נקודות קיצון פנימיות פונקציית שורש

בדף זה נלמד על נקודות קיצון פנימיות בפונקציית שורש.

החלקים של דף זה הם:

1. תזכורת.
2. הסבר וידאו.
3. הסבר כתוב.
   א.ללא קיצון והנגזרת לא מתאפסת.
   ב.ללא קיצון והנגזרת מתאפסת.
   ג.עם קיצון.
4. דוגמה לפתרון מלא.
5. נקודות קיצון בקצוות.
6. תרגילים.

נדגיש את ההבדל בין שלושה מצבים:

1.יש פונקציות שורש ללא קיצון  כי הנגזרת שלהם אף פעם לא שווה ל 0.
זה קורה כי מונה השבר לא יכול להיות שווה ל 0.
או כי הנגזרת כוללת ביטויים חיוביים או שליליים תמיד.

2.יש פונקציות שורש ללא קיצון למרות שיש x שמאפס את הנגזרת.
זה קורה כי הנקודה שמאפסת את הנגזרת לא נמצאת בתחום ההגדרה.

3.יש פונקציות שורש עם קיצון.

1.תזכורת

לפני שנתחיל לגזור עלינו לזכור שלושה דברים:

1.שבר שווה 0 כאשר מונה השבר שווה ל 0.

השבר הזה שווה 0 כאשר x = -2.

2.שורש הוא ביטוי חיובי או שווה 0 בכל תחום הגדרתו.

לכן שלושת הביטויים הבאים (לדוגמה) חיובים בכל התחום שבו הם מוגדרים

3.נוסחאות גזירה של פונקציית שורש

ועבור פונקציה מורכבת.

2.סיכום וידאו

3.הסבר כתוב

בפונקציית שורש יש מספר סוגי פונקציות שאין להם קיצון וזאת בגלל:

1. הנגזרת היא ביטוי שאף פעם לא מתאפס.
2. או שהנגזרת מתאפסת אבל הפתרון נמצא מחוץ לתחום ההגדרה.

דוגמה ראשונה (הנגזרת שונה מ 0)

נגזור את הפונקציה:

f(x) = √x + 4

נקבל:

הנגזרת הזו אף פעם לא שווה ל 0 כי המונה של השבר הזה הוא מספר ואף פעם לא שווה ל 0.

וכך גם אם נכפיל את השורש במספר כך:

f(x) = 3√x + 4

או כך:

f(x) = √3x + 4

עדיין נקבל נגזרת מאותה צורה שאינה יכולה להיות שווה 0.

דוגמה שנייה (נגזרת שונה מ 0)

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה.

f(x) = 7√x + 2x

פתרון

נגזור את הפונקציה

הנגזרת הזו אף פעם לא שווה ל 0.

כי:

השבר חיובי בכל תחום ההגדרה.

2 חיובי תמיד.

ולכן הנגזרת חיובית תמיד ושונה מ 0 – ולכן אין קיצון.

דרך אחרת להראות שהמשוואה לא פתירה היא להשוות את המשוואה ל 0 ולראות שאין לה פתרון.

7 = -2 * 2√x
7 = -4√x
-1.75 = √x

תוצאת השורש אף פעם לא שלילית לכן למשוואה זו אין פתרון.

הנגזרת לא יכולה להיות שווה ל 0.
לכן לפונקציה זו אין נקודות קיצון.

אלו שינויים היינו יכולים לעשות בפונקציה f(x) = 7√x + 2x כדי שכן יהיו לה נקודות קיצון?

בפונקציה זו שני איברים עם אותו סימן, שנותנים בנגזרת שני איברים שווה סימן שסכומם לא יכולים להיות שווה ל 0.

אם היינו משנים את הסימן באחד האיברים בלבד אז היינו מקבלים נגזרות שיכולות להיות שוות ל 0.

אלו שתי הפונקציות שיש להן קיצון:

f(x) = – 7√x + 2x
f(x) = 7√x – 2x

דוגמה שלישית (פתרון מחוץ לתחום ההגדרה)

בחלק מה מקרים הנגזרת תהיה שווה ל 0, אבל הפתרון יהיה מחוץ לתחום ההגדרה.

דוגמה

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה:
(f(x) = √(x² + 6x

פתרון

נמצא את תחום ההגדרה

x² + 6x ≥ 0
x(x + 6) ≥ 0

זו פרבולת מינימום עם חיתוך של ציר ה x ב
x = 0,  x = – 6.

הפרבולה חיובית או שווה ל 0 והפונקציה מוגדרת כאשר:
x ≥ 0  או   x ≤ -6

מציאת קיצון
נגזור את הפונקציה:

הנגזרת שווה ל 0 כאשר מונה הנגזרת שווה ל 0.
2x + 6 = 0
2x = -6
x = -3

נסתכל אם הפתרון שקיבלנו נמצא בתחום ההגדרה, x ≥ 0  או   x ≤ -6.

הפתרון לא בתחום ההגדרה, לכן לפונקציות אין קיצון.

ג.דוגמאות לפונקציית שורש שיש לה קיצון

נקודות החשודות כקיצון מתקבלות כאשר הנגזרת שווה ל 0.

נגזרת שווה ל 0 יכולה להתקבל כאשר נוסיף עוד x שלא נמצא תחת השורש.
למשל:

• f(x) = 18√x – 3x
• f(x) = -3√x + x²

הנגזרת של הפונקציה הראשונה היא:

וזה שבר היכול להיות שווה ל 0.

או כאשר תהיה פונקציה ריבועית בתוך השורש:

• (f(x) = √(-x² – 8x – 12
• f(x) = √(x² – 3x +10) + 6

הנגזרת של הפונקציה הראשונה היא:

זה שבר היכול להיות שווה ל 0.

או כאשר הפונקציה מורכבת ממכפלה

• (f(x) = 2x*√(x+ 2

הנגזרת של הפונקציה הזו היא:

גם פונקציית מכפלה או מנה יכולה ליצור קיצון

f(x) = x * √(x + 3)

פתרון
הפונקציה מוגדרת כאשר
x ≥ -3

 

נשווה את הנגזרת ל 0 ונפתור:

2(x + 3) = -x
2x + 6 = – x
3x = – 6
x = -2

הנקודה החשודה כקיצון נמצאת בתחום ההגדרה.

4.דוגמה לפתרון מלא