ממוצע

בדף זה נסכם את החומר בנושא ממוצע. חלקים 1,2,3 הם החלקים החשובים של הדף.

1.סרטון מסכם

בסרטון זה באורך 24 דקות כמעט נסכם את הדף כולו.

2.ממוצע פשוט

על מנת לחשב ממוצע תמיד מחשבים את סכום הציונים ומחלקים במספר הציונים. למשל מה הממוצע של קבוצת המספרים הבאה: 4,6,10,20 תשובה סכום הציונים הוא:

4 + 6 + 10 + 20 = 40

יש 4 ציונים. לכן הממוצע הוא: ניתן גם לבצע את חישוב הממוצע בתרגיל אחד כך:   הנוסחה לחישוב ממוצע היא:   דוגמה לתרגיל שאתם צריכים לדעת לפתור: תרגיל חשבו את הממוצע של המספרים: 5,10,15,20

3.טבלת שכיחויות / ממוצע של קבוצות

הרבה פעמים נצטרך לחשב ממוצע של הרבה מספרים וכאשר יש הרבה מספרים הם לא יהיו כתובים אחד אחרי השני כך:

7,7,7,7,7,7,8,8,8,8,8,9,9,9,9 ….

אלא הם יהיו מאורגנים בדרך אחרת, למשל טבלה:

ציון	9	8	7
מספר תלמידים	4	20	11

טבלה זו אומרת כי: 11 תלמידים קיבלו 7. 20 תלמידים קיבלו 8. 4 תלמידים קיבלו 9. בעזרת הארגון הזה של הנתונים בטבלה קל לנו יותר לחשב את סכום הציונים. הממוצע של טבלה זו מתקבל על ידי התרגיל: דוגמה 2

ציון	80	70
מספר תלמידים	6	4

טבלה זו אומרת כי: 4 תלמידים קיבלו 70. 6 תלמידים קיבלו 80. חישוב הממוצע יתבצע על ידי התרגיל: הממוצע הוא 76. באופן כללי אם נתונה לנו הטבלה:

ציון	x4	x3	x2	x1
מספר התלמידים	n4	n3	n2	n1

אז הממוצע מחושב על ידי הנוסחה: תרגילים שעליכם לדעת לפתור: תרגיל 1 בטבלה מפרטים ציונים של תלמידים בכיתה. חשבו את ממוצע הציונים

ציון	90	80	70	60
מספר תלמידים	2	10	14	6

תרגיל 2: הוספת ציון לממוצע קיים הממוצע של של תלמיד ב 6 מקצועות הוא 84. במקצוע התשיעי התלמיד קיבל 90.

1. כתבו טבלת שכיחויות המתאימה לבעיה.
2. חשבו את הממוצע.

4.טבלת שכיחויות עם משתנה בתוך הטבלה

בחלק מהתרגילים הממוצע יהיה ידוע ואחד הדברים שבתוך הטבלה לא יהיה ידוע. דוגמה ממוצע של הטבלה הבאה הוא 76. מה המשוואה המתאימה לטבלה הבאה?

ציון	90	80	70
מספר התלמידים	4	4	x

פתרון במקרה זה סכום הציונים הוא: 70x + 80 * 4 + 90 * 4 = 7x + 320 + 360 70x + 680 מספר התלמידים הוא: x + 2 + 6 = x + 8 אם היינו רוצים לכתוב ביטוי שהוא הממוצע היינו מחלקים את סכום הציונים במספר התלמידים. הממוצע הוא 76 ולכן אנו יכולים לכתוב את המשוואה: יש לנו משוואה עם נעלם אחד, נפתור אותה: 70x + 680 = 76(x + 8) 70x + 680 = 76x + 608

72 = 6x

12 = x

תשובה: מספר התלמידים שקיבל 70 הוא 12. ניתן גם לכתוב את המשוואה בשורה אחת כך: דוגמה 2 הממוצע של התלמידים בטבלה הבאה הוא 82.31. מה המשוואה המתאימה לטבלה הבאה:

ציון	90	80	70
מספר התלמידים	6	x	3

 

5.שאלות מהסוג: מה הממוצע הגדול או הקטן ביותר

לפעמים ישאלו אותנו: “מה הממוצע הגדול ביותר שאפשרי? מה הממוצע הקטן ביותר שאפשרי?” דרך הפתרון 1.כאשר יבקשו מאיתנו את הממוצע הגדול ביותר שאפשרי נוסיף את המספר הגדול ביותר שאפשרי ונראה איזה ממוצע מתקבל. 2.כאשר יבקשו מאיתנו את הממוצע הקטן ביותר נוסיף את המספר הקטן ביותר שאפשרי ונראה איזה ממוצע מתקבל. דוגמה תחום הציונים שניתן לקבל במבחן הוא 20-100. שלושת הציונים הראשונים של התלמיד הם 60. לתלמיד עוד שני ציונים.

1. מה הממוצע הגדול ביותר שאפשרי לחמשת הציונים?
2. מה הממוצע הקטן ביותר שאפשרי לחמשת הציונים?

