משיק ונקודות קיצון לפונקציה רציונלית 3 יחידות

בדף זה:

  1. כיצד מוצאים משוואת משיק.
  2. כיצד מוצאים נקודת קיצון.
  3. 6 שאלות ומכשולים שניתן להיתקל בהם.
  4. תרגילים.

כיצד מוצאים משוואת משיק?

התכונות של המשיק הן:

  1. שהוא עובר בנקודת ההשקה יחד עם הפונקציה.
  2. למשיק ולפונקציה יש את אותו שיפוע בנקודת ההשקה.

איך מוצאים משוואת משיק?
משוואת משיק היא משוואת ישר.
על מנת למצוא אותה עלינו לדעת:

  1. נקודה.
  2. ושיפוע.

בשאלות בהם נקבל את ערך ה x של נקודת ההשקה.
נציב את ערך ה x הזה:

  1. בפונקציה (f(x ונקבל נקודה דרכה עובר המשיק.
  2. בנגזרת (f ' (x ונקבל את שיפוע המשיק.
כאשר נתונה נקודת ההשקה מוצאים את משוואת המשיק על ידי הצבת הנקודה ב (f(x וב (f '(x
כאשר נתונה נקודת ההשקה מוצאים את משוואת המשיק על ידי הצבת הנקודה ב (f(x וב (f '(x

כיצד מוצאים נקודת קיצון?

על מנת למצוא נקודת קיצון עלינו לגזור את הפונקציה ולהשוות את הנגזרת ל 0.

כאשר אנו משווים ל 0 נזכור שביטוי שווה ל 0 כאשר המונה של הביטוי שווה ל 0.

עבור חלק מהפונקציות הרציונליות נמצא שאין נקודות קיצון.

לדוגמה עבור הפונקציה:

הנגזרת היא:

הנגזרת הזו אף פעם לא שווה ל 0 כי המונה שלה הוא מספר ולכן השבר אף פעם לא יהיה שווה ל 0.

דרך נימוק נוספת היא להמשיך ולפתור את המשוואה.

נכפיל את המשוואה ב x².
מותר לנו לעשות זאת כי אנו יודעים שבתחום ההגדרה

x² ≠ 0.

נקבל:

– 1 = 0

זו משוואה שאף פעם היא לא נכונה.
לכן נגזרת הפונקציה אף פעם לא שווה ל 0.

6 שאלות ומכשולים בנושא קיצון ותחומי עלייה וירידה

  1. מה הם הגבולות לבדיקת הסביבה בטבלה?
  2. כיצד מוצאים משיק לפונקציה בנקודת הקיצון שלה?
  3. כיצד מוכיחים שלפונקציה אין נקודת קיצון?
  4. מספר נקודות החיתוך של הישר y = k עם פונקציה
  5. כיצד מוצאים תחומי עליה וירידה של פונקציה שיש עבורה טבלה?
  6. כיצד מוצאים תחומי עלייה וירידה עבור פונקציה שאין עבורה טבלה או קיצון?

1.מה הם הגבולות לבדיקת הסביבה בטבלה?

כאשר אנו רוצים לבדוק סביבה של נקודה החשודה כנקודת קיצון הנקודה שנבחר לבדוק צריכה לעמוד בתנאים הבאים:

  1. אין בינה לבין הנקודה החשודה כקיצון נקודה אחרת החשודה כקיצון.
  2. אין בינה לבין הנקודה החשודה כקיצון נקודה בה הפונקציה אינה מוגדרת.

דוגמה
עבור פונקציה הנקודות
x = 2
x = -4
חשודות כקיצון.
והפונקציה לא מוגדרת עבור
x = -2

אז על מנת לבדוק את x = -4 מצד שמאל נוכל להציב כל ערך המקיים
x < -4.
ומצד ימין כל ערך המקיים

– 4 < x < – 2

על מנת לבדוק את x = 2 מצד שמאל נוכל להציב:

– 2 < x < 2

ומצד ימין נוכל להציב כל ערך המקיים:
x > 2

דוגמה 2
נתונה לנו הפונקציה

וכבר מצאנו על ידי השוואת הנגזרת ל 0 כי הנקודות החשודות כקיצון הם:

x1  = 0.707
x2  = – 0.707

מה הם הערכים אשר נבחר לטבלה על מנת לבדוק את ההתנהגות בסביבה.

