בעיות תנועה סיכום | לומדים מתמטיקה

בדף זה נסכם את נושא בעיות התנועה עבור תלמידי חטיבת הביניים.
הסיכום כולל את שלושת הנושאים המרכזיים והבסיסיים הנושא בעיות תנועה + טיפ כיצד להתגבר על מכשול.

הנושאים הם:

בעיות שוויון דרכים.
בעיות סכום דרכים.
בעיות טבלה.
מכשולים הנובעים מזמנים לא ברורים.

הסיכום הזה הוא תאורטי כמעט לגמרי. המטרה היא להסביר את הרעיונות שבעזרתם פותרים תרגילים אבל זה לא מספיק, עליכם להשתמש בקישורים היוצאים מדף זה על מנת לתרגל את הפתרון.
או להשתמש בקישור בעיות תנועה לכיתות ח-ט הכולל תרגילים מכל הסוגים.

1.בעיות שוויון דרכים

משוואות מסוג שוויון דרכים הם משוואות בהם עוברים את אותו מרחק פעמיים.

דוגמה 1
מכונית נוסעת מתל אביב לחיפה במהירות 90 קמ”ש. ביום “מיוחד” אחד היא נסעה במהירות 80 קמ”ש.
במקרה זה נחשב את המרחק שעברה ביום הרגיל והוא יהיה שווה למרחק שנעבר ביום המיוחד.

ניסוח אחר יכול להיות שתי מכוניות הנוסעות מתל אביב לחיפה (במקום מכונית אחת הנוסעת פעמיים).

דוגמה 2
מכונית נוסעת מתל אביב לחיפה במהירות 90 קמ”ש ולאחר מיכן נוסעת בחזרה במהירות 80 קמ”ש.
גם במקרה זה הדרך הלוך שווה לדרך חזור.

ניסוח אחר יכול להיות שמכונית אחת נוסעת מתל אביב לחיפה ומכונית שנייה מחיפה לתל אביב.

דוגמה 1
מטוס טס בדרך הלוך במהירות קבועה במשך 5 שעות.
בדרך חזור הוא מגדיל את מהירותו ב 200 קמ”ש ולכן דרכו נמשכת 4 שעות.

בנו משוואה למציאת מהירות המטוס ואורך הטיסה.
אם המטוס מגביר את מהירותו ב 100 קמ”ש וטיסתו נמשכת 4.5 שעות. בנו משוואה.

פתרון
המהירויות
x המהירות בדרך הלוך בקמ”ש.
x + 20 המהירות בדרך חזור בקמ”ש.

הדרך
5x אורך הדרך הלוך
x + 200) *4) אורך הדרך חזור.

המשוואה:
שתי הדרכים שוות לכן המשוואה היא:
(5x = 4(x + 200
5x = 4x + 800 / -4x
x = 800

המהירות בדרך הלוך היא 800 קמ”ש ומשך הטיסה הוא 5 שעות. לכן הדרך היא:
4000 = 5 * 800

בעיות תנועה סכום דרכים תרגילים נוספים.

3.בעיות סכום דרכים

בעיות סכום דרכים אלו בעיות בהם המשוואה תראה כך:
… = דרך בקטע ב + דרך בקטע א

עבור אלו ניסוחים המשוואה תהיה סכום דרכים?

1.שני כלי רכב הנוסעים זה לכיוון זה.

כאשר שני כלי רכב נוסעים זה לקראת זה המרחק שהם עוברים ביחד שווה למרחק שהיה בניהם בהתחלה.

אם המרחק מירושלים לאילת הוא 400 ק”מ ומכונית אחת יוצאת מירושלים והשנייה מאילת.
בזמן הפגישה שלהם שתי המכוניות ביחד עברו 400 ק”מ.

ואם המכוניות נעצרו במרחק של 80 ק”מ אחד מהשנייה אז המרחק שהם עברו ביחד הוא 320.

2. שני כלי רכב היוצאים מאותה נקודה בכיוונים מנוגדים.

