סטיית תקן: איך לחשב סטיית תקן

בדף זה:

  1. היכרות וחישוב בסיסי של סטיית תקן.
  2. חישוב סטיית תקן לנתונים בטבלה.
  3. שאלות מילוליות שיכולים לשאול אותכם על סטיית תקן.
  4. חישוב סטיית תקן בתוך תרגילי התפלגות נורמלית.
  5. דפים נוספים באתר: ממוצע, סטטיסטיקה שאלון 381, בגרות במתמטיקה 3 יחידות.

1. היכרות וחישוב בסיסי של סטיית תקן

מהיא סטיית תקן?

סטיית תקן היא מדד סטטיסטי שנועד לתת לנו מידע עד כמה הנתונים הם "מפוזרים".
למשל, נסתכל על ציונים של תלמידים בכיתה:

  1.     4, 4, 10
  2.    6,  6,  6

הממוצע של שתי הקבוצות הוא 6 אבל בקבוצה אחת יש תלמידים עם פער גדול בציונים ובקבוצה השנייה יש 3 תלמידים עם ציונים שווים.

אם היו אומרים לנו רק את הממוצע של הקבוצות הללו לא היינו יכולים להבדיל בניהם.
כאשר יגידו לנו גם את סטיית התקן נוכל לדעת שאלו קבוצות שונות.

2.שלבי חישב סטיית תקן:

  1. נחשב את הממוצע של המספרים.
  2. נחשב את המרחק של כל מספר מהממוצע ונעלה את המרחק בריבוע. (אם הממוצע הוא x והמספר הוא c אז
    c – x)²) ).
  3. נחבר את ריבועי המרחקים ונחשב את הסכום.
  4. נחלק את הסכום במספר המספרים.
  5. נוציא שורש ונקבל את סטיית התקן.

3.דוגמה:

חשבו את סטיית התקן של קבוצה המספרים 1,6,8,9.

פתרון
נחשב את הממוצע של ארבעת המספרים:
24 = 9 + 8 + 6 + 1
הממוצע הוא:
6 = 4 : 24

סכום ריבועי המרחקים של המספרים הללו מהמספר 6 הוא:

נבצע את הפעולות שבתוך הסוגריים:

נחבר ונכתוב תשובה:

תשובה: סטיית התקן שווה ל 3.08.

2.חישוב סטיית תקן לנתונים בטבלה

אם הטבלה שלנו היא כזו:

ציונים x4x3x2x1
מספר התלמידיםf4f3f2f1

והממוצע הוא x, אז סטיית התקן s נתונה על ידי הנוסחה:

שימו לב: המונה מייצג את סכום ריבועי המרחקים מהממוצע.
המכנה מייצג את מספר התלמידים.

דוגמה
חשבו את סטיית התקן של הנתונים בטבלה הבאה:

ציון908070
מספר התלמידים22104

פתרון
נחשב את ממוצע הציונים.
3060 = 22 * 90 + 10 * 80 + 70 * 4
מספר התלמידים הוא:
36 = 22 + 10 + 4
הממוצע הוא:
85 = 36 : 3060

נחשב את המרחק של כל קבוצת ציונים מהממוצע.
המרחק של הקבוצה שקיבלה 90:
550 = ²(85 – 90) *22

הקבוצה שקיבלה 80:
250 = ²(85 – 80) * 10

הקבוצה שקיבלה 70:
900 = ²(85 – 70) * 4

בשורה אחת היינו כותבים את החישובים הללו כך.
זה סכום ריבועי המרחקים של הקבוצות מהממוצע:

נבצע פעולות בתוך הסוגריים:

נחבר ונכתוב תשובה סופית.

חישוב סטיית התקן

תשובה: סטיית התקן של המספרים היא 6.87.

בדף סטיית תקן, תרגילים נוספים (וגם בדף זה בהמשך).

3.תרגילים

תרגיל 1
נתונה טבלה המציגה ציונים ומספר תלמידים שקיבל כל ציון.
חשבו את סטיית התקן של הציונים.

מספר התלמידים121082
הציון90807060

פתרון
נחשב את הממוצע של הציונים:
2560 = 12 * 90 + 10 * 80 + 8 * 70 + 2 * 60
מספר הציונים הוא:
32 = 12 + 10 + 8 + 2
הממוצע הוא:
80 = 32 / 2560

נחשב את סטיית התקן
יש כאלו שנוח להם לבצע את החישובים בשורות מתחת לטבלה המקורית.

