נקודות קיצון פנימיות פונקציית שורש

בדף זה נלמד על נקודות קיצון פנימיות בפונקציית שורש.

החלקים של דף זה הם:

  1. תזכורת.
  2. הסבר וידאו.
  3. הסבר כתוב.
    א.ללא קיצון והנגזרת לא מתאפסת.
    ב.ללא קיצון והנגזרת מתאפסת.
    ג.עם קיצון.
  4. דוגמה לפתרון מלא.
  5. נקודות קיצון בקצוות.
  6. תרגילים.

נדגיש את ההבדל בין שלושה מצבים:

1.יש פונקציות שורש ללא קיצון  כי הנגזרת שלהם אף פעם לא שווה ל 0.
זה קורה כי מונה השבר לא יכול להיות שווה ל 0.
או כי הנגזרת כוללת ביטויים חיוביים או שליליים תמיד.

2.יש פונקציות שורש ללא קיצון למרות שיש x שמאפס את הנגזרת.
זה קורה כי הנקודה שמאפסת את הנגזרת לא נמצאת בתחום ההגדרה.

3.יש פונקציות שורש עם קיצון.

1.תזכורת

לפני שנתחיל לגזור עלינו לזכור שלושה דברים:

1.שבר שווה 0 כאשר מונה השבר שווה ל 0.

השבר הזה שווה 0 כאשר x = -2.

2.שורש הוא ביטוי חיובי או שווה 0 בכל תחום הגדרתו.

לכן שלושת הביטויים הבאים (לדוגמה) חיובים בכל התחום שבו הם מוגדרים

3.נוסחאות גזירה של פונקציית שורש

נגזרת פונקציית שורש

ועבור פונקציה מורכבת.

נגזרת שורש מורכבת

2.סיכום וידאו

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

3.הסבר כתוב

בפונקציית שורש יש מספר סוגי פונקציות שאין להם קיצון וזאת בגלל:

  1. הנגזרת היא ביטוי שאף פעם לא מתאפס.
  2. או שהנגזרת מתאפסת אבל הפתרון נמצא מחוץ לתחום ההגדרה.

דוגמה ראשונה (הנגזרת שונה מ 0)

נגזור את הפונקציה:

f(x) = √x + 4

נקבל:

הנגזרת הזו אף פעם לא שווה ל 0 כי המונה של השבר הזה הוא מספר ואף פעם לא שווה ל 0.

וכך גם אם נכפיל את השורש במספר כך:

f(x) = 3√x + 4

או כך:

f(x) = √3x + 4

עדיין נקבל נגזרת מאותה צורה שאינה יכולה להיות שווה 0.

דוגמה שנייה (נגזרת שונה מ 0)

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה.

f(x) = 7√x + 2x

פתרון

נגזור את הפונקציה

הנגזרת הזו אף פעם לא שווה ל 0.

כי:

השבר חיובי בכל תחום ההגדרה.

2 חיובי תמיד.

ולכן הנגזרת חיובית תמיד ושונה מ 0 – ולכן אין קיצון.

דרך אחרת להראות שהמשוואה לא פתירה היא להשוות את המשוואה ל 0 ולראות שאין לה פתרון.

7 = -2 * 2√x
7 = -4√x
-1.75 = √x

תוצאת השורש אף פעם לא שלילית לכן למשוואה זו אין פתרון.

הנגזרת לא יכולה להיות שווה ל 0.
לכן לפונקציה זו אין נקודות קיצון.

אלו שינויים היינו יכולים לעשות בפונקציה f(x) = 7√x + 2x כדי שכן יהיו לה נקודות קיצון?

בפונקציה זו שני איברים עם אותו סימן, שנותנים בנגזרת שני איברים שווה סימן שסכומם לא יכולים להיות שווה ל 0.

אם היינו משנים את הסימן באחד האיברים בלבד אז היינו מקבלים נגזרות שיכולות להיות שוות ל 0.

אלו שתי הפונקציות שיש להן קיצון:

f(x) = 7√x + 2x
f(x) = 7√x 2x

דוגמה שלישית (פתרון מחוץ לתחום ההגדרה)

בחלק מה מקרים הנגזרת תהיה שווה ל 0, אבל הפתרון יהיה מחוץ לתחום ההגדרה.

דוגמה

מצאו את נקודות הקיצון של הפונקציה:
(f(x) = √(x² + 6x

פתרון

נמצא את תחום ההגדרה

x² + 6x ≥ 0
x(x + 6) ≥ 0

זו פרבולת מינימום עם חיתוך של ציר ה x ב
x = 0,  x = – 6.

הפרבולה חיובית או שווה ל 0 והפונקציה מוגדרת כאשר:
x ≥ 0  או   x ≤ -6

מציאת קיצון
נגזור את הפונקציה:

הנגזרת שווה ל 0 כאשר מונה הנגזרת שווה ל 0.
2x + 6 = 0
2x = -6
x = -3

נסתכל אם הפתרון שקיבלנו נמצא בתחום ההגדרה, x ≥ 0  או   x ≤ -6.

הפתרון לא בתחום ההגדרה, לכן לפונקציות אין קיצון.