הטבלה הזו

10.7070.50.5-0.707-1-

או הטבלה הזו:

10.7070.50.707-1-

השאלה היא בעצם
האם 0.5 יכול לשמש כסביבה של הנקודה 0.707 וגם של 0.707 -?
נמקו

לחצו לצפייה בפתרון

0.5 לא יכול לשמש כסביבת הנקודה של 0.707 – כי  בין x = 0.5  ל  x = – 0.707  יש את הנקודה x =0 שהיא נקודת אי הגדרה.

וכאשר אנו בוחרים נקודה שתייצג סביבה של נקודה היא חייבת להיות לפני נקודת אי הגדרה.

לכן הטבלה הראשונה היא הנכונה.

נראה את זה גם בגרף:

אם שתי הנקודות האדומות חשודות כקיצון.
החץ האדום מסמן את הנקודה שבה הפונקציה אינה מוגדרת אז הטווח שבו ניתן לבדוק את ערכי הנגזרת היא בין כל אחת מהנקודות האדומות ועד החץ האדום.

2.כיצד מוצאים משיק לפונקציה בנקודת הקיצון שלה?

לפונקציה יש נקודת קיצון ב (1,2). מצאו את המשיק לפונקציה העובר בנקודה.

לחצו לצפייה בפתרון

בנקודת הקיצון השיפוע של הפונקציה הוא 0 ולכן גם שיפוע המשיק הוא 0.
ישר עם שיפוע 0 הוא ישר המקביל לציר ה x.

לישרים המקבילים לציר ה x יש ערך y קבוע.
ומכוון שהמשיק עובר בנקודה (1,2) משוואתו חייבת להיות

y = 2.

דרך שנייה למצוא את משוואת המשיק
בנקודת הקיצון השיפוע של הפונקציה הוא 0.
ושיפוע המשיק שווה לשיפוע הפונקציה בנקודה ההשקה.

עבור במשיק אנו יודעים
m = 0
עובר בנקודה (1,2).

נציב זאת במשוואת הישר

y = mx + b
2 = 0 * 1 + b
2 = b

משוואת הישר היא:
y = 0 * x + 2
y = 2

בשרטוט דוגמה לפונקציה עם קיצון ב 1,2 והמשיק העובר בנקודה.

3.כיצד מוכיחים שלפונקציה אין נקודת קיצון?

על מנת למצוא נקודות קיצון אנו גוזרים את הפונקציה ובונים את המשוואה:

f ' (x) = 0

אם נקבל משוואה שאין לה פתרון כמו:

0 = 1

או

x² = – 4

זה אומר שלמשוואה

f ' (x) = 0
אין פתרון.
נגזרת הפונקציה אף פעם לא שווה 0 ולכן לפונקציה אין נקודות קיצון.

דוגמה
הוכיחו כי לפונקציה הבאה אין נקודות קיצון.

לחצו לצפייה בפתרון

הביטוי הזה לא יכול להיות שווה ל 0, כי שני האיברים שליליים תמיד.

אם ננסה לפתור את זה כמשוואה נקבל:

נכפיל ב x², אנו יכולים לעשות זאת כי בתחום ההגדרה x² ≠ 0.

– 2 = 3x²
-0.66 = x²

למשוואה הזו אין פתרון כי x² בריבוע חיובי תמיד.

 

4.מספר נקודות החיתוך של הישר y = k עם פונקציה

שאלה זו תישאל לרוב לאחר שמצאנו נקודות קיצון של פונקציה ולאחר ששרטטנו את הגרף של הפונקציה.

ישאלו אותנו כמה נקודות חיתוך יש לישר מהסוג y = k עם הפונקציה.

דוגמה.
הסתכלו על גרף הפונקציה

אשר נקודות הקיצון שלה הם בנקודות:

(4, 0.5)
(4-, 0.5-)

וקבעו לאלו ישרים מהסוג y = k יש:

  1. נקודת חיתוך אחת עם הפונקציה (אלו המשיקים).
  2. 0 נקודות חיתוך עם הפונקציה.
  3. שתי נקודות חיתוך עם הפונקציה.

