בדף זה שאלות שאלות שנשאלתי בנושא פונקציה קווית.
דף זה יחד עם שאר הדפים בנושא פונקציה קווית לכיתה ח צריך לתת לכם מענה שלם בנושא.
יש לכם שאלה ללא תשובה? שאלו ותקבלו תשובה בהקדם.
1.מה זו פונקציה קווית?
נציג מאפיין גרפי ומאפיין של משוואת פונקציה קווית.
מאפיין גרפי
פונקציה קווית היא פונקציה שכאשר משרטטים את הגרף שלה מקבלים גרף של ישר.
שימו לב שיש גרפים של ישרים שאינם פונקציות קוויות, ואלו הישרים מהצורה x = k (כאשר k מספר).
למשל הישרים x = 5, x = -2 אינם פונקציות קוויות.
דוגמה לכך בשאלה 2.
מאפיין של משוואה
פונקציה קווית היא פונקציה שהמשוואה שלה היא:
y = mx + n
כאשר m,n יכולים להיות כל מספר
למשל:
y = 3x – 1
y = 2
y = 4x
אלו הם פונקציות קוויות.
2.האם השיפוע של הישר x = 3 (בשרטוט) הוא אינסוף?
תשובה
לא.
השיפוע של הישר הזה הוא “לא מוגדר”.
כל הישרים הנראים כך:
x =2, x = -8, x = 0
השיפוע שלהם הוא “לא מוגדר”.
ניתן להוכיח זאת בעזרת הנוסחה לחישוב שיפוע על פי שתי נקודות.
נבחר באופן מקרי שתי נקודות הנמצאות על הישר x= 3.
למשל:
(3,0)
(3,2)
נציב אותן בנוסחה ונקבל:
תרגיל שצריך לחלק בו ל 0 תוצאתו לא מוגדרת.
ולכן שיפוע הישר x = 3 הוא לא מוגדר.
3.האם יש ישר ששיפועו אינסוף? האם יש ישר ששיפועו 0?
תשובה
אין ישר ששיפועו אינסוף.
יש ישר ששיפועו 0.
כל הישרים הנראים כך:
y = 4
y = -5
y = -1
השיפוע שלהם הוא 0.
ניתן להוכיח זאת בעזרת הנוסחה למציאת שיפוע על פי שתי נקודות.
נבחר שתי נקודות הנמצאות על הישר
y = 4
למשל:
(0,4)
(1,4)
נציב אותם בנוסחה ונקבל:
השיפוע הוא 0.
4.כיצד יודעים עם פונקציה קווית עולה או יורדת?
תשובה
יש שתי דרכים, דרך אחת בעזרת גרף ודרך שנייה בעזרת משוואת הישר.
הדרך בעזרת הגרף
אנו צריכים להסתכל על הישר משמאל לימין.
אם הישר עולה אז הישר עולה.
אם הישר יורד אז הישר יורד.
למשל, קבעו בגרף שלמטה מי הוא הישר שעולה ומי הישר שיורד.
מסתכלים משמאל לימין.
הישר שעולה הוא השחור.
הישר שיורד הוא האדום.
הדרך בעזרת המשוואה
נסתכל על משוואת הישר כשהיא בצורה המפורשת שלה (הצורה המפורשת היא כאשר ה y נמצא בצד אחד עם מקדם 1, וכל שאר הדברים נמצאים בצד השני.
אם המקדם של ה x חיובי אז משוואת הישר עולה.
אם המקדם של ה x שלילי אז משוואת הישר יורדת.
למשל:
y = -2x + 4
המקדם של x שלילי (2-), לכן משוואת הישר יורדת.
y = 4x
המקדם של ה x חיובי (4), לכן משוואת הישר עולה.
5.האם השיפוע של הישר 3y – 6x = 9 הוא 6- ?
תשובה
לא.
על מנת למצוא את שיפוע הישר עלינו לעבור אל משוואה מפורשת של הישר.
המשוואה 3y – 6x = 9 היא לא משוואה מפורשת, כי:
- כי המקדם של y הוא 3 ולא 1.
- כי ה y לא נמצא לבדו בצד אחד של המשוואה.
על מנת למצוא את השיפוע נעביר את המשוואה למצב של “משוואה מפורשת”.
3y – 6x = 9 / +6x
3y = 6x + 9 / :3
y = 2x + 3
המשוואה האחרונה היא משוואה מפורשת.
המקדם של x הוא 2, לכן השיפוע הוא 2.
6.ללא שימוש במשוואה קבעו:
האם הישר העובר דרך שתי הנקודות
(A (-1, 7
(B (2,5
הוא ישר עולה.
