סכום סדרה חשבונית

אנו יודעים שסכום 8 האיברים הראשונים הוא 216.
נשתמש בנוסחת סכום סדרה חשבונית עבור שמונת האיברים:

כאשר n=8:

(2a₁+7d)*8 = 432  /:8
2a₁+7d = 54

קיבלנו משוואה אחת עם 2 נעלמים.
עלינו ליצור משוואה נוספת על מנת למצוא אותם.

נתון נוסף בעזרתו נבנה משוואה הוא “סכום האיברים השלישי והחמישי הוא 42”.
כלומר:

a₃ + a₅ = 42

ניתן לבטא כל אחד מהאיברים באמצעות נוסחת האיבר הכללי בסדרה חשבונית:

a_n= a₁+ (n-1)d

כאשר n=3:
a₃= a₁+ 2d

כאשר n=5:
a₅= a₁+4d

לכן:

a₃ + a₅ = 42
a₁ + 2d + a₁ + 4d = 42
2a₁ + 6d = 42

קיבלנו 2 משוואות עם 2 נעלמים:
2a₁+7d = 54
2a₁ + 6d = 42

נפתור בשיטת השוואת מקדמים.
נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה ונקבל:

d = 12

נציב את d במשוואה הראשונה למציאת האיבר הראשון:

2a₁ + 7*12= 54
2a₁ + 84 = 54
2a₁ = -30
a₁ = -15

בשאלה התבקשנו למצוא את האיבר השני בסדרה.
נשתמש בנוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית כאשר n=2:

a_n= a₁+ (n-1)d
a₂= a₁+ (2-1)d
a₂= -15+ 12
a₂= -3

הנוסחה הכללית של סכום סדרה חשבונית היא:

נציב את הנתונים של השאלה בנוסחת הסכום ונקבל:

הנוסחה הכללית של סכום סדרה חשבונית היא:

נציב את הנתונים של השאלה בנוסחת הסכום ונקבל:

פתרון
אנו יודעים כי:
a₁ = 22
d = -3
s_n = 87
צריכים למצוא את n.

נציב את הנתונים בנוסחה:

ונקבל:

נכפיל פי 2 את המשוואה.
וגם נבצע פעולות בתוך הסוגריים.

(44 – 3n + 3) * n = 174

3n² + 47n = 174-
3n² + 47n – 174 = 0-

נפתור את המשוואה הזו בעזרת נוסחת השורשים ונקבל
n₁ = 6,   n₂ = 9.666

מכוון ש n הוא מיקום של איבר בסדרה הוא חייב להיות מספר שלם.
הפתרון היחיד שמתאים לשאלה הוא n = 6.

דרך הפתרון:

1. נתון לנו a₈ = 40 , לכן נציב את הנתון הזה בנוסחת האיבר הכללי ונמצא את a₁.
2. נחשב את הסכום.

פתרון
a₈ = 40
d = 5
S₆ =

שלב ראשון: מציאת האיבר הראשון בסדרה
כאשר נתון לנו איבר שהוא לא האיבר הראשון אנו מציבים אותו בנוסחת האיבר הכללי על מנת למצוא את מה שחסר לנו (a₁).

a₁+ (n-1)d = a_n
עבור n = 8
a₁+ (8-1)5 = 40
a₁ + 35 = 40
a₁ = 5

שלב שני: חישוב סכום הסדרה
נוסחת סכום סדרה חשבונית היא:

a₁ = 5
d = 5
n = 6
נציב את הנתונים הללו בנוסחת הסכום ונקבל:

S_n = (2*5 + (6 -1) *5) *6 * 0.5
S_n = (10 + 25)*3 = 35 * 3 = 105
תשובה: סכום 6 האיברים הראשונים של הסדרה הוא 105.

פתרון
נוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית היא:
a_n=a₁+ (n-1)d
נציב בנוסחה את שני האיברים שקיבלנו.

