ממוצע

בדף זה נסכם את החומר בנושא ממוצע.
החלקים של דף זה הם:

  1.  ממוצע פשוט.
  2. חישוב ממוצע של קבוצות / טבלת שכיחויות.
  3. תכונות הממוצע.
  4. תרגילים.
  5. נספח: ממוצע של קבוצות.
  6. נספח: תרגילים נוספים.

חלקים 1,2,4 הם החלקים החשובים של הדף.

1.ממוצע פשוט

הנוסחה של ממוצע היא:

על מנת לחשב ממוצע תמיד מחשבים את סכום הציונים ומחלקים במספר הציונים.

דוגמה 1
מה הממוצע של קבוצת המספרים הבאה:
5,6,10,20

תשובה
נמצא את הממוצע על ידי התרגיל:

דוגמה 2
חשבו את הממוצע של המספרים:

פתרון
5,10,15,20
אז אנו נחשב את הסכום שלהם:
50 = 20 + 15 + 10 + 5

ונחלק במספר המספרים שהוא 4.
12.5 = 4 : 50
תשובה הממוצע הוא 12.5

ניתן לבצע את החישוב כולו גם בתרגיל אחד:

2.טבלת שכיחויות / ממוצע של קבוצות

טבלת שכיחויות היא דרך לארגן נתונים.
למשל:

ציון987
מספר תלמידים42011

טבלה זו אומרת כי:
11 תלמידים קיבלו 7.
20 תלמידים קיבלו 8.
4 תלמידים קיבלו 9.

בעזרת הארגון הזה של הנתונים בטבלה קל לנו יותר לחשב את סכום הציונים.
הממוצע של טבלה זו מתקבל על ידי התרגיל:

דוגמה 2

ציון8070
מספר תלמידים64

טבלה זו אומרת כי:
4 תלמידים קיבלו 70.
6 תלמידים קיבלו 80.

חישוב הממוצע יתבצע על ידי התרגיל:

הממוצע הוא 76.

באופן כללי אם נתונה לנו הטבלה:

ציוןx4x3x2x1
מספר התלמידיםn4n3n2n1

אז הממוצע מחושב על ידי הנוסחה:

מצורפים שני סרטונים.
בסרטון הראשון מחושב ממוצע של קבוצות ללא טבלה.
בסרטון השני ממוצע של קבוצות עם טבלה.

3.שאלות מהסוג: מה הממוצע הגדול או הקטן ביותר

לפעמים ישאלו אותנו:
"מה הממוצע הגדול ביותר שאפשרי? מה הממוצע הקטן ביותר שאפשרי?"

דרך הפתרון
1.כאשר יבקשו מאיתנו את הממוצע הגדול ביותר שאפשרי נוסיף את המספר הגדול ביותר שאפשרי ונראה איזה ממוצע מתקבל.

2.כאשר יבקשו מאיתנו את הממוצע הקטן ביותר נוסיף את המספר הקטן ביותר שאפשרי ונראה איזה ממוצע מתקבל.

דוגמה
הציונים של תלמיד הם בתחום 20-100.
שלושת הציונים הראשונים של התלמיד הם 60.
לתלמיד עוד שני ציונים.

  1. מה הממוצע הגדול ביותר שאפשרי לחמשת הציונים?
  2. מה הממוצע הקטן ביותר שאפשרי לחמשת הציונים?

פתרון
הממוצע הגדול ביותר שאפשרי
הממוצע הגדול ביותר שאפשרי יתקבל כאשר שני הציונים הבאים יהיו הגדולים ביותר שאפשרי – 100.

חמשת הציונים במקרה זה יהיו:
60,60,60,100,100

סכום הציונים
60 * 3 + 100 * 2 = 380

הממוצע הוא
380 : 5 = 76

76 הוא הממוצע הגדול ביותר שאפשרי.

הממוצע הקטן ביותר שאפשרי
הממוצע הקטן מתקבל כאשר מתקבל הציון הקטן ביותר.
במקרה זה 20.