תשובה
ההגדרה אומרת שאם “כאשר ערך ה x עולה גם ערך ה y עולה אז הישר עולה”
ולהפך “אם כאשר ערך ה x עולה ערך ה y יורד אז משוואת הישר יורדת”.
במקרה שלנו אנו רואים שבין A ל B ערך ה x עולה (מ 1- ל 2).
לעומת זאת ערך ה y יורד (מ 7 ל 5).
לכן הישר AB הוא ישר יורד.
דוגמה נוספת
(A (3, 8
(B (1,2
בין A ל B ערך ה x יורד (מ 3 ל 1).
גם ערך ה y יורד (מ 8 ל 2).
לכן זו משוואת ישר עולה. כי כאשר ערך ה x יורד גם ערך ה y יורד.
הערה
למי שלא נוח להסתכל על הנקודות כאשר ערך ה x יורד יכול להסתכל על הנקודות מ B ל A ולהגיד.
בין B ל A ערך ה x עולה (מ 1 ל 3).
וגם ערך ה y עולה (מ 2 ל 8).
לכן משוואת הישר עולה. כי כאשר ערך ה x עולה גם ערך ה y עולה אז משוואת הישר עולה.
7.קבעו ללא חישוב מה היא נקודת החיתוך של הישר y = 2x – 4 עם ציר ה y.
וגם: האם כל הישרים שמשוואתם y = mx – 4 חותכים את ציר ה y בנקודה (4-, 0)
תשובה
נקודת החיתוך עם ציר ה y היא:
(4 -, 0).
כי נקודת החיתוך של הישר
y = mx + n
תמיד תהיה:
נוכיח זאת
על מנת למצוא נקודת חיתוך עם ציר ה y צריך להציב x = 0 במשוואה. (הסבר כאן).
נציב x= 0 במשוואה y =mx + n ונקבל:
y = mx + n
y = m * 0 + n
y= n
קיבלנו שכאשר x= 0 ערך ה y של המשוואה הוא n.
לכן נקודת החיתוך עם ציר ה y הוא:
לגבי השאלה השנייה
מאותה סיבה כל הישרים שמשוואתם y = mx – 4 חותכים את ציר ה y בנקודה (4-, 0).
כי כאשר נציב x = 0 במשוואה נקבל:
y = m*0 – 4
y = -4
ולמה מציבים x = 0 כדי למצוא את נקודת החיתוך עם ציר ה y?
כי בכול הנקודות הנמצאות על ציר ה y מתקיים x = 0.
8.כמה ישרים העוברים דרך נקודה אחת ניתן לשרטט (למשל הנקודה 2,3)?
מה ההבדל בין כל הישרים הללו?
ובנוסף: האם ישר העובר דרך הנקודה הזו חייב להיות ישר עולה?
פתרון
דרך נקודה אחת ניתן להעביר אינסוף ישרים.
ההבדל בין כל הישרים הללו הוא השיפוע. לכל הישרים הללו יש שיפוע שונה.
וכפי שאתם רואים דרך כל נקודה ניתן להעביר ישרים עולים ויורדים.
9.מה זה “ערך של פונקציה קווית”?
תשובה
ערך של פונקציה זה ערך ה y בנקודה, ערך ה y שמתקבל עבור הצבת x מסוים בפונקציה.
למשל, עבור הפונקציה:
y = 4x – 2
ערך הפונקציה ב x = 1 הוא:
y = 4*1 – 2
y = 4 – 2 = 2
תשובה: ערך הפונקציה ב x = 1 הוא 2.
10. אם יודעים שישר מקביל לציר ה y, מה זה אומר עליו?
- ששיפוע הישר הוא 0.
- שמשוואת הישר היא מהצורה y שווה מספר.
- שערך ה y לאורך כל הישר שווה.
11.איזה ישר עובר דרך הנקודה (2,3) והוא אינו פונקציה קווית?
ישר שאינו פונקציה קווית הוא ישר מהצורה x = k, ישר המקביל לציר ה y.
ישר מסוג זה הוא בעל ערך x קבוע לכל אורכו, ומכוון שערך ה x שלו בנקודה הוא 2 אז משוואת הישר היא x = 2.
12.מצאו את משוואת הישר ששתי נקודות החיתוך שלו עם הצירים הן חיוביות והן נמצאות במרחק שווה מראשית הצירים.
הישר עובר בנקודה (0.4).
הנקודה הנוספת שנמצאת במרחק 4 מראשית הצירים והיא נקודה חיובית היא (4,0).
עוד באתר:
מה מאפיין פונקצה קווית
שלום
שיש לה שיפוע קבוע ושהגרף שלה ישר.