התפלגות נורמלית

בדף הקודם למדנו:

בדף זה נלמד על 6 סוגי שאלות שיכולים לשאול אותכם על התפלגות נורמלית.

הסרטון שלמעלה מפרט על 5 מתוך 6 הסוגים.

הסרטון שלמעלה מחולק לחלקים קצרים יותר וליד כל סוג של שאלה בהמשך הדף מופיע החלק המתאים בסרטון.

סוגי השאלות הם:

  1. הממוצע וסטיית התקן ידועים. לזהות מיקום של ציונים אחרים.
  2. נתון הממוצע וסטיית התקן. מצאו את הסתברות של טווח של ציונים.
  3. חישוב הממוצע כאשר ידוע ציון אחר וסטיית התקן.
  4. מציאת סטיית התקן כאשר ידוע הממוצע וציון.
  5. מציאת הממוצע וסטיית התקן על פי 2 ציונים.
  6. השוואה בין שני ציונים בהתפלגויות נורמליות שונות.

1.הממוצע וסטיית התקן ידועים. לזהות מיקום של ציונים אחרים

כאשר הממוצע וסטיית התקן ידועים אנו יכולים לחשב אלו ציונים עומדים במרחקים שונים בהתפלגות הנורמלית.

למשל:
אם הממוצע הוא 70 וסטיית התקן היא 6 (s = 6).
אז הציון הנמצא סטיית תקן אחת מעל הממוצע הוא:
x¯ + s = 70 + 6 = 76

הציון הנמצא סטיית תקן וחצי מתחת לממוצע הוא:
x¯ – 1.5s = 70 – 1.5*6
61 = 9 – 70

2.שאלה נוספת

שיכולים לשאול אותנו על אותם נתונים היא:
מה אחוז התלמידים שקיבל ציון גבוה מ 76?

פתרון
התשובה היא סכום האחוזים הנמצא מימין ל 76.
16 = 0.5 + 1.5 + 5 + 9
תשובה: 16% קיבלו ציון גבוה מ 76.

 

2. נתון הממוצע וסטיית התקן. מצאו את הסתברות של טווח של ציונים

ממוצע התפלגות נורמלית הוא 80 וסטיית התקן היא 4. בדגימה מקרית מה ההסתברות לדגום ציון נמוך מ 86 וגבוה מ 76?

פתרון
עלינו למקם את המספרים 86 ו 76 על ההתפלגות הנורמלית.
ולאחר מכן לחבר את מספר האחוזים הנמצאים ביניהם.

המספר 86 נמצא 1.5 סטיות תקן מעל הממוצע.
המספר 76 נמצא 1 סטיות תקן מתחת לממוצע.

נתבונן בהתפלגות הנורמלית ונראה כי בין 1.5 סטיות מעל הממוצע ו 1 סטיות תקן מתחת לממוצע נמצאים:
77 = 9 + 15 + 19 + 19 + 15
77%
לכן ההסתברות היא:
0.77 = 100 : 77

בין 86 ל 76 נמצאים 77%.

 

תרגיל 2
ממוצע המחירים של עטים הוא 14 שקלים עם סטיית תקן של 3.
דוגמים באופן מקרי עט. מה ההסתברות שמחירו בין 15.5 שקלים ל 20 שקלים?

פתרון
15.5 נמצא 0.5 סטיות תקן מעל הממוצע.
20 נמצא 2 סטיות תקן מעל הממוצע.
בהתבוננות בטבלת ההתפלגות הנורמלית ניתן לראות שבין 0.5 ל 2 סטיות תקן נמצאים:
29 = 5 + 9 + 15
29%
ההסתברות היא:
0.29 = 100 : 29

15.5 נמצאים 0.5 סטיות תקן מעל הממוצע. 17 נמצא 2 סטיות תקן מעל הממוצע. בין 0.5 ל 2 סטיות תקן יש 29%

3.חישוב הממוצע כאשר ידוע ציון אחר וסטיית התקן

אם אנו יודעים ציון הנמצא במרחק מסוים מהממוצע ואת סטיית התקן ניתן לחשב את הממוצע.

למשל:
הציון 60 נמצא 2 סטיות תקן מתחת לממוצע.
סטיית התקן היא 7.
מה הוא הציון הממוצע?

פתרון
אם היינו רוצים להציג את הנתונים במשוואה זה היה נראה כך:
x¯ – 2s = 60
x¯ – 2*6 = 60
x¯ – 12 = 60
x¯ = 72

בדיאגרמה הנתונים והתרגיל נראים כך:

הקווים השחורים העקומים מסמנים כל אחד עלייה בסטיית תקן אחת
הקווים השחורים העקומים מסמנים כל אחד עלייה בסטיית תקן אחת

4.מציאת סטיית התקן כאשר ידוע הממוצע וציון

בצורה דומה לתרגיל שלמעלה אם ידוע הממוצע וציון נוסף שמרחקו בסטיות תקן מהממוצע ידוע אז ניתן לחשב את סטיית התקן.

