אינטגרל לפונקציה רציונלית בעזרת הפיכתה לפונקציית פולינום

בדף הקודם למדנו כיצד לחשב אינטגרל של פונקציה רציונלית בעזרת נוסחה.

כאן נלמד דרך נוספת שהיא הכרחית ברמת 5 יחידות.

בדרך הפתרון שבדף זה נהפוך את הפונקציה הרציונלית לפונקציית פולינום ואז נבצע אינטגרל לפונקציית פולינום.

חלקי הדף הם:

1. הסבר וידאו.
2. הסבר כתוב.
3. דוגמאות מהירות.
4. תרגילים.

1.הסבר וידאו

שלבי הפתרון של התרגילים הם:

1. מצמצמים את השבר כך שה x יהיה רק במכנה.
2. כותבים בעזרת חוק חזקה את ה x במונה.
3. מחשבים אינטגרל.

2.הסבר כתוב

כאשר יש לנו חזקה על כל המכנה ניתן לכתוב אותה כחזקה שלילית במונה על פי חוק החזקה:

בעזרת חוקים אלו נוכל להפוך פונקציה רציונלית שכל המכנה שלה נמצא באותה חזקה לפולינום.

נזכיר כי נוסחת האינטגרל של פולינום היא:

1.כאשר זו פונקציה רציונלית פשוטה
בעזרת חוקי חזקות , נוכל להפוך את  הפונקציה הרציונלית לפונקציית פולינום:

ואז נמשיך כמו אינטגרל של פולינום.

למשל:

2.כאשר זו פונקציה רציונלית מורכבת
במקרה זה גם נקבל פונקציית פולינום מורכבת ועלינו לדעת לחשב אינטגרל לפונקציית פולינום מורכבת.
נושא זה שייך רק ל 5 יחידות.

מה היתרונות והחסרונות של השיטה

היתרון – השיטה מאפשרת לעשות אינטגרל למכנים שהחזקה שלהם שונה מ 2.

אבל עדיין המכנה חייב להיות כולו בחזקה על מנת שנוכל להפוך את הפונקציה לפולינום.

החיסרון – אם יש לנו חזקת 2 של פונקציה מורכבת בעזרת נוסחאות זה פתרון פשוט המתבצע על ידי הצבה בנוסחה.
בשיטה של הפיכה לפולינום זה דורש מיומנות.

מקרים בהם לא ניתן לחשב אינטגרל בשתי השיטות

לפונקציות הרציונליות הבאות לא ניתן לחשב אינטגרל בשתי הדרכים.
כי לא כל המכנה נמצא ביחד תחת אותה חזקה.

דוגמה שלישית
כמו כן כאשר ה x בחזקת 1 נשתמש באינטגרל של פונקציה לוגריתמית.
למשל במקרה הזה:

לא נשתמש באינטגרל של פונקציה רציונלית.

3.דוגמאות מהירות

בחלק זה שתי דוגמאות ללא הסברים מפורטים.

דוגמה 1

דוגמה 2

דוגמה 3

4.תרגילים

בחלק זה נפתור את שלושת התרגילים:

תרגילים 1-2 הם תרגילים פשוטים.
תרגיל 3 דורש פירוק של האינטגרל למספר גורמים.

אינטגרל לא מסוים

תרגיל 1

פתרון

1. נהפוך את האינטגרל לפולינום : 
   
2. נפתור את האינטגרל לפי אינטגרל של פולינום:
   
3. 
   (אם צריך) נוכל לפי חוקי חזקות , נחזיר את x למכנה.
   תשובה:
   
   

תרגיל 2

פתרון

1. נהפוך את האינטגרל לפולינום:
   
2. נפתור את האינטגרל לפי אינטגרל של פולינום:
   
   
   אם צריך לפי חוקי חזקות נחזיר את x למכנה.
   תשובה:
   

תרגיל 3

פתרון

נפרק את הביטוי במונה לשני ביטויים שונים.

נעלה את הפולינום למונה ונחשב אינטגרל.

עוד באתר:

• אינטגרלים.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.