טריגונומטריה שאלון 381 3 יחידות

בשאלון 381 כמו בשאלון 182 אתם צריכים:

1. להכיר את הפונקציות של הסינוס, קוסינוס, טנגס.
2. לעשות שימוש במשפט פיתגורס על מנת לחשב גדלים של צלעות.

בנוסף בשאלונים 381 יש דגש על:

1. תכונות משולש שווה שוקיים, טרפז ישר זווית, טרפז שווה שוקיים שמורידים לו גובה וכו… על מנת לבצע חישובים.
2. שימוש בשני משולשים ישרי זווית על מנת למצוא גדלים במשולש שהוא לא ישר זווית.

במאגר יש 8 שאלות על משולש (כולל משולש שווה שוקיים), 13 שאלות על טרפז (חלקן כוללות משולש שווה שוקיים) ו 5 על מרובעים (ריבוע, מלבן מעוין).

משולש 1
הצלע שליד הזווית – היא הצלע המבוקשת.
היתר הוא הצלע הידועה.

לכן נשתמש בקוסינוס.

cos 20 * 10 = x

0.939 * 10 = x
9.39 = x

תשובה: BC = 9.39 סנטימטר.

משולש 2

היתר הוא הצלע המבוקשת.
הצלע שממול הזווית היא הצלע הידועה.

לכן נשתמש בפונקציית הסינוס.

x * sin 60 = 8

תשובה: AC = 9.237 סנטימטר.

משולש 3

הצלע שמול היא הצלע החסרה.
הצלע שליד היא הצלע הידועה.

לכן נשתמש בפונקציית הטנגס.

x = 7 * tg 40

x = 7 * 0.839 = 5.873

תשובה : BC = 5.873 סנטימטר.

משולש 1

צלע מול חלקי היתר זו פונקציית הסינוס:

α = 23.578

משולש 2

צלע ליד חלקי היתר זו פונקציית הקוסינוס.

α = 60

משולש 3

צלע מול חלק היתר זו פונקציית הסינוס.

α = 35

נציב את הנתונים בנוסחת שטח משולש:

S_ABC = 0.5BC * AB

12 = 0.5 * 4 * AB = 2AB

6 = AB

עלינו לחפש משולש ישר זווית שבוא אנו יודעים צלע וזווית.
זה משולש ABC.
נחשב בו את הצלעות AC, BC.
עכשיו נוכל לחשב את CD במשולש ACD.
BD = BC – CD

פתרון

חישוב BC
במשולש ABC נחשב את BC.
BC / BA = Sin 44
BC / 40 = 0.694
BC = 0.694 * 40 = 27.786

חישוב AC
ניתן לעשות זאת בעזרת אחת הפונקציות הטריגונומטריות או משפט פיתגורס.
AC² = AB² – BC² = 40² – 27.786²
AC² = 1600 – 772 = 828
AC = 28.77

חישוב CD
במשולש ADC נחשב את CD.

CD = 28.77 * / tg 53
CD = 28.77 / 1.327 = 21.68

חישוב BD
נחשב את BD.
BD = BC – DC
BD = 27.786 – 21.68 = 6.106
תשובה: BD = 6.106 ס”מ.

פתרון

סעיף א: חישוב AB.
במשולש ABC.

AB = AC / sin 40
AB = 7 / 0.642 = 10.9

סעיף ב: חישוב CD.
סכום הזוויות במשולש ABC הוא 180 ולכן
A = 180 – 90 – 40 = 50∠
במשולש ADC.

CD = AC * sin 50 = 7 * 0.766 = 5.36

סעיף ג: חישוב AD.
במשולש ADC ניתן לחשב בעזרת פונקציה טריגונומטרית או משפט פיתגורס.
AD² = AC² – CD² = 7² – 5.36²
AD² = 49 – 28.729 = 20.21
AD = 4.5

סעיף ד: חישוב שטח משולש CDE.
נחשב את DE בעזרת חיסור קטעים ותכונות התיכון.
AE = AB : 2 = 10.9 : 2 = 5.45
AE =  10.9 : 2 = 5.45

DE = AE – AD = 5.45 – 4.5 = 0.95
DE =  5.45 – 4.5 = 0.95

שטח המשולש הוא:
S_CDE = (DE + CD) / 2 = (0.95 * 5.36) / 2
S_CDE  = (0.95 * 5.36) / 2
S_CDE = 5.092 / 2 = 2.546
תשובה: שטח משולש CDE הוא 2.546 סמ”ר.