למשל:
(בשאלה זו נשלב מספר סוגי שאלות, סוג השאלה שנלמד בחלק זה הוא סעיף 1 בשאלה).
בהתפלגות נורמלית הממוצע הוא 80 והציון הנמצא 1.5 סטיות תקן מתחת לממוצע הוא 74.

  1. חשבו את סטיית התקן.
  2. איזה ציון נמצא 2 סטיות תקן מעל הממוצע?
  3. מה אחוז הנבחנים שקיבל ציון שבין 74 לציון שמצאתם בסעיף ב?

פתרון
סעיף א: חישוב סטיית התקן
על ]י המשפט " ממוצע הוא 80 והציון הנמצא 1.5 סטיות תקן מתחת לממוצע הוא 74" נבנה את המשוואה:
x¯ – 1.5s = 74

נפתור את המשוואה:
x¯ – 1.5s = 74
80-1.5s = 74
1.5s = -6  / : -1.5-
s = 4
תשובה: סטיית התקן היא 4.

סעיף ב: הציון שנמצא שנמצא 2 סטיות תקן מעל הממוצע
אנו יודעים כי:
x¯ = 80,  s = 4

לכן הציון הנמצא שתי סטיות תקן מתחת לממוצע הוא:
x¯ + 2s = 80 + 2*4 = 88

סעיף ג: אחוז הנבחנים שבים 74 ל 88
בטבלת ההתפלגות הנורמלית ניתן לראות:
91 = 5 + 9 + 15 + 19 + 19 + 15 + 9
תשובה: בין הציונים הללו נמצאים 91% מהנבחנים.

91% נמצאים בין שני הציונים
91% נמצאים בין שני הציונים

5.מציאת הממוצע וסטיית התקן על פי 2 ציונים

(סוג זה של תרגילים מופיע פחות במאגר מארבעת התרגילים הראשונים).

אם נתונים לנו שני ציונים שאנו יודעים את המרחק שלהם מהממוצע אנו יכולים לחשב את סטיית התקן והממוצע.

למשל:
המספר 50 נמצא סטיית תקן אחת מתחת לממוצע והמספר 65 נמצא חצי סטיית תקן מעל הממוצע.

  1. חשבו את סטיית התקן.
  2. חשבו את הממוצע.

פתרון
סעיף א: חישוב סטיית התקן
בין סטיית תקן אחת מתחת ל 0.5 סטיות תקן מעל יש פער של 1.5 סטיות תקן.
ניתן להבין זאת מילולית בלבד אבל למי שרוצה יש כאן את המשוואה המוכיחה זאת:
= (x¯ + 0.5s – (x¯ – s
x¯ + 0.5s – x¯ + s =  1.5s

בין 65 ל 50 יש גם 15 נקודות.
לכן המשוואה היא:
1.5s = 15

1.5s = 15   / :1.5
s = 10
תשובה: סטיית התקן גודלה 10.

סעיף ב: מציאת הממוצע
לאחר שמצאנו את סטיית התקן זה תרגיל שכבר פתרנו למעלה.
אנו יודעים ציון 65 שנמצא 0.5 סטיות תקן מהממוצע.
ויודעים את סטיית התקן  s = 6.

המשוואה היא:
x¯ + 0.5s = 65
x¯ + 0.5*10 = 65
x¯ + 5 = 65
x¯ = 60

6.השוואה בין שני ציונים בהתפלגויות נורמליות שונות

כאשר נצטרך להשוות בין שני ציונים בהתפלגויות נורמליות שונות נמצא את ציון התקן של כל אחד מהציונים ואז נוכל לראות איזה ציון הוא בעל ציון התקן הגדול יותר.

למשל:
במבחן באנגלית הציון הממוצע הוא 70 וסטיית התקן היא 2.
במבחן במתמטיקה הממוצע הוא 75 וסטיית התקן היא 10.
דליה קיבלה 74 במבחן באנגלית ו 90 במבחן במתמטיקה.
איזה ציון גבוה יותר באופן יחסי?

פתרון
נמצא את ציון התקן של כל אחד מהציונים.
עבור המבחן באנגלית
הציון שהתקבל גבוה ב 4 נקודות מהממוצע.
סטיית התקן היא 2 ולכן הציון שהתקבל גבוה בשתי סטיות תקן מהממוצע
x¯ + 2s = 74

עבור המבחן במתמטיקה
הציון שהתקבל גבוה ב 15 נקודות מעל הממוצע.
סטיית התקן היא 10 ולכן הציון שהתקבל גבוה ב 1.5 סטיות תקן מעל הממוצע.
x¯ + 1.5s = 90

תשובה: הציון באנגלית גבוה בשתי סטיות תקן מעל הממוצע לעומת הציון במתמטיקה הגבוה רק ב 1.5 סטיות תקן.
לכן באופן יחסי הציון באנגלית גבוה יותר.

סיימנו את הסיכום, אני מקווה שהוא עזר לכם.
אם חסר לכם משהוא בסיכום פנו אליי בצ'אט או על ידי השארת תגובה בדף.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.