סדרה חשבונית 3 יחידות שאלון 182 / 801

דף זה הוא החלק השלישי בנושא סדרה חשבונית עבור שאלון 182.

בחלקים הקודמים למדנו:

  1. היכרות עם סדרה חשבונית – לזהות את a1, d, an.
  2. נוסחת האיבר הכללי – לעשות שימוש בנוסחה an = a1 + (n-1)d.

דף זה הוא הדף המרכזי בנושא לימוד סדרה חשבונית וכאן נלמד את נושא סכום הסדרה החשבונית ונפתור תרגילים ברמת בגרות.

חלקי הדף הם:

  1. תקציר – שני סוגי התרגילים העיקריים שאתם צריכים לדעת.
  2. סכום סדרה חשבונית – שימוש בנוסחה לפתרון תרגילים.
  3. סכום סדרה חשבונית + נוסחת האיבר הכללי – תרגילים המשלבים את שתי הנוסחאות.

1.תקציר: מה הם שני סוגי השאלות העיקריים?

סוג 1: הצבה בנוסחת סכום סדרה חשבונית

הנוסחה השימושית של סכום סדרה חשבונית היא:

סכום סדרה חשבונית

בנוסחה זו יש 4 רכיבים:
a1, n, d, Sn (האיבר הראשון, מספר האיברים, ההפרש והסכום)
אם נדע 3 מהדברים הללו נוכל לחשב את  הדבר הרביעי שחסר.

סוג 2: כאשר נותנים איבר שהוא שהוא לא האיבר הראשון

בחלק מהתרגילים יתנו לכם נתונים כמו
a4 = 8
a10 = 32
מה נעשה בשאלות מסוג זה?

בעזרת נוסחת האיבר הכללי של סדרה חשבונית נגדיר:
a4 = a1 + 3d
a10 = a1 + 9d
נגדיר a1, d כשני משתנים, ונפתור שתי משוואות עם שני נעלמים.

2.סכום סדרה חשבונית

בסוג זה של התרגילים עליכם להציב את הנתונים בנוסחה:

סכום סדרה חשבונית

שניתן לכתוב אותה גם כך:
S =  (2a1 + (n-1)d) * 0.5n

וכך תגיעו לפתרון השאלה.

המאפיין של שאלות מסוג זה הוא שבנתונים תקבלו  שלושה מתוך ארבעת המשתנים  a1, n, d, Sn ובעזרת הנוסחה תמצאו את האיבר הרביעי.

יופיעו כאן 4 תרגילים שבכול תרגיל נמצא איבר אחר בסדרה.

תרגיל 1 (חישוב סכום)
חשבו את סכום 9 האיברים הראשונים בסדרה החשבונית  10,14,18,22

פתרון
שלב א: זיהוי האיברים בסדרה החשבונית
ניתן לראות כי
a1 = 10,
d = 4,
n=9

שלב ב: הצבת הנתונים בנוסחה
נציב את הפרטים בנוסחה:
S =  (2a1 + (n-1)d) * 0.5n

ונקבל:
Sn = (2*10 + (9 -1) * 4)*0.5 * 9
Sn = (20 + 8*4) * 4.5 = 52 * 4.5
Sn = 234

תרגיל 2 (חישוב מספר האברים (n))
נתונה הסדרה החשבונית
…. 16, 19, 22
(הבהרה: a1 = 22).
סכום איברי הסדרה הוא 87.
כמה איברים בסדרה?

פתרון
שלב א: זיהוי האיברים בסדרה החשבונית
אנו יודעים כי:
a1 = 22
d = -3
sn = 87
צריכים למצוא את n.

שלב ב: הצבת הנתונים בנוסחה ופתרון
נציב את הנתונים בנוסחה:
סכום סדרה חשבונית

ונקבל:

נכפיל פי 2 את המשוואה.
וגם נבצע פעולות בתוך הסוגריים.

3n² +47n = 174-
3n² + 47n – 174 = 0-

נפתור את המשוואה הזו בעזרת נוסחת השורשים ונקבל
n1 = 6,   n2 = 9.666
מכוון ש n הוא מיקום של איבר בסדרה הוא חייב להיות מספר שלם והפתרון היחיד שמתאים הוא n= 6.
זו התשובה.

תרגיל 3 (חישוב מספר האברים (n))
הגדלים של משלוחי אבטיחים המגיעים למחסן הם סדרה חשבונית.
כל משלוח המגיע למחסן אבטיחים גדול מהמשלוח שקדם לו ב 50 אבטיחים.
במשלוח הראשון שהגיע למחסן היו 200 אבטיחים. ובכל המשלוחים שהגיעו באותו יום היו 1950 אבטיחים. כמה משלוחי אבטיחים הגיעו באותו יום למחסן?
מצאו את גודלו של המשלוח החמישי.

