משוואות וזהויות טריגונומטריות הנפתרות על ידי הוצאת גורם משותף

פתרון משוואות טריגונומטריות על ידי הוצאת גורם משותף זו טכניקה בסיסית שעליכם לדעת.
במעט מקרים גם נוסחאות הכפל המקוצר ישמשו אותכם על מנת לפתור תרגילים.
(a² – b²= (a-b)*(a+b
a+b)²= a²+2ab+b²)
a-b)²= a²-2ab+b²)

במספר מצומצם עוד יותר של מקרים גם פירוק לגורמים על פי קבוצות יכול להיות שימושי (בעיקר לתלמידי אוניברסיטה).

דרך הפתרון בשיטה זו מתבססת על כך שאם יש מכפלת איברים השווה ל 0 אז לפחות אחד האיברים שווה ל 0.
כלומר אם:
x*y = 0
אז x  ו / או y שווים ל 0.

דוגמה 1
sin²x + 0.5sinx = 0

פתרון
sin²x + 0.5sinx = 0
sin x (sinx + 0.5) = 0

אפשרות ראשונה
sin x = 0
x = 0 ± 360k
או
x = 180 – 0 ± 360k
את שתי האפשרויות הללו ניתן להציג על ידי
x = 0 ± 180k

אפשרות שנייה
sinx + 0.5 = 0
sin x = -0.5
x = 330 ± 360k
או
x = 210 ± 360k

תשובה: הפתרונות הם:
x = 0 ± 180k
x = 330 ± 360k
x = 210 ± 360k

דוגמה 2
tg²x – 0.16 = 0

פתרון
tg²x – 0.16 = 0
על פי נוסחת הכפל המקוצר:
(a² – b²= (a-b)*(a+b
נקבל:
tg x + 0.4) (tg x – 0.4) = 0)

אפשרות ראשונה
tg x + 0.4 = 0
tg x = -0.4
x = 158.2 ± 180k

אפשרות שנייה
tg x – 0.4 = 0

tg x = 0.4
x = 21.8 ± 180k

תרגילים

  1.    cos x + 2cos² x = 0
  2.    sin2x – sin x = 0
  3.    cos x *sin² + cos³x = 0
  4.   cos x *sin² – cos³x = 0
  5.   cos x + sin² x = 1
  6.   2tg²x + 2tgx + tgx + 1 = 0

פתרונות

בפתרונות נפרט השלב של מציאת המכנה המשותף ואקצר בכתיבת התשובה הסופית, דבר שאתם אמורים כבר לדעת.

תרגיל 1
cos x + 2cos² x = 0

פתרון
נוציא cos x גורם משותף.
cos x (1 + 2cosx) = 0
יש שתי אפשרויות פתרון:
cos x = 0
x = 90 ± 180k

אפשרות שנייה
2cos x + 1 = 0  / -1
2cos x = -1  / : 2
cosx = -0.5
x = 120 ± 360k
או
x = 240 ± 360k

תשובה: x =90 +180k,  x = 120 + 360k
x = 240 ± 360k

תרגיל 2
sin2x – sin x = 0
נשתמש בזהות של sin 2x ונקבל:
2sinx cos x – sin x = 0
sin x (2cos x – 1)= 0

אפשרות ראשונה
sin x = 0
x = 0 ± 180k

אפשרות שנייה
2cos x -1= 0  /+1
2cos x = 1  / : 2
cos x = 0.5
x = 60 ± 360k
או
x = 300 ± 360k

תשובה:   x = 0 ± 180k,  x = 60 ± 360k,  x = 300 ± 360k

דרך פתרון נוספת
sin2x – sin x = 0
sin 2x = sinx

2x = x ± 360k
x = 0 ± 360k

או
2x = (180 – x) ± 360k
3x = 180 ± 360k
x = 60 ± 120k

תשובה:
x = 0 ± 360k,  x = 60 ± 120k

תרגיל 3
cos x *sin² + cos³x = 0

פתרון
cos x (sin²x + cos²x ) = 0
נשתמש בזהות:
sin²x + cos²x = 1
ונקבל:
cos x * 1 = 0