 

לחצו לצפייה בפתרון

סעיף א: נקודת חיתוך אחת (השקה)
למשיק לנקודות הקיצון של הפונקציה יש נקודת חיתוך אחת עם הפונקציה.
לכן לישרים
y = 4
y = -4
יש נקודת חיתוך אחת עם הפונקציה.

סעיף ב: 0 נקודות חיתוך
כאשר הישר עובר בין שני ערכי ה y של נקודות הקיצון יש לו 0 נקודות חיתוך.

כלומר כאשר
-4 < k < 4

לישר y = k יש 0 נקודות חיתוך.
(לדוגמה לישרים y = 0, y = 3 יש 0 נקודות חיתוך).

סעיף ג: שתי נקודות חיתוך.
ששתי נקודות חיתוך מתקבלות כאשר עוברים מעל נקודת החיתוך העליונה. למשל
y = 5, y = 6

או כאשר עוברים מתחת לנקודת החיתוך התחתונה
y = -5, y = -10.

בנקודות הקיצון השיפוע הוא 0.

לכן בנקודה (4, 0.5)

הישרים השחורים – נקודת חיתוך אחת.
הישרים הירוקים – שתי נקודות חיתוך.
הישר הצהוב – 0 נקודות חיתוך.

5.כיצד מוצאים תחומי עליה וירידה של פונקציה שיש עבורה טבלה?

עבור פונקציה רציונלית שאינה מוגדרת ב x = 0.

בסעיף של נקודות הקיצון קיבלנו את הטבלה הבאה:

ערך x7651-2-3-
ערך הנגזרתשלילית0חיוביתחיובית0שלילית
מסקנהמקסימוםמינימום

כתבו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה על פי מידע זה.

לחצו לצפייה בפתרון

תחומי העלייה והירידה משתנים רק בנקודות הקיצון ובנקודות אי ההגדרה.

הגבולות של תחומי העלייה והירידה הן נקודות הקיצון או נקודות אי ההגדרה.

כלומר השינויים יכולים להתרחש ב:
x = 6
x = 0
x = -2

התחומים הם:
x > 6  ירידה.

0 < x < 6
עלייה

-2 < x < 0
עלייה

x < -2 ירידה.

הערה
את התחומים השני והשלישי היה ניתן לכתוב ביחד גם כך:

-2 < x < 6
x ≠ 0

6.כיצד מוצאים תחומי עלייה וירידה עבור פונקציה שאין עבורה טבלה או קיצון?

חלק מהפונקציה שנחקור יהיו ללא קיצון.

אז איך נמצא את תחומי העלייה והירידה אם אין לנו טבלה ואין לנו קיצון?

תשובה
כאשר אין קיצון הפונקציה יכולה להשתנות מעלייה לירידה רק בנקודות האי ההגדרה.
לכן:

  1. נחלק את הפונקציה לתחומים על פי נקודות אי ההגדרה.
  2. נציב ערך x יחיד מכל תחום בנגזרת.
    ומה שמתקבל עבור ערך  x זה נכון לגבי כל התחום.

לדוגמה:
ידוע כי לפונקציה הבאה אין נקודות קיצון.

מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.

לחצו לצפייה בפתרון

הפונקציה לא מוגדרת כאשר x = 0.

לכן שני התחומים שעלינו לבדוק הם:
x > 0
x < 0

נבחר נקודה מכל תחום ונציב בנגזרת.

נציב x = 1 עבור x > 0.

לכן הפונקציה יורדת ב x > 0.

נציב x = -1 עבור x < 0.

לכן עבור x < 0 הפונקציה עולה.

תשובה:
הפונקציה יורדת ב x > 0.
x < 0 הפונקציה עולה.

 

תרגילים

תרגיל 1

עבור הפונקציה:

  1. מצאו את משוואת המשיק ב x = 1.
  2. האם יכול להיות משיק לפונקציה ב x = 0.
  3. מצאו את נקודות הקיצון אם ישנן, אם אין הסבירו מדוע אין.
  4. אם לפונקציה יש נקודת קיצון מצאו את משוואת המשיק בנקודת הקיצון.

פתרון

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא
x ≠ 0.