ג.דוגמאות לפונקציית שורש שיש לה קיצון

נקודות החשודות כקיצון מתקבלות כאשר הנגזרת שווה ל 0.

נגזרת שווה ל 0 יכולה להתקבל כאשר נוסיף עוד x שלא נמצא תחת השורש.
למשל:

  • f(x) = 18√x – 3x
  • f(x) = -3√x + x²

הנגזרת של הפונקציה הראשונה היא:

וזה שבר היכול להיות שווה ל 0.

או כאשר תהיה פונקציה ריבועית בתוך השורש:

  • (f(x) = √(-x² – 8x – 12
  • f(x) = √(x² – 3x +10) + 6

הנגזרת של הפונקציה הראשונה היא:

זה שבר היכול להיות שווה ל 0.

או כאשר הפונקציה מורכבת ממכפלה

  • (f(x) = 2x*√(x+ 2

הנגזרת של הפונקציה הזו היא:

גם פונקציית מכפלה או מנה יכולה ליצור קיצון

f(x) = x * √(x + 3)

פתרון
הפונקציה מוגדרת כאשר
x ≥ -3

 

נשווה את הנגזרת ל 0 ונפתור:

2(x + 3) = -x
2x + 6 = – x
3x = – 6
x = -2

הנקודה החשודה כקיצון נמצאת בתחום ההגדרה.

4.דוגמה לפתרון מלא

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

26 מחשבות על “נקודות קיצון פנימיות פונקציית שורש”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. בוקר טוב! רציתי לשאול אם כשאני מציבה נקודת קיצון שמצאתי בפונקציית שורש והביטוי שתחת השורש יוצא לי תמיד שלילי, מה הבעיה פה ומה הפתרון של זה?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      אם הביטוי שבתוך השורש שלילי זה אומר שהפונקציה לא מוגדרת כלומר אין לפונקציה קיצון בנקודה זו.
      אם לפני כן חישבת היטב את תחום ההגדרה אז בדקי שאין לך טעות חישוב.

  2. היי
    בדוגמה הראשונה בפתרונות המלאים, התרגיל הזה: f(x) = 18√x – 3x
    למה בנגזרת במכנה רשמת 2 שורש איקס ולא 2 שורש x-3x ? אם בנוסחה רשום שבמכנה
    זה אמור להיות 2 ושורש f(x) ?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      כי ה 3x מחוץ לשורש.
      אם ה 3x היה בתוך השורש זה היה צריך להיות רשום כך:
      (f(x) = 18√(x – 3x

    1. לומדים מתמטיקה

      זה מתבשל…
      כרגע שמתי סרטון על נגזרת מכפלה ומנה שמסביר גם כיצד לפשט את הנגזרת על מנת למצוא נקודות קיצון.
      בדף נגזרת שורש סרטון על גזירה פשוטה יותר.

  3. שלום אתה יכול להסביר לי איך אני מוצא נקודת קיצון ל (f(X=שורשX-3
    כי אז זה יוצא שבר כשה-X בשורש ובמכנה ועם 1 במונה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לפונקציה הזו אין קיצון, כי הנגזרת אף פעם לא שווה ל 0.
      כי במונה יש מספר ועל מנת ששבר יהיה שווה ל 0 המונה צריך להיות להיות שווה ל 0.

        1. לומדים מתמטיקה

          על פי הנוסחה השנייה של נגזרת מורכבת אתה גוזר את מה שכולל שורש.
          הפונקציה שלך היא מורכבת בגלל המינוס שלפני ה x.
          מה שלא כולל שורש אתה גוזר כפי שלמדת בעבר: הנגזרת של מספר היא 0, הנגזרת של משתנה בחזקת 1 היא המקדם של המשתנה.

          בדף יש חלק שנקרא דוגמאות מהירות. אכתוב תרגיל דומה ואעלה אותו. מעריך שתוך חצי שעה הוא יהיה שם.
          הוא יהיה דוגמה מהירה מספר 4.

  4. אני צריכה עזרה בלמצוא נקודות קיצון בתרגיל
    f(x)=x-3√x -4
    המינוס ארבע לא בתוך השורש
    תודה רבה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      קודם כל מציאת תחום הגדרה.
      לאחר מיכן:
      את צריכה לגזור את כל אחד משלושת האיברים בנפרד.
      את x ו 4 למדת בעבר לגזור.
      ואת שלוש שורש איקס את גוזרת על פי הנוסחה המופיעה בדף זה.
      וגם הביטוי שלך מופיע בתחילה הדף כדוגמה
      https://www.m-math.co.il/mathematics-function/derivative/square-root-function-derivative/

      לאחר מיכן הכפילי במכנה, הוציאי גורם משותף ופתרי.

  5. בתרגיל הראשון לא הבנתי כל אם האיקס בנגזרת שווה לחמש או מינוס חמש זה יוצא במכנה 0 דבר שיוצר בחמ אשמח להסבר.
    ואם אפשר עוד הסבר על נקודות קצה כי בכלל בכלל לא הבנתי את זה
    תודה רבה לך

    1. לומדים מתמטיקה

      צהריים טובים
      רק כאשר מונה של ביטוי שווה 0 הערך של הביטוי שווה 0.
      2x + 1 = 0
      x = -0.5