פתרון
שלב א: נסמן את הנתונים שקיבלנו בשאלה.
המשלוח הראשון הוא האיבר הראשון בסדרה
a1 = 200
כל משלוח גדול מזה שקדם לו ב 50 אבטיחים ולכן:
d = 50
בכול המשלוחים היו 1950 אבטיחים ולכן:
Sn = 1950
והשאלה היא:
n = ?

שלב ב: נציב את הנתונים בנוסחה:
0.5n *  (2a1 + (n-1)d)  = Sn
נקבל:
0.5n * (2*200 + (n-1)50) = 1950
0.5n (400 + 50n – 50) = 1950
0.5n (350 + 50n) = 1950
175n + 25n² =1950   / -1950
n² + 175n – 1950 = 0    / :25
n² + 7n – 78 = 0

נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
n = 6  או   n = -13
n מייצג את מספר המשלוחים שהוא גודל חיובי ולכן הפתרון המתאים לשאלה הוא n = 6.
תשובה: מספר המשלוחים שהגיעו למחסן באותו יום הוא 6.

 

תרגיל 4 (חישוב ההפרש (d))
בגינה יש 5 שורות של פרחים. בשורה הראשונה יש 50 פרחים.
סך הכל יש 210 פרחים בשורות של הגינה.
אם ידוע כי מספרי הפרחים בשורות יוצרים סדרה חשבונית מה ההפרש בכמות הפרחים בין שורה לשורה?

פתרון
שלב א: נרשום את הנתונים בשפה של סדרה חשבונית:
בשורה הראשונה a1 = 50
מספר השורות n = 5
סכום הפרחים Sn = 210
והשאלה היא:
d = ?

נציב את הנתונים בנוסחה:
S =  (2a1 + (n-1)d) * 0.5n
d = -4

תשובה: d = -4. כלומר בכל שורה יש 4 פרחים פחות מהשורה שקדמה לה.

3.סכום סדרה חשבונית + נוסחת האיבר הכללי.
תרגילים המשלבים את שתי הנוסחאות

כפי שלמדנו בדף נוסחת האיבר הכללי כאשר בנתונים מופיע מידע על איבר שהוא לא האיבר הראשון עליכם לבנות משוואה המבוססת על הנוסחה
an = a1 + (n-1)d
והמשתנים יהיו a1 ו d.

המטרה שלנו בהצבה בנוסחה זו היא למצוא את a1 ו d כי אלו הערכים שניתן להציב בנוסחת סכום סדרה חשבונית
S =  (2a1 + (n-1)d) * 0.5n.

דוגמאות למשוואות שעליכם לבנות על פי נתונים.
הדוגמאות הם רק לבניית המשוואה ולא לפתרון תרגיל שלם, פתרון תרגילים שלמים נמצא בהמשך.

למשל:
נתון כי a5 = 20.

אז המשוואה שנבנה:
a5 = 20 = a1 + (5 -1)d
a1 + 4d = 20

במקרה אחר יתנו קשר בין איברי הסדרה. למשל:
האיבר השלישי בסדרה חשבונית גדול פי 4 מהאיבר השביעי בסדרה חשבונית.

הפתרון שלנו יראה כך:
קודם כל נבין שאמרו לנו בעצם 4a7 = a3
נגדיר את a7, a3 בעזרת הנוסחה  an = a1 + (n-1)d

a3 = a1 + (3-1)d = a1 + 2d
a3 = a1 + 2d
a7 = a1 + (7-1)d = a1 + 6d
a7 = a1 + 6d

ועכשיו המשוואה שלנו תהיה:
4a7 =a3
(a1 + 6d)4 = 3(a1 + 2d)

אפשרות נוספת המופיעה רק פעם אחת במאגר (שאלה 9) היא שמשוואה אחת תהיה מבוססת על הצבה בנוסחה an = a1 + (n-1)d  ומשוואה שנייה תהיה מבוססת על הצבה בנוסחה S =  (2a1 + (n-1)d) * 0.5n.
דוגמה לכך הוא תרגיל מספר 3 המופיע בהמשך.

תרגילים 

תרגיל 1
האיבר הרביעי בסדרה חשבונית הוא 12 וכל איבר בסדרה גדול מקודמו ב 2.