7.תכונות הממוצע

בחלק זה נכיר את תכונות הממוצע. תכונות 1-2 הן תכונות שימושיות. תכונות 3-4 שימושיות פחות. 1.הממוצע תמיד יהיה בין הציון הגבוה ביותר לציון הנמוך ביותר. 2.הממוצע לא חייב להיות אחד מאיברי הקבוצה. 3.כאשר מוסיפים לקבוצת מספרים ציון שווה לממוצע הממוצע לא משתנה. 4.אם נוסיף (או נחסר) מספר כלשהו (k) לכל מספר בקבוצת מספרים אז הממוצע של קבוצת המספרים יגדל ב k.

8.ממוצע לעומת חציון

אין מדד אחד שהוא תמיד טוב יותר. המדד “הטוב יותר”  תלוי בקבוצת המספרים שהוא מודד ובשימוש שאנו רוצים לעשות.

ההבדל החשוב שבין ממוצע לחציון

ממוצע הוא מדד שמושפע מכל המספרים. לעומת זאת חציון לא תמיד מושפע, וגם עוצמת ההשפעה לפעמים קטנה מאוד. דוגמה לחיסרון של הממוצע 6,6,6,10,12 החציון של קבוצת המספרים הזו הוא 6. אם נחליף את המספר הגדול בקבוצה מ 12 ל 10,000 אז נקבל את הקבוצה: 6,6,6,10,10,000 בקבוצת מספרים זו החציון לא ישתנה וישאר 6. ולעומת זאת הממוצע ישתנה מאוד ויהפוך להיות 2005.6 במקרה זה יש שיגידו שהחציון 6 מיצג היטב 4 המספרים בקבוצה ולכן הוא מדד טוב. לעומת זאת הממוצע 2005.6 לא קרוב לאף אחד מהמספרים בקבוצה ולכן הוא מדד לא טוב. דוגמה לחיסרון של החציון לעומת זאת עבור הקבוצה: 4,4,4,4,10,10,10 החציון הוא 4 והוא כלל לא מייצג את שלושת מספרי ה 10. הממוצע לעומת זאת הוא 6.57 ונותן ייצוג לכל המספרים בקבוצה. לסיכום החציון לא מושפע מערכים קיצוניים וזה יתרונו כאשר יש ערכים קיצוניים השונים מאוד משאר ערכי הקבוצה. הממוצע לעומת זאת מושפע מכל המספרים בקבוצה ולכן מייצג את כולם (וזה יתרונו).

תכונות משותפות לממוצע / חציון 

אלו תכונות הרבה פחות חשובות מהתכונה שהוזכרה למעלה. נסביר את הדוגמאות הללו על קבוצה המספרים 2,3,3,6,11 שבה: 3 הוא החציון והשכיח 5 הוא הממוצע.

1. שניהם נמצאים בין המספר הקטן ביותר של הקבוצה למספר הגדול ביותר. כלומר הממוצע והחציון חייבים להיות מספרים בין 3-11.
2. גם הממוצע וגם החציון לא חייבים להיות איבר בקבוצה.
3. אם מוסיפים / מחסרים לכל אחד מערכי הקבוצה מספר קבוע אז שניהם משתנים באותו מספר קבוע. אם למשל נוסיף 2 לכל אחד ממספרי הקבוצה אז החציון והשכיח יהיו 5 ואילו הממצע 7.
4. אם מכפילים את כל איברי הקבוצה פי מספר מסוים אז שניהם ישתנו פי אותו מספר. אם למשל נכפיל את כל המספרים פי 3 אז השכיח והחציון יהיו 9 ואילו הממוצע 15.

9.נספח: ממוצע משוקלל

ממוצע משוקלל הוא ממוצע שבו לציונים / מספרים שונים יש חשיבות שונה. למשל אם עושים 2 מבחנים והחשיבות של המבחן השני בקביעת הציון הסופי גדולה פי 2. את סכום הציונים של הממוצע המשוקלל מחלקים במספר “החשיבויות”. תרגיל 1 בהיסטוריה נערכו שני מבחנים. דנה קיבלה במבחן הראשון ציון 80 ובמבחן השני ציון 92. הציון בתעודה נקבע על פי שני המבחנים והחשיבות של המבחן השני היא פי 3 מהחשיבות של המבחן הראשון. מה הציון של דנה בתעודה? תרגיל 2 פירוט המקצועות והציונים של תלמיד נראה כך: מתמטיקה 5 יחידות ציון 84. תנ”ך 2 יחידות ציון 90. לשון 1 יחידה ציון 78. אנגלית 5 יחידות ציון 96. המשקל של כל מקצוע בחישוב הממוצע הוא כמספר היחידות שלו. חשבו את ממוצע הציונים של התלמיד ב 4 המקצועות. עוד באתר:

• תרגילים מסכמים בנושא ממוצע.
• מבחן בנושא ממוצע.
• מתמטיקה לכיתה ח.
• בגרות במתמטיקה 3 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.