עבור a₄ = 25
a₁ + (4 -1)d = 25
a₁ + 3d = 25

עבור a₇ = 5
a₁ + (7 -1)d = 10
a₁ + 6d = 10

קיבלנו שתי משוואות:
a₁ + 3d = 25
a₁ + 6d = 10

הדרך הקצרה לפתור אותן היא בשיטת השוואת מקדמים.
נחסר את המשוואה הראשונה מהשנייה.
3d = -15
d = -5

נציב d = -5 במשוואה הראשונה ונקבל:
a₁ + 3d = 25
a₁ -15= 25
a₁ = 40
תשובה: a₁ = 40,  d = -5.

סעיף ב: סכום 9 איברים ראשונים
a₁ = 40
d = -5
n = 9
נציב את המספרים הללו בנוסחת סכום סדרה חשבונית.

S_n = (2*40 + (9-1) * -5) * 9 * 0.5
S_n = (80 -40) * 4.5
S_n = 40 * 4.5 = 180
תשובה: סכום 9 האיברים הראשונים הוא 180.

פתרון
הנתונים
a₁ = -7
a₉ = 5a₄
S₁₀ = ?

שלב ראשון: שימוש בנוסחאות האיבר הכללי למציאת d
נגדיר את האיבר הרביעי והאבר התשיעי בעזרת נוסחת האיבר הכללי
a_n=a₁+ (n-1)d
a₄ = a₁ + (4 -1)d
a₄ = a₁ + 3d
a₉ = a₁ + 8d

אנו יודעים ש a₉ = 5a₄ וגם a₁ = -7
אז נבנה משוואה עם נעלם אחד.
a₉ = 5a₄
(8d -7 = 5(-7 + 3d
8d -7 = -35 + 15d
7d = -28-
d = 4

שלב שני: חישוב סכום 10 האיברים הראשונים
נוסחת הסכום היא:

הנתונים שלנו הם:
a₁ = -7
d = 4
n = 10
נציב בנוסחה:
S₁₀ = (2* -7 + (10-1)*4) * 10 * 0.5
S₁₀ = (-14 + 36) * 5
S₁₀ = 22* 5 = 110
תשובה: סכום 10 האיברים הראשונים הוא 110.

פתרון
בשאלה זו יש שני נעלמים: האיבר הראשון והפרש הסדרה.
ולכן צריך לבנות שתי משוואות.

המשוואה הראשונה מבוססת על המשפט:
“האיבר החמישי גדול מהאיבר השני פי 2”.

2a₂ = a₅
2(a₁ + d) = a₁ + 4d

נפתח את המשוואה ונמצא
2(a₁ + d) = a₁ + 4d
2a₁ + 2d = a₁ + 4d
a₁ = 2d

המשוואה השנייה מבוססת על המשפט:
“סכום 6 האיברים הראשונים הוא 135”.

נציב במשוואה זו את המשוואה הראשונה:
2a₁ = 4d
S₆ = 135

135 = 27d  / : 27
5 = d

נציב במשוואה הראשונה:
a₁ = 2d = 2 *5
a₁ = 10

תשובה: האיבר הראשון של הסדרה הוא 10.

דרך הפתרון
בשאלה זו נבנה שתי משוואות.
עבור המשפט “בסדרה חשבונית האיבר השישי גדול פי 2 מהאיבר השלישי”  נשתמש בנוסחה
a_n = a₁ + (n-1)d על מנת לבנות משוואה.

עבור המשפט “סכום 7 האיברים הראשונים בסדרה הוא 112” נשתמש בנוסחת הסכום:

פתרון

נגדיר את a₆ , a₃.

a₆ = a₁ + 5d
a₃ = a₁ + 2d

המשוואה היא:
a₆ = 2a₃

(a₁ + 5d = 2(a₁ + 2d

a₁ + 5d = 2a₁ + 4d  / -4d – a₁
d = a₁

עכשיו נבנה את המשוואה השנייה בעזרת נוסחת הסכום:
n = 7,  S₇ = 112

224 = (2a₁ + 6d) * 7
224 = 14a₁ + 42d

נציב את את המשוואה d = a₁ במשוואה שהגענו אליה עכשיו

224  = 14d + 42d
224 = 56d
4 = d

d = a₁ = 4

תשובה: d = 4,  a₁ = 4.