חמשת הציונים במקרה זה
60,60,60,20,20

סכום הציונים הוא
60 * 3 + 20 * 2 = 220

הממוצע הוא
220 : 5 = 44

44 הוא הממוצע הקטן ביותר שאפשרי.

4.תרגילים

תרגילים 1-2 הם תרגילי מבוא.
תרגילים 3-4 טבלת שכיחויות.
תרגילים 5-7 עם משתנה בתוך הטבלה.
תרגילים 8-9 כוללים אחוזים ויחס.

בסרטון שלמטה סיכום של 5 דרכי פתרון של חישוב ממוצע בטבלת שכיחויות. מומלץ.

תרגיל 1
בחנות יש 2000 מוצרים המסודרים ב 50 מגירות.
כמה מוצרים יש בממוצע במגירה אחת?

פתרון

"הסכום" הוא 2000.
מספר האיברים שצריך לחלק בו הוא 50.
40 = 50 : 2000
תשובה: יש 40 מוצרים בממוצע במגירה אחת.

תרגיל 2
בכיתה 32 תלמידים. הציון הממוצע בכיתה במבחן במתמטיקה היה 72.
המורה נתנה 6 נקודות תוספת לכל אחד מהתלמידים.
מה הוא הציון הממוצע החדש?

פתרון

כאשר מוספים לכל התלמידים מספר קבוע הממוצע עולה באותו מספר, כלומר הממוצע יהיה 78.

נוכיח את זה:
מספר התלמידים 32.
סכום הציונים של התלמידים לפני התוספת הוא:
2304 = 72 * 32
מספר הנקודות שהמורה הוסיפה לכל התלמידים הוא:
192 = 6 * 32
סכום הציונים של תלמידי הכיתה לאחר התוספת הוא:
2496 = 192 + 2304
הממוצע החדש הוא:
78 = 32 : 2496

ממוצע של קבוצות / טבלת שכיחויות (3-4)

תרגיל 3: הוספת ציון לממוצע קיים
הממוצע של של תלמיד ב 6 מקצועות הוא 84.
במקצוע התשיעי התלמיד קיבל 90.

  1. כתבו טבלת שכיחויות המתאימה לבעיה.
  2. חשבו את הממוצע.
פתרון ופתרון וידאו

טבלת השכיחויות היא זו:

ציון9084
מספר פעמים16

וחישוב הממוצע יתבצע כך:

מצורף פתרון וידאו לתרגיל דומה.

תרגיל 4 (שימוש בדיאגרמת עיגול)
בכיתה 30 תלמידים.
בדיאגרמת העיגול המצורפת תמצאו את החלק בכיתה שקיבל כל ציון.
כמה תלמידים קיבלו כל ציון?
חשבו את ממוצע הציונים בכיתה.

דיאגרמת עיגול

 

פתרון

את הציון 8 קיבלו:
10 = 30 * (1/3)
את הציון 7 קיבלו:
12 = 30 * (2/5)
את הציון 9 קיבלו:
8 = 10 – 12 – 30

אם אתם רוצים ניתן לבנות טבלה המייצגת את הציונים בכיתה (אבל זו לא חובה לבנות את הטבלה):

ציון987
מספר התלמידים81012

סכום הציונים של התלמידים הוא:
236 = 9 * 8 + 8* 10 + 7 * 12
ממוצע הציונים הוא:
7.866 = 30 : 238
תשובה: ממוצע הציונים של הכיתה הוא 7.866

משתנה בתוך טבלה (5-7)

תרגיל 5: משתנה בתוך הטבלה
במבחן שנערך בכיתה 6 תלמידים קיבלו 60.
9 תלמידים קיבלו 70.
6 תלמידים קיבלו 90.
ושאר התלמידים קיבלו 80.
הממוצע של התלמידים היה 75.
בנו טבלת שכיחויות וחשבו את מספר התלמידים שקיבלו 80

פתרון

יש לנו את כל הנתונים לטבלה חוץ ממספר התלמידים שקיבל 80.
לכן x יהיה מספר התלמידים שקיבל 80.