כאשר שני כלי רכב יוצאים מאותה נקודה ובכיוונים מנוגדים המרחק בניהם בזמן העצירה שווה לסכום המרחקים שלהם.
אם למשל שני כלי רכב יצאו מאותה נקודה ובכיוונים מנוגדים ולאחר נסיעה המרחק בניהם היה 350 ק”מ אז הדרך שעבר כלי רכב אחד ועוד הדרך שעבר כלי רכב שני היא 350 ק”מ.

3.גוף הנע באותו כיוון ומשנה את מהירותו במהלך הנסיעה

למשל גוף המתחיל את התנועה מאילת לירושלים במהירות 80 קמ”ש ולאחר מיכן עובר למהירות 90 קמ”ש.
במקרה זה מחשבים את הדרך שעבר במהירות 80 ועוד הדרך שעבר במהירות 90 וזה שווה לדרך כולה.

דוגמה 1
מכונית החלה בנסיעה של 410 ק”מ במהירות מסוימת לאחר 3 שעות הגבירה את מהירותה ב 30 קמ”ש וסיימה את נסיעתה לאחר 5 שעות מרגע יציאתה לדרך.
באיזו מהירות התחילה המכונית את הנסיעה?

פתרון
שלב א: בחירת משתנה
אנו לא יודעים את מהירות המכונית, לכן מהירות המכונית תהיה המשתנה
v – המהירות שבה התחילה המכונית את הנסיעה.
v+30 מהירות המכונית לאחר שהגבירה את מהירותה.

שלב ב: בניית טבלה (לא חובה)
נציב את הנתונים בטבלה (בשחור) ונחשב את הדרך שנעשתה בשתי המהירויות (באדום).

	מהירות	זמן	דרך
נסיעה במהירות התחלתית	v	3	3v
נסיעה במהירות מוגברת	v+30	2	2(v+30)

שלב ג: בניית משוואה
3v – הדרך שהמכונית עברה במהירות ההתחלתית.
2(v+30) – הדרך שהמכונית עברה במהירות המוגברת.
סכום הדרכים הוא 410 לכן המשוואה היא:
3v + 2(v+30)=410
3v+2v+60=410 /-60
5v=350 /:5
v=70

תשובה: המהירות ההתחלתית של המכונית הייתה 70 קמ”ש.

בעיות תנועה סכום דרכים תרגילים נוספים.

3.בעיות תנועה עם טבלה

בעיות תנועה עם טבלה אלו הן בעיות בהן אחד הגופים הנעים משנה את מהירותו או עוצר מספר פעמים.
לרוב אלו בעיות הנפתרות על ידי משוואות של שוויון דרכים.

בעיות תנועה הנפתרות על ידי טבלה מבוססות לרוב על 3 עקרונות:

כל פעם שגוף משנה מהירות זו שורה נפרדת בטבלה. מספר המהירויות המתוארות בתרגיל (כולל עצירה) זה מספר השורות שאנו צריכים שיהיו לנו בטבלה.
ב 99% מהמקרים בעיות טבלה הן בעיות שוויון דרכים, לכן אנו צריכים לבחור משתנה אשר יאפשר לנו להגדיר את אורך הדרך שעבר אחד הגופים.
לרוב יש שורה בטבלה שהיא קשה יותר, לרוב זו השורה האחרונה, הקפידו ללמוד אותה. בהרבה מקרים נסיק את אחד מהגדלים שבשורה זו משורות הקודמות.

הסבר מפורט כיצד לפתור את בעיות התנועה הללו בסרטוני הוידאו הבאים.
בשני הסרטונים תרגילים קשים יחסית.
בסרטון הראשון בעיה בה זמני התנועה שווים.
בסרטון השני בעיה שבה זמני התנועה שונים.

בעיות תנועה עם טבלה תרגילים נוספים.

4.מכשולים הנובעים מזמנים לא ברורים

במקרה הקל תקבלו במפורש כמה שעות נסע כל כלי רכב. או שיגידו לכם שכלי רכב אחד נסע שעתיים יותר.

בתרגילים קשים יותר יגידו לכם כי כלי רכב אחד “יצא שעה אחרי” או “הגיע שעתיים לפני” ואתם תצטרכו להסיק מזה על הקשר בין הזמנים של כלי הרכב.

