נפח פירמידה

בדף זה נלמד לחשב נפח של פירמידה.

החלקים של דף זה הם:

1. סרטון הסבר.
2. נוסחת נפח פירמידה ודוגמאות.
3. תרגילים לבית הספר היסודי.
4. תרגילים לחטיבת הביניים.

1.סרטון הסבר

2.נוסחה ודוגמאות לחישוב נפח

נפח פירמידה שווה לשטח הבסיס כפול גובה הפירמידה לחלק ב 3.

נוסחאות נוספות שעושים בהם שימוש על מנת לחשב את שטח הבסיס:
שטח מלבן: שווה למכפלת האורך ברוחב.
שטח ריבוע: מכפלת צלע הריבוע בעצמה.
שטח משולש: שווה לצלע כפול הגובה אליה לחלק ב 2.

דוגמה לחישוב נפח פירמידה מלבנית
בפירמידה מלבנית אורך צלעות המלבן הם 5 ו 3.
גובה הפירמידה הוא 6 סנטימטר.
חשבו את נפח הפירמידה.

פתרון
שטח הבסיס המלבני הוא:
S = 5 * 3 = 15

נפח הפירמידה הוא:

תשובה: נפח הפירמידה הוא 35 סמ”ק.

דוגמה לחישוב נפח פירמידה משולשת
בפירמידה שבסיסה הוא משולש ישר זווית אורכי הניצבים של המשולש הם 8 ו 6 סנטימטר.
אורך גובה הפירמידה הוא 10 סנטימטר.
חשבו את נפח הפירמידה.

פתרון
שטח משולש ישר זוויות הוא מכפלת ניצביו חלקי 2.
S = (6 *8) / 2
S = 48 : 2 = 24
שטח הבסיס הוא 24 סמ”ר.

תשובה: נפח הפירמידה הוא 80 סמ”ק.

3.תרגילים

בהמשך הדף 8 תרגילים.
תרגילים 1-4 הם תרגילים בסיסיים.
תרגילים 5-8 קשים יותר.

תרגיל 1
בפירמידה ישרה שבסיסה ריבוע שטח הריבוע שווה ל 16 סמ”ר וגובה הפירמידה הוא 10 ס”מ. חשבו את נפח הפירמידה.
מה אורכה של צלע הריבוע?

פתרון

תשובה: נפח הפירמידה הוא 53.33 סמ”ק.

סעיף ב: חישוב צלע הריבוע
שטח הריבוע הוא 16.
שטח ריבוע שווה למכפלת הצלעות a*a.
a * a = 16
a=4
אורך צלע הריבוע היא 4 ס”מ.

תרגיל 2
בפירמידה ישרה שבסיסה מלבן גובה הפירמידה הוא 6 ס”מ. אורך המלבן הוא 4 ס”מ ורוחב המלבן הוא 2 ס”מ.
חשבו את נפח הפירמידה.

פתרון
בתרגיל זה הוסיפו לנו שלב שלא היה קיים בתרגיל הראשון והוא חישוב שטח הבסיס – שטח המלבן.

תשובה: נפח הפירמידה הוא 16 סמ”ק.

תרגיל 3
בפירמידה ישרה שבסיסה מלבן גובה הפירמידה הוא 10 ס”מ. אורך המלבן הוא 10 ס”מ ורוחב המלבן הוא 6 ס”מ.
מילאו בפירמידה 50 סמ”ק מים?

1. כמה מים צריך להוסיף לפירמידה על מנת שתתמלא?
2.  כמה אחוזים מתוך הפירמידה מולאו במים?

פתרון
סעיף א
נחשב את נפח הפירמידה.
שטח הבסיס המלבני הוא:
S = 10 * 6 = 60

נפח הפירמידה הוא:

הנפח הוא 200 סמ”ק.
מתוכם מילאו 50 סמ”ק.
לכן נותר למלא:
150 = 50 – 200

סעיף ב
על מנת להפוך 50 מתוך 200 לאחוזים עלינו לכתוב את התרגיל הבא:

תשובה: 25% מנפח הפירמידה מולאו במים.

תרגיל 4
שטח בסיס פירמידה מלבנית הוא 100 סמ”ר.
מה צריך להיות גובה הפירמידה על מנת שנפח הפירמידה יהיה 500?

פתרון
אם נקבע גובה הפירמידה יהיה 5 אז נפח הפירמידה יהיה 1/3 מ 500.
לכן גובה הפירמידה צריך להיות פי 3 על מנת שהנפח יהיה 500.
גובה הפרמידה צריך להיות 15.

וכך נראה את זה בתרגיל:

4.תרגילים לכיתה ז ומעלה

תרגיל 5: הנפח ידוע חשבו את הגובה
בפירמידה מלבנית ישרה אורך המלבן הוא 3 ס”מ, הרוחב 2 ס”מ.
נפח הפירמידה הוא 8 סמ”ק.
חשבו את גובה הפירמידה.

פתרון
שטח הבסיס הוא:
6 = 2*3
מכפלת שטח הבסיס בגובה צריכה לתת לנו:
24= 8*3
לכן:
24 =   ____ * 6
המספר החסר הוא 4.
תשובה: גובה הפירמידה הוא 4 ס”מ.

תרגיל 6: הנפח ידוע חשבו את הגובה
נפח פירמידה ישרה הוא 10 סמ”ק. שטח בסיס הפירמידה הוא 6 סמ”ר.
חשבו את אורך גובה הפירמידה.

פתרון
ניתן לראות כי מכפלת הגובה בשטח הבסיס צריכה להיות
30 = 10*3
לכן:
30 = ____ * 6
המספר המספר החסר הוא 5.
תשובה: אורך גובה הפירמידה הוא 5 ס”מ.

תרגיל 7: נפח מנסרה לעומת נפח פירמידה
שטח הבסיס של מנסרה ופירמידה הוא 5 סמ”ר והגובה של שתיהן הוא 6 ס”מ.
האם הנפח שלהן שווה?
אם לא שנו את הגובה של אחד מהגופים על מנת שייווצר נפח זהה.

פתרון
נפח מנסרה: שטח בסיס X גובה.
נפח פירמידה: שטח בסיס X גובה לחלק ל 3.
ולכן כאשר כל הנתונים זהים נפח המנסרה גדול יותר פי 3.

על מנת ליצור גופים עם נפח זהה עלינו להגדיל את גובה הפירמידה פי 3 – ל 18 ס”מ.
או להקטין את גובה המנסרה פי 3 ל 2 ס”מ.

תרגיל 8: עם אחוזים
אורכי צלעות מלבן שהוא בסיס פירמידה מלבנית הם 5,8 סנטימטר.
גובה הפירמידה הוא 6 סנטימטר.
40% מנפח הפירמידה התמלא במים.
כמה סמ”ק מים יש להוסיף על מנת שהפירמידה תתמלא לגמרי?

פתרון
נחשב את נפח הפירמידה.
שטח הבסיס המלבני הוא:
40 = 8  *5.

נפח הפירמידה הוא:

צריך למלא עוד 60% מהנפח.
נחשב כמה הם 60% מ 80.

תשובה: צריך להוסיף עוד 48 סמ”ק מים לתיבה על מנת שתהיה מלאה.

עוד באתר:

• מבחן בנושא נפח פירמידה.
• נפח תיבה.
• נפח גליל.
• נפח חרוט.
• חישוב נפח של צורות נוספות.
• שטחים נוסחאות, תרגילים ונוסחאות לחישוב שטחים של צורות שונות.