נחשב את AB:
AB = 1.3 * AD = 1.3 * 6 = 7.8

נחשב את BD במשולש ABD על פי משפט פיתגורס.
BD² = AB² – AD² = 7.8² – 6²
BD² = 7.8² – 6²
BD² = 60.84 – 36 = 24.84
BD = 4.98

הגובה לבסיס משולש שווה שוקיים הוא גם תיכון. לכן AD הוא גם תיכון.
BC = 2BD = 2 * 4.98 = 9.96
BC = 2 * 4.98 = 9.96

סעיף ב: חישוב זוויות משולש ABC.
במשולש ישר זווית ABD ניתן לבנות את המשוואה:

B = 50.28∠

C = ∠B = 50.28∠   זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו.
A = 180 – 50.28 – 50.28 = 79.4∠  סכום זוויות במשולש ABC הוא 180.

תשובה: זוויות משולש ABC הן C = ∠B = 50.28,   ∠A = 79.4∠.

פתרון

סעיף א: מציאת זווית ADC
על מנת למצוא את זווית ADC עלינו ליצור משולש ישר זווית שאליו הזווית שייכת.
ובמשולש זה עלינו לדעת שתי צלעות על מנת למצוא את הזווית.

לכן:

1. נעביר שני גבהים BE ו AF על מנת ליצור שני משולשים ישרי זווית.
2. במשולש BEC יש מספיק נתונים על מנת למצוא את הגובה.
3. נשתמש בכך שצלעות נגדיות במלבן שוות ונמצא את זווית ADC.

ולפתרון עצמו.

במשולש ישר זווית BEC.

נכפיל במכנה BC:

BE = BC * sin 50

BE = 10 * 0.766 = 7.66

מרובע ABEF הוא מלבן וצלעות נגדיות במלבן שוות.

AF = BE = 7.66

עכשיו במשולש ADF אנו יודעים שתי צלעות ויכולים לחשב את הזווית ADF.

sin ADF = 0.957

∠ADF = 73.235

סעיף ב: חישוב CD

נציב את הנתונים שאנו יודעים בשרטוט:

אנו רוצים למצוא את CD.

ניתן לכתוב:

CD = DF + FE + EC

נמצא את כל אחד מהחלקים בנפרד.

FE = AB = 3 צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.

במשולש השמאלי ניתן לחשב בעזרת פיתגורס:

DF² = 8² – 7.66²

DF² = 64 – 58.675 = 5.324

DF = 2.3  או   DF = -2.3

מכוון ש DF הוא צלע התשובה השלילית נפסלת.

DF = 2.3

במשולש מימין ניתן לחשב בעזרת פיתגורס:

CE² = 8² – 7.66²

CE² =100 – 58.675 = 41.325

CE = 6.428  או   CE = -6.428

מכוון ש CE הוא צלע התשובה השלילית נפסלת.

נחשב את CD.
CD = DF + FE + EC

CD =2.3 + 3 + 6.428 = 11.728

תשובה: CD = 11.728  ס”מ.

סעיף ג: שטח הטרפז

שטח הטרפז שווה לסכום הבסיסים כפול הגובה חלקי 2.

תשובה: שטח הטרפז הוא 57.45 סמ”ר.

פתרון
סעיף 1: חישוב AB.

EF = AB
כי המרובע AEFB הוא מלבן וצלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.

את EF ניתן לחשב בעזרת המשוואה הבאה:

EF = CD – DE – FC

DE, FC עדיין לא ידועים לנו אך ניתן לחשב אותם בעזרת משפט פיתגורס.

נמצא את DE.
במשולש AED על פי משפט פיתגורס:

DE² = AD² – AE²
DE²  = 6² – 3²
DE² = 36 – 9 = 27
DE = √27 = 5.196

נמצא את FC.

BF = AE = 3
כי צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.

במשולש BFC נחשב את BF בעזרת משפט פיתגורס:

BF² = BC² – CF²
DE²  = 6² – 3²
DE² = 36 – 9 = 27
DE = √27 = 5.196

נחזור לחישוב של EF:

EF = CD – DE – FC

EF = 15 – 5.196 – 5.196 = 4.6

EF = 4.6

AB = EF = 4.6

תשובה: AB = 4.6 ס”מ.

סעיף ב: חישוב זווית C∠

במשולש BFC אנו יודעים את שלושת הצלעות ולכן יכולים לחשב זוויות.

ניתן לחשב בכמה דרכים, אנו נבחר להשתמש בפונקציית הסינוס:

∠C = 30

תשובה: C  = 30∠ מעלות.

סעיף ג: חישוב שטח טרפז
שטח טרפז שווה לסכום בסיסי הטרפז כפול הגוב לחלק ל 2.