פתרון
נוסחת סכום סדרה חשבונית היא:
(s_n=(2a₁+(n-1)d)(n:2
ואנו יודעים עבור סדרת 5 האיברים האחרונים את כל מה שצריך מלבד האיבר הראשון.

מציאת a₆
חמשת האיברים האחרונים בסדרה הם:
a₆,  a₇,  a₈,  a₉,  a₁₀
זו סדרה חשבונית שבאיבר הראשון שלה הוא a₆.
נשתמש בנוסחת האיבר הכללי על מנת למצוא את a₆
a_n = a₁ + (n-1)d
a₆ = 4 + (6 – 1)5 = 4 + 25 = 29

חישוב סכום 5 האיברים האחרונים
עבור סדרת חמשת האיברים האחרונים הנתונים הם:
a₆ = 29
d = 5
n = 5
s₅ = ?

הצבה בנוסחה
(s_n=(2a₁+(n-1)d)(n:2

2s₅ = (58 +20)5
2s₅ = 390  / :2
s₅ = 195

תשובה: סכום חמשת האיברים האחרונים הוא 195.

פתרון
נתייחס אל שמונת האיברים שסכומם 208 כסדרה חשבונית אשר ה- a₁ שלה לא ידוע.
אנו יודעים
d = 4,   n = 8,  s_n  = 208.

1.מציאת גודל האיבר ממנו התחילו את הסכום.
נציב בנוסחה לסכום סדרה חשבונית:
(s_n=2a₁+(n-1)d)(n:2

2a₁ + 28 )4 = 208   / : 4)
2a₁ + 28 = 52   / -28
2a₁ =  24 / : 2
a₁ = 12
(נזכור כי זה לא האיבר הראשון בסדרה המקורית, אלא האיבר הראשון ממנו התחילו את הסכום).

2. מציאת מיקום האיבר.
נניח שהאיבר שמצאנו וגודלו 12 נמצא במקום ה n.
a_n = 12
אנו גם יודעים:
a₁ =  -20,  d = 4.

נציב את הנתונים בנוסחת האיבר הכללי
a_n  = a₁ + (n-1)d
n- 1)4 -20 = 12)
4n – 4 – 20 = 12  / +24
4n = 36   / :4
n = 9

תשובה: התחילו לחשב את הסכום מהאיבר ה 9.

פתרון
הנתונים עבור 7 האיברים האחרונים
n = 7
d = -6
s₇ = 0
a₁ = ?

נציב את הנתונים בנוסחה:
(s_n=(2a₁+(n-1)d)(n:2

a₁ = 18

מציאת 3 האיברים המשלימים ל- 10 האיברים האחרונים.
האיבר המתחיל את שבעת האחרונים הוא 18.
ומכוון ש d = -6 שלושת האיברים הקודמים לו גדולים ממנו
36,   30,   24

סכום שלושת האיברים הוא:
90 = 36 + 30 + 24

סכום עשרת האיברים הוא:
90 = 90 + 0
תשובה: סכום עשרת האיברים האחרונים בסדרה הוא 90.

פתרון
מספר האיברים האי זוגיים והאיברים הזוגיים
מכוון שיש 19 איברים המתחילים באיבר שמיקומו אי זוגי ומסתיימים באיבר שמיקומו אי זוגי אז הסדרה כוללות 10 איברים אי זוגיים ו-9 איברים זוגיים.

נתוני סדרת המקומות האי זוגיים
a₁ = 10
d = 20
n = 10
נציב את הנתונים בנוסחה
(s_n=(2a₁+(n-1)d)(0.5n
s_n = (2 * 10 + (10-1)*20)*5
s_n = (20 + 180)*5 = 200 * 5 = 1000

נתוני סדרת המקומות הזוגיים
האיבר הראשון בסדרת המקומות הזוגיים הוא
a₁ + d = 10 + 10 = 20
לכן הנתונים להצבה בנוסחת הסכום הם:
a₁ ‘  = 20
d = 20
n = 9
נציב את הנתונים בנוסחה
(s_n=(2a₁+(n-1)d)(0.5n
s_n = (2*20 + (9-1)*20)5
s_n = (40 + 160) *4.5 = 900

תשובה: סכום האיברים במקומות הזוגיים הוא 900, סכום האיברים במקומות האי זוגיים הוא 1000.

