הצגת מכפלה של פרבולה

הצגת מכפלה של פרבולה נראית כך:
(y = a(x – t) * (x – k

הדף הזה הוא תקציר של הדברים שחשוב שתדעו על הצגת מכפלה.

אם אתם צריכים להרחיב יש קישורים לדפים נוספים.

1.נקודות החיתוך עם ציר ה x

בהצגת מכפלה קל לראות את נקודות החיתוך עם ציר ה x.
במשוואה
(y = (x – t) * (x – k
נקודות החיתוך עם ציר ה x הן:
(0, t).
(k, 0)

ובמשוואה
(y = (x – 4) * (x+2
נקודות החיתוך עם ציר ה x הן:
0, 4
0, 2-

הדבר נובע מכך שבנקודות החיתוך עם ציר ה x מתקיים y = 0.
והערכים
x = 4,  x = -2
פותרים את המשוואה:
x – 4) * (x+2) = 0)

• נקודות חיתוך של פרבולה עם הצירים מידע נוסף.

2.אם ידועות נקודות החיתוך עם ציר ה x והמקדם של x² ניתן למצוא את משוואת הפרבולה

בגרף שלמטה משורטטות מספר פרבולות שיש להן נקודות חיתוך זהות עם ציר ה x והן:

A(-4, 0)
B(2,0)

ועל כן את כל הפרבולות הללו ניתן לייצג על ידי המבנה הבא:

f(x) = a(x – 2) (x + 4)

ומה ששונה בין הפרבולות הללו זה הערך של a.

לא ניתן להסיק זאת מהגרף אבל מכוון ששרטטתי את הפרבולות אוכל להגיד לכם כי המשוואות הן:

f(x) = (x – 2) (x + 4)
הפרבולה האדומה.

f(x) = -(x – 2) (x + 4)
הפרבולה השחורה.

f(x) = 0.4(x – 2) (x + 4)
הפרבולה הכחולה.

כלומר כאשר משנים את ה a במשוואה:

f(x) = a(x – 2) (x + 4)

משתנית צורת הפרבולה אך נקודות החיתוך עם ציר ה x אינן משתנות.

3.מציאת נקודת הקודקוד

נקודות החיתוך עם ציר ה x הן נקודות סימטריות בפרבולה משום שיש להם את אותו ערך  y.
בעזרת הנקודות הללו קל יחסית למצוא את ציר הסימטריה ואת ערך ה x של הקודקוד.

(y = (x -1) * (x-5
אם זו הפרבולה אז ערך ה x של הקודקוד הוא:
x =(5+1) :2 = 3
וציר הסימטריה הוא x = 3.

• מידע מפורט בדף ציר הסימטריה.

4.כיצד עוברים מהצגת מכפלה להצגות אחרות? וכיצד עוברים להצגת המכפלה?

מעבר מהצגת מכפלה להצגה סטנדרטית
עושים זאת על ידי פתיחת סוגריים.

דוגמה
מצאו את ההצגה הסטנדרטית של הפרבולה שנקודות החיתוך שלה עם ציר ה x הן:
(4,0)  (1,0).

פתרון
נכתוב את הצגת המכפלה:
(y = (x – 1) (x – 4
נפתח את הסוגריים ונקבל את ההצגה הסטנדרטית.
y = x² – 4x – x + 4
y = x² – 5x + 4

מעבר מהצגה סטנדרטית להצגת מכפלה
על מנת לעבור להצגת מכפלה מהצגה אחרת עלינו למצוא את נקודות החיתוך עם ציר ה x.
אם לדוגמה נקודות החיתוך הן
x = -3
x = 2
אז ההצגה היא:
(y = (x + 3) (x – 2

5. האם את כל הפרבולות ניתן להציג בהצגת מכפלה?

לא.
אמרנו שבפרבולה
(y = (x – t) * (x – k
נקודות החיתוך עם ציר ה x הן:
(0, t).
(k, 0)

ואם יש פרבולה ללא נקודות חיתוך עם ציר ה x איך נציג אותה?
לא ניתן להציג אותה.

ואם לפרבולה יש נקודת השקה אחת עם ציר ה x, איך נציג אותה?
זה אפשרי.
אם נקודת ההשקה היא:
x = a
אז המשוואה של הפרבולה תהיה:
(y = (x – a) * (x – a
y = (x – a)²

6.כיצד מציגים פרבולה עם נקודת מקסימום?

לפרבולה עם נקודת מקסימום צריך להיות מינוס לפני x².
וניתן לרשום זאת כך:

(y = – (x – t) * (x – k
או כך:
(y =(-x – t) * (x – k

עוד באתר:

• הצגה קודקודית.
• פרבולה סיכום.
• פרבולה תרגילים מסכמים.
• מתמטיקה לכיתה ט.

תרגילים

שני תרגילי מעבר להצגת מכפלה.

תרגיל 1
נתון גרף של פרבולה.
נקודת הקודקוד נמצא ב (4, 3-)
כתבו את הצגת המכפלה של הפרבולה.

פתרון
ניתן לראות שלפרבולה הזו אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.
לכן לא ניתן לכתוב עבור הפרבולה הזו הצגת מכפלה.

הנתון על נקודת הקודקוד נועד לבלבל אותנו ואין לו משמעות.

תרגיל 2
כתבו את הצגת המכפלה של הפרבולות הבאות
y = 3x² – 12x
y= 2x² + 10x +12
כתבו באלו נקודות הפרבולות הללו חותכות את ציר ה x.

פתרון
עבור הפרבולה y = 3x² – 12x 
נוציא גורם משותף ונקבל
y = 3x (x -4)
ממצב זה אין עוד שום דבר שאנו יכולים לעשות. וזו הצגת המכפלה של הפרבולה.

נקודות החיתוך של הפרבולה הזו עם ציר ה x הן:
x=0, x =4
אם זה לא ברור למה אז שימו לב שניתן לכתוב את משוואת הפרבולה גם כך:
(y = (3x – 0) (x-4

עבור הפרבולה y= 2x² + 10x +12
נוציא גורם משותף
(y = 2(x² + 5x + 6

ועכשיו נפרק את הטרינום שבתוך הסוגריים
על מנת למנוע בלבול וריבוי סוגריים נפרק את הטרינום בנפרד ואז נחזיר אותו אל הפונקציה.
x² + 5x + 6
x² + 2x + 3x + 6
(x (x +2) + 3 (x +2
(x+ 3) (x+2)

נחזור אל המשוואה המקורית
(y = 2(x+3)(x+2
זו משוואת הפרבולה.

נקודות החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x הם.
0, 3-
0, 2-

תרגיל 3
נקודות החיתוך של פרבולה עם ציר ה x הן:
(6,0)  (1,0).
כתבו את המשוואה הסטנדרטית של הפרבולה.

פתרון
נכתוב את הצגת המכפלה של הפרבולה:
(y = (x – 1)  (x – 6
ואז נפתח את הסוגריים ונקבל את המשוואה הסטנדרטית.
y = x² – 6x – x + 6
y = x¹ – 7x + 6

תרגיל 4
ידוע כי המקדם של x² בפרבולה הבאה הוא 3.
קבעו את משוואת הפרבולה על פי השרטוט המצורף.

פתרון
אנו רואים שנקודות החיתוך עם ציר ה x הן
x = -1,   x = 2
ומכוון שהמקדם של x²  הוא 3 הצגת המכפלה תהיה.
(y = 3(x + 1) (x – 2