פרבולות מהסוג f(x) = a(x-p)² + k

הערה בנוגע לסרטון בזמן  1:01.

כאשר אין b ערך ה c הוא ערך ההזזה ולכן ה c קובע את ההזזה.
כאשר יש b ה c משפיע על ההזזה אבל הוא לא הגורם היחיד שקובע אותה.

נושא המשוואה הריבועית והפונקציה הריבועית הוא נושא ארוך. באתר זה הוא מחולק ל 5 חלקים:

1. משוואה ריבועית, דרכים שונות לפתרון משוואה ריבועית.
2. פונקציה ריבועית, כיצד חוקרים פונקציה ריבועית. אלו שאלות שואלים על פונקציה ריבועית.
3. משפחת הפרבולות – סוגים שונים של פרבולות, הזזות, תרגילים. סיכום הנושא.
4. בעיות מילוליות עם משוואה ריבועית.
5. אי שוויונים ריבועיים. כיצד פותרים.

נושא דף זה הוא הפרבולה / פונקציה ריבועית f(x) = a(x-p)² + k.
(דפים קודמים: פרבולות מהסוג f(x) = ax², פרבולות מהסוג f(x) = ax² + c)

זו הפרבולה המורכבת ביותר עם כל סוגי “ההזזות”.

המספר p מייצג את ההזזה לאורך ציר ה x.
המספר K מייצג את ההזזה לאורך ציר ה y.

קודקוד הפרבולה נמצא בנקודה (p,k).

המספר a מייצג עד כמה הפרבולה תלולה.

תרגילים

תרגיל 1

נתונה הפרבולה f(x) = (x-4)².

1. כמה נקודות חיתוך יש לפרבולה זו עם ציר ה x?
2. מצאו פרבולה שיש לה אותו ציר סימטריה כמו פרבולה זו אבל אין לה נקודות חיתוך עם ציר ה x.
3. מה המרחק בין קודקודי הפרבולות שמצאתם?

פתרון

חלק ראשון.
הפרבולה חותכת את ציר ה x כאשר f(x) = 0.
x-4)² =0)
x=4
לפרבולה יש נקודת חיתוך אחת והיא (4,0)

חלק שני
על מנת שציר הסימטריה ישמר נשמור על המבנה x-4)²) ונוסיף לו k>0 שקודקוד הפרבולה יהיה מעל ציר ה x ולא יחתוך אותו. למשל:
h(x) = (x-4)² + 5 זו פרבולה שהקודקוד שלה בנקודה (4,5).

חלק שלישי
לשני הקודקודים ערך x שווה לכן המרחק בניהם נמצא על ציר ה y בלבד. מרחק זה הוא 5.

תרגיל 2

1. כתבו פרבולה מהצורה f(x) = a(x-p)² + k שבה קודקוד הפרבולה נמצא בנקודה (6, 2-). כמה פרבולות כאלו אתם יכולים לכתוב?
2. כתבו משוואת פרבולה אחרת העוברת דרך הנקודה (6, 2-) אך הנקודה אינה קודקוד הפרבולה.

פתרון

פרבולה שהקודקוד שלה הוא בנקודה (6, 2-) יכולה להיות f(x) = (x+2)² + 6.
ניתן לכתוב אינסוף כאלו על ידי שינוי ערך ה a. למשל f(x) = 5(x+2)² + 6.

על מנת לכתוב משוואת פרבולה העוברת בנקודה נצמצם את כמות המשתנים באופן שרירותי. למשל נחליט a=0, p=0 ונציב את ערכי הנקודה עם משתנה אחד k.
6 = ²(2-) + k
k+4 =6
k=2
משוואת הפרבולה היא h(x) = x² +2.

תרגיל 3

כתבו את משוואת הפרבולה f(x) = x² +6x -4 בצורה f(x) = a(x-p)² + k

פתרון
נעשה את באמצעות השלמה לריבוע.
הביטוי שבתוך הסוגריים חייב להיות x+3)²) וזה על מנת שנקבל x² +6x.
עכשיו נשלים לריבוע:
f(x) = (x+3)²-13

עוד באתר:

• מתמטיקה לכיתה ט. הסברים ותרגילים לחומר הלימוד בשנה זו.
• משוואת ישר. הסבר מקיף על הדרכים למצוא את משוואת הישר והמאפיינים הגרפיים שלה.