עלכם להבין את הכללים הבאים (אלו כללים הגיוניים):
משאית נוסעת x שעות.

אם מכונית יוצאת לדרך שעה אחרי משאית ושתיהן מגיעות ביחד ליעד אז זמן הנסיעה של המכונית הוא x -1.
אם מכונית יוצאת שעה לפני משאית והם מגיעות ביחד אז זמן הנסיעה של המכונית הוא x +1.
אם המכונית והמשאית יוצאות ביחד והמכונית מגיעה שעה לפני המשאית אז זמן נסיעת המכונית הוא x – 1.
אם המכונית והמשאית יוצאות ביחד והמכונית מגיעה שעה אחרי המשאית אז זמן נסיעת המכונית הוא x + 1.

תרגיל 1
מכונית יצאה מירושלים לאילת.
2 שעות אחרי המכונית יצאה משאית.
המשאית והמכונית הגיעו ביחד לאילת.
הזמן שנסעה המכונית הוא x. מה הזמן שנסעה המשאית?

פתרון
המשאית יצאה אחרי המכונית. לכן הייתה שעתיים פחות בנסיעה.
x – 2 זה הזמן שנסעה המשאית.

תרגיל 2
מכונית יצאה מירושלים לאילת.
3 שעות לפני המכונית יצאה משאית.
המשאית והמכונית הגיעו ביחד לאילת.
הזמן שנסעה המכונית הוא x. מה הזמן שנסעה המשאית?

פתרון
המשאית יצאה לפני המכונית. לכן הייתה 3 שעות יותר בנסיעה.
x + 3 זה הזמן שנסעה המשאית.

תרגיל 3
מכונית יצאה מירושלים לאילת.
1 שעות לפני המכונית יצאה משאית.
המשאית הגיעה 3 שעות לאחר המכונית.
הזמן שנסעה המכונית הוא x. מה הזמן שנסעה המשאית?

פתרון
ביציאה המשאית נסעה 1 שעות יותר.
בהגעה המשאית נסעה 3 שעות יותר.
לכן בסך הכל המשאית נסעה 4 שעות יותר.
x + 4 זה הזמן שנסעה המשאית.

תרגיל 4
מכונית יצאה מירושלים לאילת.
1 שעות לאחר המכונית יצאה משאית.
המשאית הגיעה 2 שעות לפני המכונית.
הזמן שנסעה המכונית הוא x. מה הזמן שנסעה המשאית?

פתרון
ביציאה המשאית נסעה 1 שעות פחות.
בהגעה המשאית נסעה 2 שעות פחות.
סך הכל המשאית נסעה 3 שעות פחות.
x – 3 זה הזמן שנסעה המשאית

מכשול זמן נוסף

במקרים מסוימים גוף ינוע בשתי מהירויות, למשל 80 קמ”ש בדרך הלוך ו 90 קמ”ש בדרך חזור.
ומבחינת זמן נקבל מידע על הזמן של שתי הדרכים יחד. למשל הזמן הלוך חזור היה 8 שעות.

במקרה זה ניתן להגדיר שני נעלמים:
x הזמן בשעות בדרך הלוך.
y הזמן בשעות בדרך חזור.
ואז
x + y = 8
וגם
80x זו הדרך הלוך.
90y זו הדרך חזור.

ומכוון שהדרכים שוות המשוואה השנייה היא:
80x = 90y

וניתן גם להגדיר נעלם אחד.
x הזמן בשעות בדרך הלוך.

זה הזמן בדרך חזור.

ובנוסף:
80x הדרך הלוך

הדרך חזור.

ומכוון ששתי הדרכים שוות המשוואה היא:
(80x = 90(8 – x

5.קישורים

בעיות תנועה כיתות ח – ט – תרגילים מכל הסוגים.
בעיות תנועה שוויון דרכים.
בעיות תנועה סכום דרכים.
בעיות תנועה עם טבלה.
בעיות תנועה כיתות ט-י.
בעיות תנועה הדף המסכם עם תרגילים נוספים.