בגרות במתמטיקה 4 יחידות שאלון 481 קיץ 2016

סעיף א

אחוז הרווח של היבואן הוא 20%.

סעיף ב

יוסי שילם פחות עבור המחשב.

נושא השאלה: התייקרות כפולה.

בעיה זו היא בנושא התייקרות כפולה ואם אתם רוצים ללמוד את הנושא לפני פתרון הבעיה ניתן לעשות זאת בקישור.

נגדיר:
x – אחוז הרווח של היבואן וגם אחוז הרווח של החנות.

1200 שקלים הוא המחיר הקנייה של היבואן.

לכן המחיר שבו היבואן מכר את המחשב לחנות הוא:

החנות העלתה את המחיר ב x אחוזים נוספים ומכרה את המחשב ב 1728 שקלים.
לכן המשוואה היא:

מצד שמאל נחלק 1200 ב 100.
לאחר מיכן נכפיל במכנה שנשאר והוא 100.

12 * (100 + x)² = 172,800

נחלק את המשוואה ב 12 וגם נפתח סוגריים

x² + 200x + 10,000 = 14,400
x² + 200x – 4,400=0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
x₁ =20, x₂ =-220.

מכוון שמדובר בעליית מחירים הפתרון השלילי x₂ = -220 נפסל.

תשובה: אחוז הרווח של היבואן הוא 20%.

נחשב את המחיר שיוסי משלם.
42% יותר מ 1200:

1728 > 1704
תשובה: יוסי שילם פחות עבור המחשב.

סעיף א

(A(4.8,3.6

(B(4.8, -3.6

סעיף ב

משוואת המשיק היא y=0.75x.

סעיף ג

שטח משולש CMA הוא 27 יחידות ריבועיות.

א. פותרים שתי משוואות עם שני נעלמים.

ב. מוצאים את השיפוע של MA על פי שתי נקודות.
המשיק מאונך ל MA (כי רדיוס מאונך למשיק בנקודת ההשקה) ולכן אנו יכולים לדעת את שיפוע המשיק ויש לנו את הנקודה A דרכה עובר המשיק.
נמצא משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה.

ג. המשיק CA מאונך לרדיוס MA כי משיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
נחשב את המרחקים CA, MA ונמצא את שטח משולש ישר זווית.

x²+y²=36   (משוואה 1)
x-7.5)²+y²=20.25)
x²-15x+56.25+y²=20.25 (2    (משוואה 2)
א. על מנת למצוא נקודת חיתוך נחסר את משוואה 2 ממשוואה 1.
15x-56.25=15.75 / +56.25
15x=72 /:15
x=4.8
נציב את ערך ה X שקיבלנו במשוואה אחת על מנת למצוא את ערך ה Y.
y² + 4.8²=36 /-23.04
y²=12.96
y=+-3.6
על פי הנתון A ברביע הראשון ולכן:
(A(4.8,3.6
(B(4.8, -3.6

המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה לכן נמצא את שיפוע הרדיוס MA.
(M(7.5 ,0
נשתמש בנוסחה למציאת שיפוע על פי 2 נקודות.

אם שיפוע המשיק הוא a אז מתקיים:

a= 0.75
עכשיו נמצא את משוואת המשיק על פי השיפוע ונקודה A.
(y-3.6=0.75(x-4.8
y-3.6=0.75x-3.6
y=0.75x
תשובה: משוואת המשיק היא y=0.75x.

נמצא את ערכי נקודה C.
y=0.75x
x²+y²=36
x²+(0.75x)²=36

x²=23.04
x=+-4.8
4.8 זו הנקודה A. לכן עבור C מתקיים X=-4.8.
נמצא את ערך ה Y בנקודה C על ידי הצבה במשוואת הישר.
y=0.75*-4.8=-3.6
(C(-4.8, -3.6
על מנת לפתור את השאלה עלינו להשתמש בעובדה שהמשיק CA מאונך לרדיוס MA ולכן משולש CMA הוא משולש ישר זווית.
ניתן לחשב את אורכי הצלעות AC ו MA בעזרת הנוסחה למרחק בין שתי נקודות אך אין צורך.
MA הוא רדיוס ואורכו √20.25=4.5
AC עובר דרך מרכז מעגל 1 ולכן הוא קוטר. אורכו 2√36=12
לכן שטח המשולש:

תשובה: שטח משולש CMA הוא 27 יחידות ריבועיות.

