פרבולה וישר חישוב שטחים

f (x) = x² – 4.
y = -2x  -1.

הנקודה A היא החיתוך של הפרבולה והישר
x² – 4 = -2x – 1
x² + 2x – 3 = 0

נפתור בעזרת טרינום.
x² + 2x – 3 = 0
x² – x + 3x – 3 = 0
x (x – 1) + 3)(x – 1) = 0
x + 3) (x – 1) = 0)
הפתרונות הם:
x = -3
x = 1
אנו רואים שהנקודה A נמצאת ברביע השני לכן התשובה היא x = -3.

נציב במשוואת הישר ונמצא את ערך ה y בנקודה A.
y = -2x  -1.
y = -2 * -3 – 1
y = 6 – 1 = 5
(A (-3, 5

הנקודה B היא נקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x.
f (x) = x² – 4.
x² – 4 = 0
x² = 4
x = 2 או x = -2.
הנקודה B ברביע השני ולכן התשובה היא x = -2.

בנקודת החיתוך עם ציר ה x מתקיים y = 0.
(B(-2, 0

הנקודה C היא נקודת החיתוך של הישר עם ציר ה x.
y = -2x  -1.
2x – 1 = 0-
2x = -1
x = -0.5

(C(-0.5, 0

חישוב שטח המשולש
(A (-3, 5
(B(-2, 0
(C(-0.5, 0

הנקודות B,C נמצאות על ציר ה x.
לכן ניתן למצוא את המרחק בניהם על ידי חיסור ערכי ה x.
אורך הצלע BC הוא:
1.5 = (2-) – 0.5-

אורך הגובה מהנקודה A אל הצלע BC (ציר ה x) הוא ערך ה y של הנקודה A שהוא 5.
אורך הגובה 5.

שטח המשולש הוא:
S = 0.5 * 1.5 * 5 = 3.75

סעיף 1

מציאת הנקודה A

הנקודה A היא נקודת החיתוך בין הישרים y = -x +7 והישר x = -1.
נשווה בין משוואות הישרים הללו על מנת למצוא את נקודת החיתוך A.
ההשוואה תבוצע על ידי הצבת x = -1 במשוואת הישר y = -x + 7.

y = -x + 7

y = – ( – 1 ) + 7
y = 8

אנו יודעים כי ערך ה x של נקודת החיתוך הוא x = -1, ולכן ערך הנקודה היא :

( -1 , 8 )

מציאת הנקודה B

נמצא את נקודת החיתון בין הישר y = -x +7 לפרבולה f(x) = -x² + 6x – 3.
נשווה בין המשוואות:

y = -x +7
y = -x² + 6x – 3

-x + 7 = -x² + 6x – 3
0 = -x² + 7x – 10

למציאת ערכי x במשוואה ריבועית, נשתמש בנוסחת השורשים:

בתרגיל זה הקבועים a, b, c הם:
a = -1
b = 7
c = -10
נציב לתוך נוסחת השורשים:

לפי הציור, הנקודה B היא בעלת ערך ה x הגדול יותר ולכן ערך ה x שלה הינו x = 5.
נציב במשוואת הישר x = 5 ונמצא את ערך הy :

y = -5 + 7
y = 2

ולפיכך, ערך הנקודה B הינו

( 5 , 2 )

הערה
ניתן להציב x = 5 גם במשוואת הפרבולה ולקבל את אותה נקודה, אבל לרוב קצר יותר להציב במשוואת ישר מבמשוואת פרבולה.

מציאת הנקודה C

נמצא נקודת החיתוך בין הפרבולה f(x) = -x² + 6x – 3 לישר x = -1. נשווה בין המשוואות, על ידי הצבת x = -1 במשוואת הפרבולה.
x = -1
y = -x² + 6x – 3

y = – ( -1)²  + 6 * ( -1 ) – 3
y = -1 – 6 – 3
y = -10

אנו יודעים כי הערך ה x של נקודת החיתוך הינו x = -1, ולכן ערך הנקודה C הוא:

( -1 , – 10 )

סעיף 2

נצייר את נקודות החיתוך שוב, ונמתח ישרים בינהם כך שיווצר משולש :

לשם חישוב שטח המשולש, נשתמש בנוסחה לחישוב שטח משולש :

כאשר AC הינו אורך צלע הבסיס, ו BD הינו גובה המשולש.

חישוב האורך AC

הישר AC מקביל לציר ה y, ולכן ערך ה x של כל הנקודות שנמצאות עליו שוות. נחסיר בין הנקודה A לנקודה C :

A ( -1 , 8 )
C ( -1 , -10 )
AC = 8 – ( -10)
AC = 8 + 10 = 18

חישוב האורך BD

חישוב הנקודה D

הישר AC מקביל לציר ה y ולכל הנקודות שעליו יש ערך x זהה.
לכן ערך ה x בנקודה D הוא x = -1.

הישר BD מקביל לציר ה x ולכל הנקודות שעליו יש ערך y זהה.
לכן ערך ה y בנקודה D הוא 2.

D ( -1 , 2 )

מציאת BD

נחסיר בין ערכי ה x של הנקודה B ונקודה D

B ( 5 , 2 )
D ( -1 , 2)

BD = 5 – ( -1 ) = 5 + 1 = 6

נציב את הערכים בנוסחת שטח המשולש.
AC = 18
BD = 6

f(x) = -x²  + 3x +10
y = 6
הנקודות A,B הן החיתוך של שתי הפונקציות הללו.
x² + 3x + 10 = 6-
x² + 3x + 4 = 0-
נכפיל את המשוואה ב 1- ונקבל.
x² – 3x – 4 = 0

נפתור בעזרת טרינום
x² + x – 4x – 4 = 0
x(x + 1) – 4(x +1) = 0
x – 4) ( x +1) = 0)
הפתרונות הם:
x = 4
x = -1

(A (4,6
(B(-1, 6

הנקודות C,D הן חיתוך של הפונקציות:
f(x) = -x²  + 3x +10
y = -8

x²  + 3x +10 = -8-
x²  + 3x +18 = 0-
x²  – 3x – 18 = 0

נפתור בעזרת טרינום
x²  – 3x – 18 = 0
x² +3x – 6x – 18 = 0
x(x +3) – 6(x +3) = 0
x – 6) (x + 3) = 0)

הפתרונות:
x = 6
x = -3.

(C(-3, -8
(D(6, -8

חישוב שטח הטרפז
(A (4,6
(B(-1, 6
(C(-3, -8
(D(6, -8

מכוון שהצלעות AB ו CD מקבילות לציר ה x ניתן לחשב את המרחק בניהן על ידי חיסור ערכי ה x שלהן.
AB = 4 – (-1) = 5
CD = 6 – (-3) = 9

מכוון שהצלעות AB ו CD מקבילות לציר ה x גובה הטרפז הוא חיסור ערכי ה y שלהם.
h = 6 – (-8) = 14

שטח טרפז נתון על ידי הנוסחה:
S = 0.5 * (AB + CD) * h
S = 0.5 * (5 + 9) * 14
S = 0.5 * 14 * 14 = 98
תשובה: שטח הטרפז הוא 98 יחידות ריבועיות.