הטבלה תראה כך:

ציון90807060
מספר תלמידים6x96

התרגיל שבעזרתו נמצא את x הוא:

אם נפתור את התרגיל נקבל x = 9.

 

תרגיל 6: דומה לתרגיל 5
אם הממוצע של הטבלה הבאה הוא 76.
מה המשוואה המתאימה לטבלה הבאה?

ציון908070
מספר התלמידים62x
פתרון

 

תרגיל 7
בכיתה 5 תלמידים קיבלו 70.
חלק מהתלמידים קיבלו 80.
ו 2 תלמידים יותר מאלו שקיבלו 80 קיבלו 90.
ממוצע הציונים בכיתה היה 83.

  1. בנו טבלה המתאימה לתרגיל.
  2. בנו משוואה המתאימה לטבלה.
פתרון

x  מספר התלמידים שקיבלו 80.
x + 2  מספר התלמידים שקיבלו 90.
הטבלה נראית כך:

ציון908070
מספר התלמידיםx + 2x5

המשוואה נראית כך:

170x + 530 = 166x + 581
4x = 51
x = 12.75
(זו אומנם תוצאה שאינה יכולה להתקיים במציאות אבל זה פתרון התרגיל שלנו).

תרגילים עם אחוזים ויחס (8-9)

תרגיל 8: עם אחוזים
בכיתה ח2 ממוצע הציונים במתמטיקה גבוה ב 20% מהממוצע בכיתה ח1.
בכיתה ח1 יש 34 תלמידים ובכיתה ח2 17 תלמידים.
הממוצע של תלמידי שתי הכיתות ביחד הוא 80.

  1. בנו טבלה המתאימה לתרגיל.
  2. בנו משוואה המתאימה לתרגיל.
פתרון ופתרון וידאו

x  ממוצע הציונים בכיתה ח1.
1.2x  ממוצע הציונים בכיתה ח2.

הטבלה נראית כך:

ציון1.2xx
מספר תלמידים1734

המשוואה היא:

50.4x = 4080
x = 80.952

עבור ח2
1.2x = 1.2 * 80.952 = 97.14
תשובה: ממוצע ח1 הוא 80.952. ממוצע ח2 הוא 97.14.

פתרון תרגיל דומה בוידאו:

תרגיל 9: עם יחס
על מנת לפתור שאלות מסוג זה עליכם לדעת חלוקה על פי יחס נתון.

היחס בין מספר התלמידים בכיתות ט1, ט2, ט3 הוא:  3:4:2
סך הכל יש בשלושת הכיתות 99 תלמידים.
ממוצע הציונים של ט1 במתמטיקה הוא 80.
ממוצע הציונים של ט2 במתמטיקה הוא 74.
ממוצע הציונים של ט1 במתמטיקה הוא 82.

  1. בנו טבלה המתאימה לשאלה.
  2. בנו משוואה המתאימה לשאלה.
פתרון ופתרון וידאו

בעזרת יחס נוכל למצוא את מספר התלמידים בכול שיטה.

3x מספר התלמידים ב ט1.
4x מספר התלמידים ב ט2.
2x מספר התלמידים ב ט3.

3x + 4x + 2x = 99
9x = 99
x = 11

33 מספר התלמידים ב ט1.
44 מספר התלמידים ב ט2.
22 מספר התלמידים ב ט3.

הטבלה נראית כך:

ציון827480
מספר התלמידים224433

המשוואה המתאימה לטבלה היא:

פתרון תרגיל דומה בוידאו:

 

5.ממוצע לעומת חציון

אין מדד אחד שהוא תמיד טוב יותר.
המדד "הטוב יותר"  תלוי בקבוצת המספרים שהוא מודד ובשימוש שאנו רוצים לעשות.