סעיף א':

מציאת משוואת המשיק בx = 2:
למשיק ולפונקציה יש שיפוע שווה בנקודת ההשקה.
לכן על מנת למצוא את שיפוע המשיק, נגזור את הפונקציה ונציב את ערך ה x של נקודת ההשקה.
f ' (x) = -1/x2
f ' (2) = -1/22 = -0.25
כלומר שיפוע הפונקציה ב x=2 הוא 0.25-  ולכן משוואת המשיק בנקודה זו תהיה מהצורה y = -0.25x + n

מציאת n
אנו יודעים שהפונקציה והמשיק עוברים דרך נקודה ההשקה (ערכי ה-x וה-y שלהם זהים בנקודה הזו).
נמצא את ערך ה- y בנקודת ההשקה בעזרת הפונקציה:

f(x) = 1/x
f(2) = 1/2

נקודת ההשקה נמצאת ב (2,0.5).

נקודת ההשקה נמצאת על המשיק ולכן ניתן להציב אותה במשוואתו:

y = -0.25x + n
0.5 = -0.25*2 + n
0.5 = -0.5 + n
n = 1

כלומר משוואת המשיק לפונקציה ב x=2 היא y = -0.25x + 1.


סעיף ב':

תחום ההגדרה של הפונקציה הוא  x≠0.
הפונקציה לא מוגדרת בנקודה זו ולכן לא ייתכן שקיים שם משיק.


סעיף ג':

על מנת למצוא את נקודות הקיצון, עלינו לגזור את הפונקציה ולהשוות את הנגזרת ל-0.

f(x) = 1/x
f ' (x) = -1/x2
-1/x2 = 0
-1 = 0

קיבלנו משוואה שגויה ולכן לפונקציה אין נקודות קיצון.

בנגזרת:  f ' (x) = -1/x2
המונה תמיד שלילי ושווה ל1- .
המכנה תמיד חיובי (כל מספר בחזקת 2).
חלוקה של מספר שלילי במספר חיובי תתן תמיד מספר שלילי.
מכאן ניתן לדעת שהנגזרת שלילית בכל התחום, כלומר הפונקציה יורדת וללא נקודות קיצון.

 

תרגיל 2

עבור הפונקציה:

  1. מצאו את תחום ההגדרה.
  2. חיתוך עם הצירים.
  3. מצאו את משוואת המשיק ב x = – 2.
  4. מצאו את נקודות הקיצון אם ישנן, אם אין הסבירו מדוע אין.
  5. מצאו את תחומי העלייה והירידה של הפונקציה.
  6. אם לפונקציה יש נקודת קיצון מצאו את משוואת המשיק בנקודת הקיצון.

פתרון

סעיף א':

תחום ההגדרה הוא x ≠ 0.

סעיף ב':

חיתוך עם ציר ה y מתקבל כאשר x = 0.

מכוון שהפונקציה לא מוגדרת כאשר x = 0 לפונקציה אין נקודת חיתוך עם ציר ה y.

חיתוך עם ציר ה x מתקבל כאשר y = 0.

נציב זאת בפונקציה:

נכפיל ב x, מותר לנו לעשות זאת כי בתחום ההגדרה x ≠ 0.

0 = 1 + 2x²
– 1 = 2x²

למשוואה זו אין פתרון כי:
1- שלילי תמיד.
2x²  חיובי בכל תחום ההגדרה.

לכן לפונקציה אין נקודות חיתוך עם ציר ה x.

סעיף ג':

מציאת משוואת המשיק בx = -2:
למשיק ולפונקציה יש שיפוע שווה בנקודת ההשקה.
לכן על מנת למצוא את שיפוע המשיק, נגזור את הפונקציה ונציב את ערך ה x של נקודת ההשקה.

נציב x = -2 על מנת למצוא את שיפוע הפונקציה בנקודה.

f ' (-2) = 1.75

כלומר שיפוע הפונקציה ב x= -2 הוא 1.75 ולכן משוואת המשיק בנקודה זו תהיה מהצורה y = 1.75x + n

מציאת n
אנו יודעים שהפונקציה והמשיק עוברים דרך נקודה ההשקה (ערכי ה-x וה-y שלהם זהים בנקודה הזו).
נמצא את ערך ה-y בנקודת ההשקה בעזרת הפונקציה:

נקודת ההשקה נמצאת ב (4.5- ,2-).

נקודת ההשקה נמצאת על המשיק ולכן ניתן להציב אותה במשוואתו:

y = 1.75x + n
-4.5 = 1.75*(-2) + n
-4.5 = -3.5 + n
n = -1

כלומר משוואת המשיק לפונקציה ב x= -2 היא y = 1.75x-1 .