  1. חשבו את סכום 10 האיברים הראשונים.
  2. חשבו את האיבר העשירי.
  3. חשבו את סכום עשרת האיברים הראשונים בעזרת נוסחה נוספת.

פתרון
נרשום את הנתונים:
a4 = 12
d = 2
S10 = ?

נציב a4 = 12   וגם   n = 4  בנוסחה  an = a1 + (n-1)d.
a1 + (4 – 1) * 2 = 12
a1 + 3 *2 = 12
a1 + 6 = 12   / -6
a1 = 6

עכשיו על על מנת לחשב את S10 אנו יודעים את
a1 = 6,  d = 2,  n = 10
נציב בנוסחה:
S =  (2a1 + (n-1)d) * 0.5n
S10 = (2 * 6 + (10 -1)2) * 0.5 * 10
S10 = (12 + 2*9) * 5
S10 = (12 + 18) * 5 = 30 * 5
S10 = 150

סעיף שני – חישוב a10
נציב a1 = 6,  d = 2,  n = 10
בנוסחה  an = a1 + (n-1)d
a10 = 6 + (10 – 1)2 =6+ 9 * 2
a10 = 6 + 18 = 24
תשובה: האיבר העשירי בסדרה הוא 24.

סעיף שלישי: חישוב סכום עשרת האיברים בדרך נוספת
הדרך הנוספת היא בעזרת הנוסחה   sn = (a1+an) *0.5n.
וסעיף זה נועד שלא תשכחו שהיא קיימת כי שימוש בנוסחה זו נעשה פעם אחת במאגר (שאלה 4).
נציב a1 = 6, a10 = 24, n = 10
S10  = (6 + 24)5 = 30 * 5
S10 = 150

תרגיל 2
בסדרה חשבונית האיבר השישי הוא 9 והאיבר השלישי הוא 18.
מצאו את:
האיבר הראשון בסדרה.
סכום עשרת האיברים הראשונים.

פתרון וידאו

פתרון
הנתונים הם:
a6 = 9
a3 = 18
אנו לא יודעים את a1, d.
נבנה את המשוואות בעזרת הנוסחה   an = a1 + (n-1)d
a6 = 9 = a1 + (6 – 1)d
a1 + 5d = 9

המשוואה של a3 = 18
a1 + 2(3 -1)d = 9 = a3
a1 + 2d = 18

עכשיו נפתור את שתי המשוואות:
a1 + 5d = 9
a1 + 2d = 18

נשתמש בשיטת השוואת המקדמים ונחסר את משוואה 2 ממשוואה 1 ונקבל:
3d = -9   / :3
d = -3

נציב d = -3 במשוואה a1 + 5d = 9
a1 + 5 * -3 = 9
a1 – 15 = 9   / +15
a1 = 24

עכשיו נחשב את עשרת האיברים הראשונים. הנתונים שלנו הם:
a1 = 24,  d= -3, n = 10
המשוואה היא: S =  (2a1 + (n-1)d) * 0.5n
נציב:
S10 = (2 * 24 + 9* -3) * 5
S10 = (48 -27) * 5 = 21 * 5
S10 = 105

תשובה: a1 = 24,  S10 = 105.

תרגיל 3
בסדרה חשבונית האיבר השישי גדול פי 2 מהאיבר השלישי.
סכום 7 האיברים הראשונים בסדרה הוא 112.
מצאו את האיבר הראשון ואת הפרש הסדרה.

פתרון
בשאלה זו נבנה שתי משוואות.
עבור המשפט "בסדרה חשבונית האיבר השישי גדול פי 2 מהאיבר השלישי"  נשתמש בנוסחה
an = a1 + (n-1)d על מנת לבנות משוואה.
עבור המשפט "סכום 7 האיברים הראשונים בסדרה הוא 112" נשתמש בנוסחת הסכום:
S =  (2a1 + (n-1)d) * 0.5n

a6 = a1 + 5d
a3 = a1 + 2d
המשוואה היא:
a6 = 2a3
(a1 + 5d = 2(a1 + 2d
a1 + 5d = 2a1 + 4d  / -4d – a1
d = a1

עכשיו נבנה את המשוואה השנייה:
n = 7,  S7 = 112
2a1 + 6d) * 3.5 = 112)
7a1 + 21d = 112

נציב את את המשוואה d = a1 במשוואה שהגענו אליה עכשיו
7a1 + 21a1 = 112
28a1 = 112  / :28
a1 = 4

d = a1 = 4
תשובה: d = 4,  a1 = 4..

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 מחשבות על “סדרה חשבונית 3 יחידות שאלון 182 / 801”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.