ההבדל החשוב שבין ממוצע לחציון

ממוצע הוא מדד שמושפע מכל המספרים.
לעומת זאת חציון לא תמיד מושפע, וגם עוצמת ההשפעה לפעמים קטנה מאוד.

דוגמה לחיסרון של הממוצע
6,6,6,10,12
החציון של קבוצת המספרים הזו הוא 6.
אם נחליף את המספר הגדול בקבוצה מ 12 ל 10,000 אז נקבל את הקבוצה:
6,6,6,10,10,000
בקבוצת מספרים זו החציון לא ישתנה וישאר 6.
ולעומת זאת הממוצע ישתנה מאוד ויהפוך להיות 2005.6

במקרה זה יש שיגידו שהחציון 6 מיצג היטב 4 המספרים בקבוצה ולכן הוא מדד טוב.
לעומת זאת הממוצע 2005.6 לא קרוב לאף אחד מהמספרים בקבוצה ולכן הוא מדד לא טוב.

דוגמה לחיסרון של החציון
לעומת זאת עבור הקבוצה:
4,4,4,4,10,10,10
החציון הוא 4 והוא כלל לא מייצג את שלושת מספרי ה 10.
הממוצע לעומת זאת הוא 6.57 ונותן ייצוג לכל המספרים בקבוצה.

לסיכום
החציון לא מושפע מערכים קיצוניים וזה יתרונו כאשר יש ערכים קיצוניים השונים מאוד משאר ערכי הקבוצה.
הממוצע לעומת זאת מושפע מכל המספרים בקבוצה ולכן מייצג את כולם (וזה יתרונו).

תכונות משותפות לממוצע / חציון 

אלו תכונות הרבה פחות חשובות מהתכונה שהוזכרה למעלה.

נסביר את הדוגמאות הללו על קבוצה המספרים
2,3,3,6,11
שבה:
3 הוא החציון והשכיח
5 הוא הממוצע.

  1. שניהם נמצאים בין המספר הקטן ביותר של הקבוצה למספר הגדול ביותר.
    כלומר הממוצע והחציון חייבים להיות מספרים בין 3-11.
  2. גם הממוצע וגם החציון לא חייבים להיות איבר בקבוצה.
  3. אם מוסיפים / מחסרים לכל אחד מערכי הקבוצה מספר קבוע אז שניהם משתנים באותו מספר קבוע.
    אם למשל נוסיף 2 לכל אחד ממספרי הקבוצה אז החציון והשכיח יהיו 5 ואילו הממצע 7.
  4. אם מכפילים את כל איברי הקבוצה פי מספר מסוים אז שניהם ישתנו פי אותו מספר.
    אם למשל נכפיל את כל המספרים פי 3 אז השכיח והחציון יהיו 9 ואילו הממוצע 15.

7.תכונות הממוצע

בחלק זה נכיר את תכונות הממוצע.
תכונות 1-2 הן תכונות שימושיות.
תכונות 3-4 שימושיות פחות.

תכונה 1
הממוצע תמיד יהיה בין הציון הגבוה ביותר לציון הנמוך ביותר.
הממוצע לא יכול להיות גבוה יותר מהציון הכי גבוה או נמוך יותר מהציון הנמוך.
למשל בקבוצת המספרים:
3,5,8,20
הממוצע חייב להיות בין 3 ל 20.

תכונה 2
הממוצע לא חייב להיות אחד מאיברי הקבוצה.
למשל:
הממוצע של:
3,5,8,20
הוא 9, וזה לא אחד ממספרי הקבוצה.

תכונה 3
כאשר מוסיפים לקבוצת מספרים ציון שווה לממוצע הממוצע לא משתנה.
כאשר מוספים לקבוצת מספרים ציון הנמוך מהממוצע הממוצע קטן.
כאשר מוספים לקבוצת מספרים ציון הגבוה מהממוצע הממוצע גדל.