סעיף א

p(A∩B ̅)=0.15

סעיף ב

P(B ̅/ A) = p( A∩ B) : P (A) = 0.15 : 0.8 = 0.1875

סעיף ג

ההסתברות שלכל היותר אחד עבר היא 0.36.

נמצא איזה חלק מבין הנבחנים למד מחשבים ואיזה לא.
x – החלק של אלו שלא למדו מחשבים.
3x – החלק של אלו שלמדו מחשבים.
X+3x=4x=1
x=0.25
0.25 מהניגשים למבחן לא למדו מחשבים.
0.75 מהניגשים למבחן למדו מחשבים.
נמצא כמה עברו וכמה נכשלו במבחן.
Y – ההסתברות להיכשל במבחן.
4Y – ההסתברות לעבור את המבחן.
4y+y=5y=1
y=0.2
ההסתברות להיכשל במבחן היא 0.2, ההסתברות לעבור את המבחן היא 0.8.

נגדיר:
A – הצליחו במבחן.
A- – נכשלו במבחן.
B – למדו מחשבים
B- – לא למדו מחשבים.

זאת הטבלה הראשונית:

זאת הטבלה לאחר ההשלמה:

p(A∩B ̅)=0.15

P(B ̅/ A) = p( A∩ B) : P (A) = 0.15 : 0.8 = 0.1875

ההסתברות המשלימה של “לכל היותר אחד עבר” היא ששני הנבחנים עברו. נחשב את ההסתברות המשלימה.
ההסתברות לעבור p(A)=0.8
0.64 = 0.8²
ההסתברות המשלימה היא:
0.36 = 0.64 – 1
תשובה: ההסתברות שלכל היותר אחד עבר היא 0.36.

סעיף א1

הוכחה

סעיף א2

הוכחה

סעיף ב1

∠DAO = 90 – a

סעיף ב2

המרובע ACOD הוא מקבילית עבור a = 30

נסמן:

∠ACD = a

	טענה	נימוק
1	∠ACD = a	סימון
2	∠AOD = 2∠ACD = 2a	זווית מרכזית היא כפולה בגודלה מזווית היקפית הנשענת על אותה קשת
3	AD = DB(קשתות)	נתון קשתות שוות
4	∠ACD = ∠DCB = a	על קשתות שוות נשענות זוויות היקפיות שוות
5	∠ACO = ∠ACD + ∠DCB = 2a	חיבור זוויות
6	∠ACO = ∠AOD = 2a	כלל המעבר

	טענה	נימוק
7	AO = OC	כל הרדיוסים במעגל שווים
8	∠OAC = ∠CAO = 2a	במשולש(ΔAOC) מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות
9	∠CAO = ∠AOD = 2a	כלל המעבר
10	AC || OD	אם בין ישרים יש זוויות מתחלפות שוות הם מקבילים

	טענה	נימוק
11	∠AOD = 2a	הוכחתי בסעיף א 1(שורה 2)
12	AO = OD	כל הרדיוסים במעגל שווים
13	∠OAD = ∠ODA = x	במשולש(ΔAOD) מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות

 

נסתכל על המשולש ΔAOD:

לפי סכום זוויות במשולש 180°:

∠AOD + ∠OAD + ∠ ODA = 180°

נציב את הסימונים הידועים לנו:

2a + 2x = 180°  / – 2a

2x = 180 – 2a  / : 2

x = 90 – a

∠DAO = 90 – a

כרגע ידוע כי AC ║ DO.(מסעיף א 2)
אם נוכיח גם כי AD ║ CO אז המרובע יהיה מקבילית על פי המשפט שמרובע שבו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.
מתי AD ║ CO? כאשר DAO=∠AOC∠ משום שאלו זוויות מתחלפות.

הוכחנו בסעיף הקודם:

∠DAO = 90 – a

כעת נשאר למצוא את הזווית AOC∠.

נסתכל על המשולש ΔAOC:

∠OAC = ∠CAO = 2a

לפי סכום זוויות במשולש 180°:

∠OAC + ∠CAO + ∠AOC = 180°

2a + 2a + ∠AOC = 180

4a + ∠AOC = 180  / – 4a

∠AOC = 180 – 4a

נציב את הגדלים הידועים לנו במשוואה:

∠DAO=∠AOC

90 – a = 180 – 4a  / – 90 + 4a

3a = 90  / : 3

a = 30

המרובע ACOD הוא מקבילית עבור a = 30

סעיף א

CG = √72 , CE = √32

סעיף ב

זווית הבסיס שווה ל 70.53 מעלות.

