לדף זה 4 חלקים:
- מה היא הזזה אנכית ומהן התכונות המרכזיות שלה.
- הזזות של פונקציית הסינוס.
- הזזות של פונקציית הקוסינוס.
- פתרון משוואות ואי שוויונות.
1.מה היא הזזה אנכית ומהן התכונות המרכזיות שלה
הזזה אנכית לפונקציה טריגונומטרית היא כאשר אנו מוסיפים מוסיפים מספר לפונקציה הטריגונומטרית.
למשל:
f(x) = sin x +4
f(x) = cos x – 2
התכונה הבולטת
התכונה הבולטת של הפונקציות הללו היא שהצורה של הגרף החדש הוא בדיוק כמו הגרף של הצורה המקורית.
רק שהגרף עולה או יורד בהתאם למספר שהוספנו / הורדנו.
הערה
שימו לב להבדל בין:
sin (x) + 1
ל:
(sin (x +1
עבור הפונקציה
sin (x) + 1
אנחנו קודם מחשבים את ה sin x ולאחר מיכן מוסיפים 1.
למשל עבור x = 30.
sin (30) + 1 = 0.5 +1 = 1.5
לעומת זאת עבור הפונקציה:
sin (x) + 1
נקבל:
sin (30 +1) = sin (31) = 0.515
2.גרפים של הזזות אנכיות של סינוס
בשרטוט הגרפים של הפונקציות:
f (x) = sin x
f (x) = sin (x) + 2
הגרף השני גבוה ב 2 מהגרף הראשון.
בשרטוט שלמטה הגרפים של הפונקציות:
f (x) = sin x
f (x) = sin (x) -1
הגרף השני נמוך ב 1 מהגרף הראשון.
זוגיות ואי זוגיות
פונקציית הסינוס כאשר לא מוסיפים לה דבר היא אי זוגית.
נזכיר, פונקציה אי זוגית היא פונקציה המקיימת:
(f (x) = – f (-x
וההוכחה שפונקציית הסינוס היא אי זוגית נראית כך:
(sin (-x) = – sin x = – f(x
אבל כאשר מוסיפים או מחסרים מפונקציית הסינוס מספר הפונקציה מאבדת את תכונת האי זוגיות.
נבדוק זאת עבור הפונקציה:
f (x) = sin (x) + 1
הבדיקה:
f (x) = -sin (x) – 1-
נבדוק אם נקבל תוצאה זהה כאשר נציב x = -x.
(f (-x) = sin (-x) + 1 = – sin x + 1 ≠ – f(x
לכן הפונקציה:
f (x) = -sin (x) – 1-
היא לא אי זוגית.
בהוכחה זו השתמשנו בזהות הטריגונומטרית
sin (-x) = – sin x
נזכור גם כי כל הפונקציות האי זוגיות עוברות בנקודה 0,0 וניתן לראות כי פונקציית הסינוס לאחר ההזזה
3.גרפים של הזזות אנכיות של קוסינוס
דוגמה לגרף של
f (x) = cos x + 0.5
אנו רואים כאן שהגרף של
f (x) = cos (x) + 0.5 (בשחור)
גדול ב 0.5 מהגרף של:
f (x) = cos x
זוגיות ואי זוגיות
פונקציית ה cos x היא פונקציה זוגית כאשר היא מופיעה לבדה כך:
f (x) = cos x
נזכיר כי פונקציה זוגית היא פונקציה המקיימת:
(f (x) = f (-x
הפונקציה שומרת על תכונת הזוגיות שלה גם כאשר מתבצע עליה הזזה אנכית.
לדוגמה, נוכיח כי הפונקציה
f (x) = cos x – 0.5
היא פונקציה זוגית.
(f (-x) = cos (-x) – 0.5 = cos x – 0.5 = f (x
בהוכחה זו השתמשנו בזהות הטריגונומטרית:
(cos x = cos (-x
4.פתרון משוואות בעזרת גרפים
כל משוואה שניתן לפתור כאן ניתן לפתור בעזרת גרף ובדרך אלגברית.
את הדרך האלגברית צריך לדעת.
את הדרך הגרפית כדאי להבין והיא שימושית בעיקר לתלמידי 5 יחידות.
תרגיל 1
מצורף גרף של הפונקציה
f (x) = cos (x) – 1.5
פתרו בעזרת הגרף את המשוואות והאי שוויונות הבאות:
- cos (x) – 1.5 = 0
- cos (x) – 1.5 < 0
פתרון
סעיף א
פונקציה שווה ל 0 כאשר היא חותכת את ציר ה x.
(זוכרים שכדי למצוא נקודות חיתוך עם ציר ה x מציבים y =0?).
אנו רואים שהפונקציה הזו לא חותכת את ציר ה x.
לכן למשוואה
cos (x) – 1.5 = 0
אין פתרון
פתרון אלגברי
cos (x) – 1.5 = 0
cos (x) – 1.5 = 0 / +1.5
cos x = 1.5
אנו יודעים שהערך הגדול ביותר של פונקציית הקוסינוס הוא 1.
לכן למשוואה זו אין פתרון.
סעיף ב
cos (x) – 1.5 < 0
אנו יודעים שפונקציה קטנה מ 0 כאשר הגרף שלה נמצא מתחת לציר ה x.
הגרף הזה נמצא תמיד מתחת לציר ה x.
לכן התשובה היא כל x.
פתרון אלגברי
cos (x) – 1.5 < 0
cos (x) – 1.5 < 0 / +1.5
cos x < 1.5
אנו יודעים שהערך הגדול ביותר של פונקציית הקוסינוס הוא 1.
לכן האי שוויון הזה מתקיים תמיד.
תרגיל 2
מצורף גרף של הפונקציה:
f (x) = sin x + 0.5
פתרו בעזרת הגרף את המשוואות והאי שוויונות הבאות:
- sin x + 0.5 = 1
- sin x + 0.5 > 1
(הפתרון שצריך לכתוב הוא בתחום שבו משורטט הגרף).
פתרון
סעיף א
sin x + 0.5 = 1
הפונקציה הזו שווה ל 1 כאשר ערך ה y של הגרף שווה ל 1.
ניתן לראות בגרף שזה קורה בנקודות A,B שבשרטוט.
בנקודה A
x = 30
בנקודה B
x = 150.
ואלו שתי הפתרונות של המשוואה.
דרך פתרון נוספת
sin x + 0.5 = 1
הגרף של
f (x) = sin x + 0.5
משורטט.
נשרטט גם את הגרף של
y =1
ונקודת המפגש של שני הגרפים היא הפתרון של המשוואה.
ניתן לראות שהגרפים נחתכים כאשר:
x = 30
x = 150.
ואלו פתרונות המשוואה.
פתרון אלגברי
נפתור את המשוואה:
sin x + 0.5 = 1
sin x + 0.5 = 1 / -0.5
sin x = 0.5
x = 30 או x = 150.
עוד באתר:
- הזזה אופקית.
- חקירת פונקציות טריגונומטריות.
- מתמטיקה לכיתה י.
- בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
- בגרות במתמטיקה 5 יחידות.