תכונה 4
אם נוסיף (או נחסר) מספר כלשהו (k) לכל מספר בקבוצת מספרים אז הממוצע של קבוצת המספרים יגדל ב k.
למשל:
3,5,8,20 – זו קבוצת מספרים שהממוצע שלה הוא 9.
אם נוסיף 10 לכל המספרים נקבל את הקבוצה:
13,15,18,30 וזו קבוצת מספרים שהממוצע שלה הוא 19.

תכונה 5
אם נכפול כל מספר בקבוצת מספרים פי קבוע (k) אז הממוצע יגדל פי אותו קבוע.
למשל:
3,5,8,20 – זו קבוצת מספרים שהממוצע שלה הוא 9.
אם נכפיל פי 4 את כל אחד מהמספרים:
12,20,32,80
נקבל קבוצת מספרים שהממוצע שלה הוא 9 * 4 = 36

6.נספח: ממוצע משוקלל

ממוצע משוקלל הוא ממוצע שבו לציונים / מספרים שונים יש חשיבות שונה.
למשל אם עושים 2 מבחנים והחשיבות של המבחן השני בקביעת הציון הסופי גדולה פי 2.

את סכום הציונים של הממוצע המשוקלל מחלקים במספר "החשיבויות".

תרגיל 1
בהיסטוריה נערכו שני מבחנים.
דנה קיבלה במבחן הראשון ציון 80 ובמבחן השני ציון 92.
הציון בתעודה נקבע על פי שני המבחנים והחשיבות של המבחן השני היא פי 3 מהחשיבות של המבחן הראשון.
מה הציון של דנה בתעודה?

פתרון
החשיבות של המבחן הראשון היא 1, לכן הסכום שהמבחן הראשון תורם לממוצע הוא:
80 = 1 * 80
החשיבות של המבחן השני היא 3, לכן הסכום שהמבחן השני תורם לממוצע הוא:
276 = 3 * 92
הסכום הכללי הוא:
356 = 80 + 276
סכום "החשיבויות" הוא:
4 = 1 + 3
הממוצע המשוקלל / הציון בתעודה הוא:
89 = 4 : 356
תשובה: הציון של דנה בהיסטוריה בתעודה הוא 89.

הערה: היינו יכולים לייצג את הבעיה בטבלה כך (מאוד דומה לממוצע של קבוצות):

ציון9280
משקל31

תרגיל 2
פירוט המקצועות והציונים של תלמיד נראה כך:
מתמטיקה 5 יחידות ציון 84.
תנ"ך 2 יחידות ציון 90.
לשון 1 יחידה ציון 78.
אנגלית 5 יחידות ציון 96.
המשקל של כל מקצוע בחישוב הממוצע הוא כמספר היחידות שלו.
חשבו את ממוצע הציונים של התלמיד ב 4 המקצועות.

פתרון
סכום היחידות של ארבעת המקצועות הוא:
13 = 5 + 1 + 2 + 5
סכום הציונים "המשוקלל" במקצועות הללו הוא:
1158 = 5 * 96 + 1 * 78 + 2 * 90 + 5 * 84
הממוצע המשוקלל הוא:
89.077 = 13 : 1158

7.נספח: תרגילים נוספים

תרגילים אלו חוזרים על הנושאים שמופיעים בתרגילים למעלה.
ממליץ לפתור אותם רק אם התרגילים למעלה לא ברורים.

ממוצע פשוט

נוסחה לחישוב ממוצע

תרגיל 1
חשבו את הממוצע של של המספרים
10,  20,   20,   30

פתרון
סכום המספרים הוא:
80 = 30 + 20 + 20 + 10
מספר המספרים הוא 4.
לכן הממוצע הוא:
20 = 4 : 80
תשובה: הממוצע של המספרים הוא 20.

ממוצע של קבוצות

תרגיל 2
בטבלה מתוארת התפלגות ציונים של תלמידים בכיתה.
חשבו את ממוצע הציונים.