מספר התלמידים121082
הציון90807060
המרחק מהממוצע²(80 – 90)* 12²(80 – 80)* 10²(80 – 70)* 8²(80 – 60) * 2
התוצאה12000800800

סטיית התקן היא:

חישוב סטיית התקן 9.354

תרגיל 2

נתונה קבוצת המספרים:

הציון908580 75
מספר התלמידים127x 5

ידוע כי הממוצע הוא 85. חשבו את

  1. מספר התלמידים שקיבל ציון 80.
  2. את החציון.
  3. את סטיית תקן.

פתרון

הממוצע הוא:
חישוב ממוצע

מספר התלמידים הוא:
x + 5 + 7 + 12 = x + 24
סכום הציונים הוא:
80x + 75*5 + 85 * 7 + 90 * 12 = 80x + 2050

אנחנו יודעים שהממוצע הוא 85, לכן המשוואה היא:
חישוב ממוצע התרגיל

(80x + 2050 = 85(x + 24
80x + 2050 = 85x + 2040  / -80x – 2040
5x = 10  / :5
x = 2
תשובה: מספר התלמידים שקיבל את הציון 80 הוא 2.

נחשב את סטיית התקן.

הציון908580 75
מספר התלמידים127x 5

500 = ²(85 – 75) * 5
50 = ²(85 – 80) * 2
0 = ²(85 – 85) * 7
300 = ²(85 – 95) * 12
סכום המרחקים הוא:
850 = 300 + 0 + 50 + 500

לכן סטיית התקן היא:

תשובה: סטיית התקן היא 5.717.

4. שאלות מילוליות על סטיית תקן

במהלך השאלות על סטיית תקן יבקשו ממכם לחשב את סטיית התקן ובנוסף יתכן כי יתנו לכם שאלה מילולית.
שאלה כמו אחת מהשאלות הבאות.

שאלה 1
חישבו את ממוצע המשקל של 20 ארגזי עגבניות ומצאו כי המשקל הממוצע הוא 14 ק"ג וסטיית התקן היא 2.
הוסיפו ארגז עגבניות נוסף וממוצע המשקל של ארגזי העגבניות לא השתנה.
האם סטיית התקן השתנתה?

פתרון
אם הממוצע לא השתנה זה אומר שמשקל ארגז העגבניות החדש הוא 14 ק"ג, בדיוק כמו הממוצע.
סטיית התקן מבטאת את המרחק מהממוצע ומשקל הארגז שנוסף הוא במרחק 0 מהממוצע.
לכן סטיית התקן תקטן לאחר תוספת הארגז החדש.

שאלה 2
בכיתה ממוצע המבחן בהיסטוריה היה 72 וסטיית התקן הייתה 8.
המורה החליט להוסיף 5 נקודות לכל תלמיד.
האם הממוצע ישתנה?
האם סטיית התקן תשתנה?

פתרון
כאשר מעלים 5 נקודות הממוצע יעלה ב 5 נקודות, הממוצע יהיה 77.

סטיית התקן
סטיית התקן לא תשתנה.
המרחק של כל ציון מהממוצע לא ישתנה.
ניקח לדוגמה תלמיד שקיבל 80.
לפני התוספת המרחק של תלמיד זה מהממוצע הוא:
8 = 72 – 80
לאחר התוספת הציון של התלמיד הוא 85 והממוצע 77.
המרחק של התלמיד מהממוצע הוא:
8 = 77 – 85.
לכן סטיית התקן לא תשתנה.

שאלה 3
(שאלה זו לא הכרחית לתלמידי תיכון).
ממוצע מספרים הוא 70 וסטיית התקן היא 5.
מכפילים את כל המספרים פי 2.
האם וכיצד הממוצע ישתנה?
האם וכיצד סטיית התקן תשתנה?

פתרון
כאשר מכפילים פי 2 את הציונים גם הממוצע יגדל פי 2.

סטיית התקן
סטיית התקן תגדל, כי המרחק של כל אחד מהציונים (מלבד אלו שקיבלו בדיוק את הציון הממוצע יגדל).
ניקח כדוגמה את המספר 60.
לפני ההכפלה המרחק שלו מהממוצע הוא:
10- = 70 – 60
לאחר ההכפלה המספר הופך ל 120 והממוצע ל 140.  המרחק הוא:
20 – = 140 – 120
אנו רואים שלאחר ההכפלה המרחק של ציון מהממוצע גדל, לכן גם סטיית התקן גדלה.

לסיכום השאלות המילוליות:

  • הוספת נתון חדש: כאשר המרחק של הנתון החדש מהממוצע שווה לממוצע המרחקים של כל הנתונים סטיית התקן לא תשתנה
    כאשר המרחק מהממוצע גדול יותר – סטיית התקן תגדל
    ולהפך תקטן
  • כאשר מוספים לכל איברי הקבוצה מספר קבוע סטיית התקן לא משתנה.
  • כאשר מכפילים במספר גדול מ 1 את כל איברי הקבוצה סטיית התקן גדלה (ובתנאי שסטיית התקן היא לא 0).