סעיף ד':

על מנת למצוא את נקודות הקיצון, עלינו להשוות את הנגזרת ל 0.

נכפיל את המשוואה ב x², מותר לנו לעשות זאת כי בתחום ההגדרה x² ≠ 0.

-1 + 2x² = 0
2x² = 1
x² = 0.5
x = ± √0.5

x1 = √0.5 = 0.707
x2 = -√0.5 = -0.707

נבדוק על יד טבלה שהנקודות הללו הן נקודות קיצון

ערך x10.7070.50.5-0.707-1-
ערך הנגזרת+00+
מסקנהמינימוםמקסימום

ערכי ה-y של נקודות הקיצון הם:

נקודות הקיצון הן:
(2.828, 0.707) מינימום.
(2.828- , 0.707- ) מקסימום.

סעיף ה':

על פי הטבלה שבנינו ניתן לראות שתחומי העלייה הם:
x > 0.707
x < – 0.707

תחומי הירידה הם:

0 < x < 0.707
-0.707 < x < 0

את שני תחומי הירידה ניתן לכתוב כתחום יחיד כך:

-0.707 < x < 0.707
x ≠ 0


סעיף ו':

משוואת המשיק בנקודת הקיצון:
בנקודות הקיצון, הנגזרת שווה ל-0.
כלומר שיפוע המשיק בנקודות אלו הוא 0 (המשיק מקביל לציר ה-x).

לכן משוואות המשיקים לנקודות הקיצון שווה לערכי ה-y שלהן:
y = 2.828
y = -2.828

שרטוט גרף הפונקציה ומשוואת המשיק ב x = -2:

גרף הפונקציה ו2 המשיקים בנקודות הקיצון:

 


תרגיל 3

עבור הפונקציה:

  1. מצאו את משוואת המשיק ב x = 6.
  2. מצאו את נקודות הקיצון אם ישנן, אם אין הסבירו מדוע אין.
  3. אם לפונקציה יש נקודת קיצון מצאו את משוואת המשיק בנקודת הקיצון.

פתרון

סעיף א':

מציאת משוואת המשיק בx=6:
למשיק ולפונקציה יש שיפוע שווה בנקודת ההשקה.
לכן על מנת למצוא את שיפוע המשיק, נגזור את הפונקציה ונציב את ערך ה x של נקודת ההשקה.

f(x) = 4/x – x + 2
f ' (x) = -4/x2 -1
f ' (6) = -4/62 – 1 = -10/9 = -1.11

כלומר שיפוע הפונקציה ב x=6 הוא 1.11- ולכן משוואת המשיק בנקודה זו תהיה מהצורה y =  -1.11x + n.

מציאת n-
אנו יודעים שהפונקציה והמשיק עוברים דרך נקודה ההשקה (ערכי ה-x וה-y שלהם זהים בנקודה הזו).
נמצא את ערך ה-y בנקודת ההשקה בעזרת הפונקציה:

f(x) = 4/x – x + 2
f(6) = 4/6 – 6 + 2 = -10/3 = -3.33

נקודת ההשקה נמצאת ב (3.33- ,6).

נקודת ההשקה נמצאת על המשיק ולכן ניתן להציב אותה במשוואתו:

y =  -1.11x + n
-3.33 = -1.11*6 + n
-3.33 = -20/3 + n
n = 10/3 = 3.33

כלומר משוואת המשיק לפונקציה ב x=6 היא y =  -1.11x + 3.33.

 

סעיף ב':
על מנת למצוא את נקודות הקיצון, עלינו לגזור את הפונקציה ולהשוות את הנגזרת ל-0.

f(x) = 4/x – x + 2
f ' (x) = -4/x2 – 1 = 0
-4/x2 = 1   /*x2
x2 = -4

למשוואה זו אין פתרון ולכן לפונקציה אין נקודות קיצון.

הביטוי שקיבלנו בנגזרת:  f ' (x) = -4/x2 – 1  שלילי לכל x ולכן הפונקציה יורדת בכל תחום הגדרתה.

 

שרטוט של גרף הפונקציה והמשיק ב x=6:

 

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו תגובה באתר.
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.