משיק לפונקציה רציונלית

שלב 1: מציאת נקודת ההשקה

נציב x=2 במשוואת הפונקציה.

נקודת ההשקה היא (2.75  ,2).

שלב 2: גזירת הפונקציה ומציאת ערך הנגזרת בנקודה

נגזור את הפונקציה:

נציב x = 2 בנגזרת

שיפוע הפונקציה וגם שיפוע המשיק בנקודת ההשקה הם 0.625.

שלב 3: מציאת משוואת המשיק
יש לנו נקודה שדרכה עובר המשיק (2,2.75) ויש לנו את שיפוע המשיק 0.625 (שיפוע המשיק שווה לערך הנגזרת בנקודת ההשקה).
המשוואה למציאת משוואת ישר באמצעות שיפוע ונקודה היא:
(y-y1=m(x-x1
(y-2.75 = 0.625(x-2
y = 0.625x – 1.25 + 2.75
y = 0.625x+1.5
תשובה: משוואת המשיק היא y = 0.75x + 1.5.

ראשית נמצא את שיעור ה-x של נקודת ההשקה.
על מנת למצוא זאת, נפתור את המשוואה f(x) = 5.

נכפול את המשוואה ב: (x – 2)
(x + 2 = 5*(x – 2
x + 2 = 5x – 10
4x = 12
x = 3
לכן נקודת ההשקה היא (5, 3).

כעת נמצא את שיפוע המשיק המבוקש.
שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודה x = 3.
לכן נגזור את הפונקציה, ולאחר מכן נציב בנגזרת x = 3.

לכן שיפוע המשיק הוא:  m = -4

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y₀ = m*(x-x₀ , כאשר m הוא השיפוע, ו-(x_0, y₀) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :

(y – 5 = -4*(x – 3
y  – 5  =  -4x + 12
y   =  -4x + 17

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
מטרתנו היא למצוא את הנקודה בה השיפוע הוא 3/4.

לכן נפתור את המשוואה : f ‘ (x) = 3/4.

נפתור את המשוואה:

נכפול ב – x-1)²)

נכפול ב-4 , ונפתח סוגריים לפי נוסחת כפל מקוצר.

נפתח סוגריים:

נעביר אגפים:

פירוק לגורמים:

לכן נקודות המקיימות את התנאי :
x₁ = 3 , x₂ = -1.

x = -1 לא נמצא ברביע הראשון ולכן אין צורך למצוא את המשוואה בנקודה זו.

נמצא את משוואה המשיק ב x = 3.

נמצא את נקודת ההשקה ע”י הצבת x = 3 בפונקציה:
f(3) = 3²/3-1 = 9/2 = 4.5
לכן נקודת ההשקה היא: (4.5, 3).
השיפוע נתון לנו בשאלה : m = 3/4.

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y₀ = m*(x-x₀ , כאשר m הוא השיפוע, ו-(x_0, y₀) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :

(y – 4.5 = 0.75*(x – 3
y  – 4.5  = 0.75x – 2.25
y   =  0.75x + 2.25

שלב 1: גזירת הפונקציה

שלב 2: בניית משוואה
כאשר x=3 ערך נגזרת הפונקציה הוא 0.5.

2a=4.5
a=2.25

תשובה: a=2.25

שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת באותה נקודה.
נתון כי שיפוע המשיק בנקודה x = 2 הוא m = 3.

לכן ערך הנגזרת, כאשר מציבים בה x = 2 , צריך להיות 3.
לכן, על מנת למצוא את a, נגזור את הפונקציה, ונפתור את המשוואה : f(2) = 3.

אנו מתעניינים בסביבת הנקודה x = 2.  לכן נוכל להניח x ≠ 0 ולצמצם ב -x את הביטוי.

כעת נציב x = 2 בנגזרת :

נרצה לפתור את המשוואה f ‘ (2) = 3.
לכן המשוואה היא :

נכפול ב – 8- :
2a + 2 = -24
2a = -26
a = -13.

**מצורף גרף הפונקציה