5. חישוב סטיית תקן בהתפלגות נורמלית

קריאה של ההתפלגות הנורמלית
קריאה של ההתפלגות הנורמלית

הנושא של סטיית התקן מופיע בשאלות על התפלגות נורמלית.
מספר דוגמאות לחישוב סטיית תקן בשאלות התפלגות נורמלית.

  • אם אתם מרגישים שאתם לא יודעים לקרוא את ההתפלגות הנורמלית עצה או רוצים שאלות מסוגים נוספים בקרו בדף התפלגות נורמלית.

תרגיל 1
קבוצת מספרים מתפלגת נורמלית עם ממוצע 12.
הציון הנמצא שתי סטיות תקן מתחת לממוצע הוא 7.
חשבו את סטיית התקן.

פתרון
בהתחלה יופיע פתרון ללא שרטוט ולאחר מיכן השרטוט.

המרחק של המספר (7) מהממוצע הוא:
5 – = 12 – 7
המרחק הוא גם 2- סטיות תקן. לכן:
2s = -5  / : -2-
s = 2.5
תשובה: סטיית התקן שווה ל 2.5.

ההפרש בין המספרים הוא 5 שהם גם 2 סטיות תקן
ההפרש בין המספרים הוא 5 שהם גם 2 סטיות תקן

תרגיל 2
קבוצה מספרים מתפלגת נורמלית.
המספר שרק 2% נמצאים מעליו הוא 18. המספר הנמצא 34% מתחת לממוצע הוא 6.
חשבו את סטיית התקן.
חשבו את הממוצע.

פתרון
חישוב סטיית התקן.
נמצא את המיקום של המספרים 18 ו 6 על ההתפלגות הנורמלית.
2% נמצאים מעל 2 סטיות תקן מעל הממוצע ולכן 18 נמצא 2 סטיות תקן מעל הממוצע.
34% מתחת לממוצע זה 1 סטיות תקן מתחת לממוצע ולכן 6 נמצא שם.

המספרים 6 ו 18 על ההתפלגות הנורמלית
המספרים 6 ו 18 על ההתפלגות הנורמלית

המרחק בין המספרים הוא:
12 = 6 – 18
המרחק בין המספרים הוא 3 סטיות תקן. לכן סטיית תקן אחת שווה ל:
4  = 3 : 12

חישוב הממוצע
המספר 6 נמצא 1 סטיית תקן מתחת לממוצע.
סטיית תקן שווה ל 4. לכן הממוצע הוא:
10 = 4 + 6

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

4 מחשבות על “סטיית תקן: איך לחשב סטיית תקן”

  1. רוני אלעזר

    בתרגיל 2 שפתרתם פה, איך יודעים כמה סטיות תקן מהממוצע? כתבתם ש – 2% זה 2 סטיות תקן מעל הממוצע, ו – 35% זה סטיה אחת מתחת לממוצע. איך אתם יודעים את זה? לא הבנתי איך הגעתם לנתון

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      הנתונים הללו לקוחים מתוך טבלת ההתפלגות הנורמלית.
      את הטבלה ניתן לראות בחלק 4 בדף זה.

  2. בת חן מלכאן

    יש לי שאלה אך פותרים את התרגיל הזה עזרה בבקשה!!
    הציון הממוצע של 30 התלמידים הוא 7 וסטיית התקן היא 0.9 (התרגיל המלא הוסר מהאתר)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום בת חן
      כאשר אומרים לך שנוסף תלמיד והממוצע לא השתנה זה אומר שהציון של התלמיד הוא הציון הממוצע, במקרה שלנו 7.
      בנוסף, כאשר אנו מחשבים את סטיית התקן יש שלב שבו מחשבים את סכום ריבועי המרחקים של הציונים מהממוצע ואז מחלקים את הסכום הזה במספר התלמידים.
      עלינו לשוב לשלב הזה, להוסיף את המרחק של התלמיד החדש מהממוצע (0 בשאלה זו) ואז לחלק ב 31.

      פתרון התרגיל
      שלב א: חישוב סכום ריבועי המרחקים של הציונים מהממוצע.
      0.81 = 0.9²
      24.3 = 30 * 0.81
      24.3 הוא סכום ריבועי המרחקים של 30 הציונים מהממוצע.

      שלב ב: חישוב סטיית התקן החדשה
      נוסיף 0 לסכום ריבועי המרחקים, נשאר עם 24.3
      0.783 = 31 : 24.3
      0.884 = 0.783√
      תשובה: סטיית התקן החדשה היא 0.884.
      מקווה שהייתי ברור ועזרתי. בהצלחה

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.