ציון90807060
מספר התלמידים410123

פתרון
מספר התלמידים הוא:
29 = 4 + 10 + 12+ 3
סכום הציונים הוא:
2180 = 4 * 90 + 80 * 10 + 70 * 12 + 3 * 60
הממוצע הוא:
75.17 = 29 : 2180

שימוש במשתנה למציאת הממוצע

תרגיל 3
נתונה קבוצת הציונים:

ציון908070
מספר תלמידיםx618

ממוצע הציונים הוא 75.
כמה תלמידים קיבלו 90?

פתרון
מספר התלמידים הוא:
x + 6 + 18 = x + 24
סכום הציונים הוא:
90x + 80 * 6 + 70 * 18 = 90x + 1740
הממוצע הוא 75, לכן המשוואה היא:
90x + 1740) / (x + 24) = 75    /*x + 24)
90x + 1740 = 75x + 1800  / -1740 – 75x
15x = 60  / :15
x = 4
תשובה: מספר התלמידים שקיבל 90 הוא 4.

תרגיל 4
הציון באנגלית בכיתה ח1 היה נמוך ב 7 נקודות מהציון באנגלית ב ח2. בח1 יש 30 תלמידים וב ח2 40 תלמידים. הממוצע של שתי הכיתות היה 82. חשבו את הציון הממוצע במבחן באנגלית בכול אחת מהכיתות.

פתרון
x הציון הממוצע באנגלית בכיתה ח1
x + 7 הציון הממוצע באנגלית בכיתה ח2

כך נראית הטבלה המייצגת את הבעיה:

ח1ח2
ציוןxx + 7
מספר התלמידים3040

מספר התלמידים בשתי הכיתות הוא:
70 = 30 + 40
סכום הציונים בשתי הכיתות הוא:
30x +40(x+7) = 70x + 280
הממוצע בשתי הכיתות הוא 82, לכן המשוואה היא:
70x + 280) / 70 = 82   /*70)
70x + 280 = 5740   / -280
70x  = 5460   / :70
x = 78
תשובה: הציון הממוצע באנגלית בכיתה ח1 הוא 78, בכיתה ח2 הציון הממוצע הוא 85.

ממוצע שחושב ולאחר מיכן מוסיפים לו מספר

תרגיל 5
בכיתה 30 תלמידים שהציון הממוצע שלהם הוא 81.
לכיתה נוסף תלמיד עם ציון ממוצע 70 ותלמיד עם ציון ממוצע 75.
מה הממוצע החדש של תלמידי הכיתה?

פתרון

סכום הציונים של תלמידי הכיתה לפני התוספת:
2430 = 30 * 81
סכום ציוני תלמידי הכיתה לאחר התוספת:
2575 = 70 + 75 + 2430
מספר תלמידי הכיתה לאחר התוספת הוא 32.
הממוצע החדש הוא:
80.468 = 32 : 2575

תרגיל 6 (עם משתנה)
הממוצע של תלמיד ב 6 מבחנים הוא 70 . מה צריך להיות הציון של התלמיד במבחן השביעי על מנת שהממצע ב 7 מבחנים יהיה 74?

פתרון
x   הוא הציון של התלמיד במבחן השביעי על מנת שהממוצע לאחר 7 מבחנים יהיה 74.
סכום הציונים של התלמיד לאחר 6 מבחנים הוא:
420 = 6 * 70
סכום הציונים של התלמיד לאחר 7 מבחנים הוא:
x + 420
הממוצע לאחר 7 מבחנים הוא 74, לכן המשוואה היא:
x + 420) : 7  = 74)
x + 420 = 518  / – 420
x = 98
תשובה: הציון במקצוע השביעי צריך להיות 98.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 מחשבות על “ממוצע”

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום אור
      אם לא הבנת את שאלות 5-7 שבדף את יכולה לשאול אותי עליהן.
      אם הבנת אותן אז את יכולה לשאול על השאלות שלא הבנת.

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.