סעיף ג

שטח שני המשולשים הוא 7.657 והוא זהה.

סעיף ד

AN = 7.656

על פי משפט פיתגורס במשולש CAG.
CG² = CA² + AG² = 6² + 6²
CG = √72
על פי משפט פיתגורס במשולש EBC.
CE² = EB² + BC² = 4² + 4²
CE=√32

תשובה סופית:

CG = √72 , CE = √32

ניתן לפתור זאת בעזרת משפט הקוסינסים במשולש ABC.
נגדיר a זווית בסיס.
AB² = AC² + BC² – 2AC * BC * COS a

cos a = 16 / 48=1 / 3
a=70.53
תשובה: זווית הבסיס שווה ל 70.53 מעלות.

נחשב את שטחי המשולשים בעזרת שתי צלעות וסינוס הזווית שבניהם.
במשולש ABN.
AB = 6.
BN=(√32) / 2 = √8 – אלכסוני הריבוע חוצים זה את זה לשני חלקים שווים.

∠ABN=70.53+45=115.53

שטח המשולש הוא:

במשולש BCM.
BC = 4
CM=(√72)/2=√18 – אלכסוני הריבוע חוצים זה את זה לשני חלקים שווים.

∠BCM =70.53+45=115.53

שטח המשולש הוא:

תשובה: שטח שני המשולשים הוא 7.657 והוא זהה.

נעשה זאת בעזרת משפט הקוסינוסים במשולש ABN.
AN² = AB² + BN² – 2 * AB * BN * COS∠ABN
AN² = 6² + 8 – 2 * 6 * √8 * COS 115.53
AN² = 44 + 14.628 = 58.628
AN = 7.656

סעיף א

x≠1

סעיף ב

m=8

סעיף ג1

אסימפטוטה אופקית: y = 0

אסימפטוטה אנכית: x = 1

סעיף ג2

הנקודה (2,0) היא נקודת חיתוך עם ציר ה X.

סעיף ג3

הנקודה (4-, 3) היא נקודת מינימום.

סעיף ג4

.הפונקציה עולה x>3 , x<1

סעיף ד

סעיף ה

x<1.

הפונקציה:

תחום ההגדרה – המכנה צריך להיות שונה מ 0.
(x-1)²=0 /√
x-1=0 /+1
x=1
הפונקציה מוגדרת לכל X כך ש x≠1.

לפונקציה יש קיצון ב x=3 כלומר הנגזרת מתאפסת בנקודה זו.

= (x²-2x+1)* -4 -2(xm-4x²-m+4x)
= 4x²+8x-4-2xm+8x²+2m-8x
4x²-2xm+2m-4
הנגזרת מתאפסת כאשר מונה הנגזרת מתאפס. נציב x=3 ונמצא את ערך ה m שמאפס.
4*3²-2*3m+2m-4=0
-4m=-32/:-4
m=8

כאשר X שואף ל 1 המכנה שואף ל 0 ואילו המונה ל 1. לכן ערך הפונקציה שואף לאינסוף.
x=1 היא אסימפטוטה אנכית.
כאשר X שואף לאינסוף או למינוס אינסוף המכנה שואף לאינסוף בריבוע ואילו המונה לאינסוף. לכן הפונקציה שואפת ל 0 כאשר X שואף ל +- אינסוף.
הישר y=0 הוא אסימפטוטה אופקית.

נציב X=0

הנקודה (0,8) היא נקודת חיתוך עם ציר ה Y.

נציב y=0.

הנקודה (2,0) היא נקודת חיתוך עם ציר ה X.

הנגזרת מתאפסת כאשר המונה מתאפס:
4x² -16x+12=0 /:4
x²-4x+3=0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת פירוק הטרינום
x² – x – 3x + 3 = 0
x (x – 1) – 3 (x – 1) = 0
x-3)(x-1)=0)
x=3 או x=1.
כאשר X=1 הפונקציה אינה מוגדרת.

עבור X=3 נמצא את ערך הנגזרת בסביבת הנקודה.
כאשר X=2 ערך הנגזרת שלילי.
כאשר X=4 ערך הנגזרת חיובי.
לכן זו נקודת מינימום.

נמצא את ערך ה Y.

הנקודה (4-, 3) היא נקודת מינימום.

כבר מצאנו בבדיקת נקודת המינימום כי:

3<x   הפונקציה עולה.

נבדוק מה קורה כאשר x=1.
הנגזרת חיובית ולכן הפונקציה עולה כאשר x<1.

