקסימום וגם אין לא נקודת חיתוך עם ציר ה x.

חיוביות ושליליות
פרבולה זו שלילית לכל x. כי הגרף שלה נמצא תמיד מתחת לציר ה x.

תרגילים נוספים

בהמשך הדף מספר תרגילים נוספים.
הפתרון של התרגילים הללו יהיה פתרון מקוצר.

תרגיל 1

שרטטו את גרף הפרבולה f (x) = x² – 7x + 6

פתרון
נקודות החיתוך עם ציר ה x הם x = 6, x= 1.
זו פרבולה עם נקודת מינימום.
גרף הפרבולה נראה כך:

גרף פרבולה

תרגיל 2

שרטטו את גרף הפרבולה f (x) =x² + 1

פתרון
לפרבולה זו אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.
זו פרבולה עם נקודת מינימום.
לכן גרף הפרבולה נראה כך:
גרף פרבולה

תחומי חיוביות שליליות
פרבולה זו חיובית לכל x.

תרגיל 3

שרטטו את גרף הפרבולה f (x) = -x² -2x -1

פתרון
פרבולה זו משיקה לציר ה x בנקודה x = -1.
לפרבולה זו יש נקודת מקסימום.
לכן גרף הפרבולה נראה כך:

גרף הפרבולה

חיוביות שליליות
פרבולה זו שלילית לכל x מלבד x = -1.

עוד באתר:

שאלה שאלות

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.