הפתרון הוא:
x = 90 ± 180k

תרגיל 4
cos x *sin²x – cos³x = 0

פתרון
cos x (sin²x – cos²x) = 0
cos x * -(cos²x – sin²x) = 0
נשתמש בזהות:
cos²x – sin²x = cos 2x
נקבל:
cos x * (-cos 2x) = 0  / * -1
cos x * cos 2x = 0

אפשרות ראשונה:
cos x = 0
x = 90 ± 180k

אפשרות שנייה:
cos 2x = 0
2x = 90 ± 180k
x = 45 ± 90k

תשובה: הפתרונות הם:
x = 90 ± 180k,  x = 45 ± 90k

תרגיל 5
cos x + sin² x = 1

פתרון
נשתמש בזהות:
sin² x = 1 – cos²x
ונקבל:
cos x +1 – cos²x = 1
cos x – cos²x = 0
cos x (1 – cos x) = 0

אפשרות ראשונה
cos x = 0
x = 90 ± 180k

אפשרות שנייה
cos x = 1
x = 0 ± 180k

תשובה:
x = 90 ± 180k,  x = 0 ± 180k

תרגיל 6
2tg²x + 2tgx + tgx + 1 = 0

פתרון
נוציא גורם משותף לשני האיברים הראשונים ולשני האיברים האחרונים.
2tg x (tg x +1) +1(tg x +1) = 0
2tg x +1) (tg + 1) = 0)

אפשרות ראשונה
2tg x +1 = 0
2tg x = -1
tg x = -0.5
x = 153.43 ± 180k

אפשרות שנייה
tg + 1 = 0
tg x = -1
x = 135 ± 180k

תשובה:
x = 153.43 ± 180k,    x = 135 ± 180k

עוד בנושא משוואות וזהויות טריגונומטריות:

  1. משוואות טריגונומטריות – הדף הראשון בנושא.
  2. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות מאותו הסוג.
  3. משוואות טריגונומטריות עם הכנסת מינוס.
  4. משוואות טריגונומטריות עם הוצאת שורש.
  5. משוואות טריגונומטריות עם גורם משותף.
  6. משוואות טריגונומטריות עם פתרון משוואה ריבועית.
  7. משוואות טריגונומטריות עם פונקציות שונות.
  8. זהויות טריגונומטריות.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

7 מחשבות על “משוואות וזהויות טריגונומטריות הנפתרות על ידי הוצאת גורם משותף”

  1. לגביי תרגיל 2
    sin2x – sin x = 0
    אני בחרתי להעביר את מינוס sin x אגף
    ואז קיבלתי
    sin x = sin2 שזה משוואה עם אותה הפונקציה השוותי את התוכן
    וקיבלתי רק את שתי פתרונות ולא ארבע כמו שאתם קיבלתם
    מה עשיתי לא נכון?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זו דרך הפתרון שלך.
      אם תציב k = 1,2,3 תראה שזה נופל על אותם מקומות כמו בתשובה הכתובה.
      דרך פתרון נוספת
      sin2x – sin x = 0
      sin 2x = sinx

      2x = x ± 360k
      x = 0 ± 360k

      או 
      2x = (180 – x) ± 360k
      3x = 180 ± 360k
      x = 60 ± 120k

      תשובה:
      x = 0 ± 360k,  x = 60 ± 120k

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום רבקה
      את צודקת לגבי 30- וגם מה שרשום שם לגבי 330 נכון.
      שתי הנקודות נמצאות באותו מקום.
      התשובה שרשומה שם היא:
      x = 330 ± 360k
      וכאשר k = -1
      מתקבל
      x = -30
      כך שהתשובה כלולה בפתרון.
      תודה.

      1. אז אם אני ארשום -30 לא יפסלו לי את זה?
        ולגבי ה210 בפתרון השני איך הגעתם לתוצאה הזו?

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום
          כאשר אתה פותר תרגיל יש לרוב גם תחום בו עליך להציג את הפתרונות.
          אם 30- כלול בתחום של הפתרונות אז לא יפסלו.
          אם התחום הוא אחר אז יפסלו.
          וזה נכון לכל פתרון, לא רק פתרונות שליליים.
          לגבי 210, לא ראיתי את הפתרון הזה.

לתגובה

האימייל לא יוצג באתר.