סקיצה

הנגזרת חיובית כשהפונקציה עולה וזה קורה עבור 3<x – ואז (f(x שלילי.
וגם עבור x<1 ואז f(x)>0. התשובה: x<1.

סעיף א1

x=3 מנימום

x=1 מקסימום

סעיף א2

f(x)= x^ᶟ-6x²+9x

סעיף ב1

(0, 3) (0,0).

סעיף ב2

סעיף ג

גודל השטח 5.25 יחידות ריבועיות.

F'(x)=3x²-12x+9
בנקודת הקיצון הנגזרת מתאפסת.
3x²-12x+9=0 /:3
x²-4x+3=0
נפתור את המשוואה הריבועית בעזרת פירוק טרינום.
ניתן לפתור גם בעזרת נוסחת השורשים.
x² -x – 3x + 3 = 0
x(x – 1) – 3 (x – 1) = 0
x – 3) (x – 1) = 0)
x-3)(x-1)=0)
x=3 או x=1.

נמצא את הנגזרת השנייה:
f”(X)=6x-12
נציב x=1
f”(1)=6*1-12=-6<0
לכן זה מקסימום.
נציב x=3
f”(3)=6*3-12=6>0
לכן זו נקודת מינימום.

משמעות הנתון הוא שהפונקציה עוברת דרך הנקודה (1,4).
3x² -12x+9 dx = xᶟ – 6x² + 9x + c∫
נציב (1,4).

C + 1³-6 * 1² + 9*1=4
C+4=4
c=0
הפונקציה היא:
f(x)= xᶟ-6x²+9x

נציב X=0 במשוואת הפונקציה ונמצא את נקודת החיתוך עם ציר ה y.
f(0)= 0³-6 * 0² +9*0=0
נקודת חיתוך עם ציר ה (Y (0,0.

נציב Y=0 במשוואת הפונקציה ונמצא את נקודות החיתוך עם ציר ה x.
xᶟ-6x^2+9x=0
X(X²-6X+9)=0
X=0 – כבר מצאנו.
X²-6X+9=0

זו משוואה ריבועית שניתן לפתור בעזרת נוסחת השורשים.
אבל גם ניתן להשתמש בנוסחת הכפל המקוצר:
a²-2ab+b² = (a-b)²
x-3)²=0)
x=3
נקודות חיתוך עם ציר ה  (x (0, 3)  ו (0,0).

צריך לחשב את השטח הירוק בשרטוט

תשובה: גודל השטח 5.25 יחידות ריבועיות.

סעיף א

רדיוסי המעגלים שנותנים שטח מינימלי הם:
O₂ – 2.5 ס”מ.
O₃ – 5-2.5=2.5 ס”מ.

סעיף ב

סכום ההיקפים של המעגלים ששטחם מינימלי הוא 10₶.

נבנה פונקציה של סכום שטחי המעגלים.
על פי השרטוט רדיוס מעגל O1 כולל פעמיים את רדיוס O2 ופעמיים את רדיוס O3.
לכן סכום הרדיוסים של O2 ו O3 הוא 10:2=5.

נגדיר
x – אורך רדיוס O2 בס”מ.
5-x – אורך רדיוס O3 בס”מ.

הנוסחה של שטח עיגול היא:
S=₶r²
סכום שטחי המעגלים הוא:
(F(x)=₶x²+₶(5-x)²=₶x²+₶(25-10x+x²=
= ₶x²+25₶-10₶x+₶x²
2₶x²+25₶-10₶x
F'(x)=4₶x-10₶

נבדוק מתי הנגזרת שווה ל 0
4₶x-10₶=0 / :2₶
2x-5=0
2x=5
x=2.5

נבדוק אם זו נקודת מינימום או מקסימום על ידי בדיקה בסביבת הנקודה.
F'(2)=4₶*2 -10₶=-2₶<0
F'(4)=4₶*4 -10₶=6₶>0
הפונקציה יורדת משמאל לנקודה ועולה מימין – לכן זו x=2.5 היא נקודת מינימום.

רדיוסי המעגלים שנותנים שטח מינימלי הם:
O₂ – 2.5 ס”מ.
O₃ – 5-2.5=2.5 ס”מ.

הנוסחה להיקף מעגל היא:
P=2₶r
סכום ההיקפים הוא:
10₶ = 2*2.5₶ + 2*2.5₶
תשובה: סכום ההיקפים של המעגלים ששטחם מינימלי הוא 10₶.