הנוסחה מופיעה בדף הנוסחאות בבגרות.

סכום הבסיסים:

15 + 4.6 = 19.6

הגובה: 3

תשובה: שטח הטרפז 29.4 סמ”ר.

פתרון
בשאלות טרפז ישר זווית בהן אין גובה העובר בתוך הטרפז יש סיכוי גבוה שעל מנת לפתור את השאלה נצטרך להעביר בניית עזר גובה בטרפז.

כמו כן ניתן לחשב את הצלעות החסרות.

הבסיס הגדול AB גדול ב 60% מהבסיס הקטן CD.
CD = 1.6 AB = 1.6*10 = 16

השוק BC קצרה ב 20% מהבסיס הקטן.
BC = 0.8AB = 0.8 * 10 = 8

כמו כן מרובע ABED הוא מלבן ובו צלעות נגדיות שוות:
DE = AB = 10

סעיף א: מציאת זוויות הטרפז

אם נדע את זווית C נוכל למצוא את זוויות הטרפז.

זווית C שייכת למשולש ישר זווית BEC.

נחשב את הצלע EC בצורה הבאה:

EC = DC – DE

EC = 16 – 10 = 6

נשתמש בפונקציית הקוסינוס במשולש BEC.

∠C = 41.409

מצאנו את הזווית C.

נותר לנו למצוא את הזווית B.

הזווית B משלימה ל 360 מעלות במרובע.

90 + 90 + 41.409 + ∠B = 360

∠B = 138.59

תשובה: זוויות הטרפז הן:

∠A = ∠ D = 90,   ∠C = 41.409,  ∠B = 138.59

סעיף ב: חישוב היקף הטרפז
הצלע שחסרה לנו לחישוב היקף הטרפז היא AD.

מכוון שמרובע ABED הוא מלבן אז AD = BE

נחשב את BE על פי משפט פיתגורס במשולש BCE.

BE² = BC² – CE²
BE² = 8² – 6²
BE² = 64 – 36 = 28
BE = √ 28
AD = BE = √28

היקף הטרפז הוא:
39.3 = 10 + 8 + 16 + 28√

תשובה: היקף הטרפז הוא 39.3 מעלות.

סעיף ג: שטח טרפז

אנו יודעים את אורכי הבסיסים והגובה ולכן יכולים להציב בנוסחה ולמצוא את שטח הטרפז.

AB = 10

CD = 16

BE = 5.291

תשובה: שטח הטרפז הוא 68.789 סמ”ר.

פתרון

סעיף א: מציאת צלע המעוין

אלכסוני המעוין מחלקים זה את זה לחלקים שווים (חוצים זה את זה) לכן:

AO = CO = 4

BO = DO = 3

במשולש AOB על פי משפט פיתגורס:

AB² = AO² + BO²

AB² = 4² + 3²

AB² = 16 + 9 = 25

AB = 5  או   AB = -5

AB הוא אורך של צלע ולכן גודל חיובי.
לכן התשובה AB = -5 נפסלת.

תשובה: אורך צלע המעוין היא 5 סנטימטר.

סעיף ב: מציאת זוויות המעוין

אלכסוני המעוין מאונכים זה לזה.

לכן:

∠AOB = 90

במשולש ישר זווית AOB מתקיים:

בעזרת המחשבון נקבל:

∠OAB = 36.87

אלכסוני המעוין הם חוצה זווית ולכן:

∠A = 36.87 * 2 = 73.74

זוויות סמוכות במעוין משלימות ל- 180 מעלות ולכן:

∠D = 180 – 73.74 = 106.26

תשובה: זוויות המעוין הן 73.74 ו-   106.26.

פתרון

סעיף 1: חישוב  זווית BEC∠

במשולש ישר זווית BCE אנו יודעים שתי צלעות לכן ניתן לחשב את הזווית.

tg ∠BEC = 15/ 10 = 1.5
tg ∠BEC =  1.5
BEC = 56.31∠

סעיף 2: חישוב GE
GE לא שייך למשולש אבל ניתן לחשב אותו על ידי חיסור הצלעות:

GE = BE – BG.

במשולש ישר זווית BCE
sin BEC = BC / BE
BE = BC / sin BEC
BE  = 15 / 0.83
BE = 18.02

נשים לב שהזווית EBC משותפת לשני המשולשים ישרי הזווית.

במשולש ישר זווית BCE:

∠EBC = 180 – 90 – 56.31 = 33.69

במשולש ישר זווית BFG
cos EBC = BF / BG
BG = BF / cos EBC
BG =  9 / 0.83
BG = 10.81