דרך נוספת לחישוב סכום סדרת המקומות הזוגיים
נחשב את סכום הסדרה כולה.
a₁ = 10
d = 10
n = 10
s_n = (2*10 + (19-1) * 10) * 9.5
s_n = (20 + 180) * 9.5 = 1900

נחסר מהסכום הכללי את סכום סדרת האי זוגיים (1000):
900 = 1000 – 1900
תשובה: סכום סדרת האיברים במקומות הזוגיים הוא 900.

פתרון
נגדיר:
a₁ האיבר הראשון בסדרה.
d  הפרש הסדרה.

סדרת המקומות האי זוגיים
a₁ = a₁
D = 2d  הפרש הסדרה כפול מההפרש המקורי של הסדרה.
n = 5
נוסחת סכום סדרה חשבונית היא:
(s_n=(2a₁+(n-1)d)(0.5n
נציב את הנתונים בנוסחה
s_n = (2a₁ + (5 – 1) 2d) 0.5* 5
s_n = (2a₁ + 8d)2.5 = 5a₁ + 20d
s_n =  5a₁ + 20d

סדרת המקומות הזוגיים
a₁‘ = a₁ + d   האיבר הראשון בסדרה הוא a₂.
D = 2d  הפרש הסדרה כפול מהפרש הסדרה המקורית.
n = 5
נוסחת סכום סדרה חשבונית היא:
(s_n=(2a₁+(n-1)d)(0.5n
נציב את הנתונים בנוסחה
s_n = (2a₁ +2d + (5 – 1)2d) 0.5*5
s_n = (2a₁ + 10d) *2.5 = 5a₁ + 15d
s_n =  5a₁ + 25d

בניית משוואה ופתרון
סכום האיברים במקומות האי זוגיים
5a₁ + 20d
סכום האיברים במקומות הזוגיים
5a₁ + 25d

סכום האיברים במקומות הזוגיים גדול ב- 20 לכן המשוואה שלנו תהיה
5a₁ + 25d = 5a₁ + 20d + 20
5d = 20  /: -5
d = 4
תשובה: הפרש הסדרה הוא 4.

פתרון
הרעיון של התרגיל הוא למצוא את a₁ ואז נוכל למצוא את a₃₀.
בסדרת המספרים האי זוגיים
n = 15
d = 6
s₁₅ = 1065
a₁ = ?

נציב את הנתונים בנוסחת סכום הסדרה.
(s_n=(2a₁+(n-1)d)(0.5n

30a₁ + 14 * 6 * 15 = 2130
30a₁ + 1260 = 2130   / -1260
30a₁ = 870  / :30
a₁ = 29

נחשב את האיבר שמיקומו 30.
על פי נוסחת האיבר הכללי.
a_n = a₁ + (n-1)d
a₃₀ = 29 + (30 – 1)* 3
a₃₀ = 29 + 87 = 116
תשובה: a₃₀ = 116.

פתרון
הרעיון: נזהה את האיברים (a₁, d, n) של סדרת המקומות הזוגיים והאי זוגיים.
נחשב את סכום כל אחת מהסדרות בנפרד ואז נחבר בניהם.

סדרת האיברים במקומות האי זוגיים
a₁ = 3
d = 8
n  =10
s₁₀ = ?

נציב בנוסחת סכום סדרה חשבונית:
(s_n=(2a₁+(n-1)d)*(0.5n
s₁₀ = (2*3 + (10-1)8)*5
s₁₀ = (6 + 72) * 5 = 390

עבור סדרת המספרים במקומות הזוגיים
המספרים במקומות הזוגיים שינו סימן, לכן הסדרה הפכה לסדרה יורדת.
d = – 8
a₁ = -7
n = 10
s₁₀ = ?

נציב את הנתונים בנוסחת סכום הסדרה.
(s_n=(2a₁+(n-1)d)*(0.5n
s₁₀ = (2 * -7 + (10 – 1) *(-8)) * 5
s₁₀ = (-14 -72) * 5 = – 430

הסכום של שתי הסדרות ביחד הוא:
40 – = 430 – 390
תשובה: סכום הסדרה החדשה הוא 40 -.