חזקה שלישית: נוסחאות הכפל המקוצר

בדף זה שני חלקים:

1. נוסחאות הכפל המקוצר לחזקה שלישית.
2. נוסחאות להפרש וסכום חזקות.

כל חלק כולל 3 דוגמאות.

1.נוסחאות הכפל המקוצר לחזקה שלישית

נוסחאות הכפל המקוצר לחזקה השלישית הן:

a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³)
a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³)

דוגמה 1
= x + 2)³)

פתרון
נשתמש בנוסחה:
a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³)
x + 2)³ = x³ +3x²*2 + 3x*2² + 2³)
x³ +6x² + 12x + 8

דוגמה 2
= x – 5)³)

פתרון
נשתמש בנוסחה:
a – b)³ = a³ – 3a²b + 3ab² – b³)
x – 5)³ = x³ – 3x²*5 + 3x*5² – 5³)
x³ – 15x² + 75x -125

דוגמה 3
= 2x + 4)³)

פתרון
נשתמש בנוסחה:
a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³)
x + 4)³ = (2x)³ +3*(2x)²*4 + 3*2x*4² + 4³)
8x³ +3 * 4x² *4 + 96x + 64
8x³ + 48x²  + 96x + 64

2.נוסחאות להפרש וסכום חזקות

אלו שתי נוסחאות העוזרות לנו לפרק לגורמים חזקה שלישית:

(a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²
(a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²

בדוגמאות הבאות נקבל ביטוי ונבצע לו פירוק לגורמים.

דוגמה 1
= x³ + 8

פתרון
x³ + 8 = x³ + 2³
נשתמש בנוסחה:
(a³ + b³ = (a + b) (a² – ab + b²
(x³ + 2³ = (x +2) (x² – 2x +2²

דוגמה 2
= x³ – 27

פתרון
x³ – 27 = x³ – 3³
נשתמש בנוסחה:
(a³ – b³ = (a – b) (a² + ab + b²
(x³ – 3³ = (x -3) (x² + 3x + 3²

דוגמה 3
מצאו לכמה שווה:
x³ + y³
אם ידוע כי:
xy = 10
x + y = 7

פתרון
לפני שנפתור את התרגיל יש טכניקה שצריך לדעת והיא תשמש אותכם בתרגיל זה ובתרגילים דומים.
[x² – xy + y²) = [(x² + 2xy + y²) – 3xy)
[(x + y)² – 3xy)] זה עיקר "התחכום האלגברי" שאתם צריכים להבין.
מה שעשינו בפעולה זו הוא לקחת את הביטוי
x² – xy + y²
ולהוסיף לו 3xy וגם לחסר ממנו 3xy כך שיתאים לפתיחת סוגריים על פי הנוסחה לדו איבר בריבוע:
x + y)² = x² + 2xy + y²)
ועשינו זאת כי ידוע לנו בנתונים לכמה שווה x + y.

פתרון
המטרה שלנו תהיה לבטא את x³ + y³ בעזרת שני הביטויים:
xy = 10
x + y = 7
ואז להציב מספרים.

(x³ + y³ = (x + y) (x² – xy + y²
(x + y) (x² + 2xy + y² – 3xy)
[x + y) [(x² + 2xy + y²) -3xy)

[x + y) [(x + y)² – 3xy)
עכשיו אנו יודעים את הערך של כל הביטויים ואנו יכולים להציב מספרים.
= [10*3 – 7²] * 7
= [30 – 49] * 7
133 = 19 * 7

עוד באתר:

• נוסחאות הכפל המקוצר.
• מתמטיקה לכיתה ט.
• מתמטיקה לכיתה י.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.