בדף זה נלמד לחשב אינטגרל של פונקציית לן.
החלקים של דף זה הם:
- הסבר ודוגמאות בוידאו.
- נוסחאות האינטגרל לן.
- שתי שאלות וטיפ.
א.למה משמש סימן הערך המוחלט?
ב.מתי משתמשים באינטגרל ln ומתי באינטגרל של פונקציה רציונלית?
ג.טיפ לפתרון תרגילים (ברמת 5 יחידות). - דוגמאות מהירות ותרגילים.
- תרגילים עם הסברים מלאים.
- חישובי שטחים (כולל פרמטרים).
1.הסבר ודוגמאות בוידאו
מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.
2.נוסחאות האינטגרל
לאינטגרל של ln יש 3 נוסחאות.
נוסחה לפונקציה פשוטה ושתי נוסחאות לפונקציה מורכבת.
נוסחה 1
האינטגרל של 
הוא lnx :
דוגמה:
נוסחה 2
עבור אינטגרל לפונקציה מורכבת שהפונקציה הפנימית שלה הוא קו ישר נשתמש בנוסחה:
דוגמה
נוסחה 3 (דרושה רק ברמת 5 יחידות)
עבור פונקציה מורכבת שאנו מזהים את הנגזרת הפנימית שלה באינטגרל:
דוגמה:
3.שתי שאלות וטיפ
בחלק זה נדבר על השברים הבאים.
- למה משמש סימן הערך המוחלט?
- מתי משתמשים באינטגרל ln ומתי באינטגרל של פונקציה רציונלית?
- טיפ לתלמידי לתלמידי 5 יחידות: כאשר אתם נתקלים באינטגרל שבו יש משתנה גם במכנה וגם במונה נסו לפצל אותו למספר ביטויים.
מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.
4.דוגמאות מהירות לאינטגרלים
בחלק זה נפתור מספר תרגילים ללא, הסברים לדרך הפתרון.
לפעמים כך לומדים יותר טוב.
בכול התרגילים נניח כי המכנה חיובי.
התרגילים שנפתור בחלק זה הם:
תרגילים 1-5 נפתרים על ידי הנוסחה:
פתרונות
תרגיל 1
תרגיל 2
תרגיל 3
תרגיל 4
בשלב הראשון פירקנו את האינטגרל לשניים.
בשלב הבא נחשב כל אינטגרל בנפרד.
תרגיל 5
ביצענו פירוק לגורמים על מנת להפוך את האינטגרל לפשוט יותר.
*הערה: בתרגיל זה עלינו להשתמש בערך מוחלט כי אנו יודעים שהמכנה הראשוני חיובי. אבל אנו לא יודעים שהמכנה הסופי חיובי.
תרגילים 6 -7 כוללים שימוש בנוסחה:
תרגיל 6
ידוע כי
5x – 1> 0
חשבו את:
תרגיל 7
ידוע כי
-7x + 1> 0
חשבו את
5.תרגילים
בחלק זה 17 תרגילים המחולקים ל 4 נושאים שונים.
לאחר 17 התרגילים הללו יש עוד תרגילים…. והם בנושא חישוב שטחים.
תרגילים עם פונקציה פשוטה
תרגילים עם פונקציה מורכבת שהיא ישר
תרגילים בהם הביטוי בתוך ה ln שלילי
פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה
פתרונות
בתרגילים 1-5 נשתמש בנוסחה
כמו כן נניח כי המכנה תמיד חיובי
לכן אין צורך לשים ערך מוחלט בפתרון.
תרגיל 1
נוציא את המספר 2 מחוץ לאינטגרל ואז נחשב את האינטגרל.
הפתרון הוא:
תרגיל 2
ראשית נזכור כי ניתן לפרק את האינטגרל לשני ביטויים.
(לפי חוקי חזקות מתקיים כי : x-2 = 1/x2 ).
נחשב כל אחד משני האינטגרלים בנפרד:
תרגיל 3
תרגיל 4
תרגיל 5
נחשב את האינטגרל של שתי הפונקציות בנפרד.
תרגילים קשים יותר
בתרגילים 6-8 נצטרך לבצע פעולה כלשהי על הפונקציה לפני ביצוע האינטגרל.
תרגיל 6
זהו ביטוי מורכב. על מנת לפשט אותו נחלק אותו ל-2 אינטגרלים נפרדים:
נצמצם את x/x² ונחשב את האינטגרל:
תרגיל 7
זהו ביטוי מורכב. על מנת לפשט אותו נחלק אותו ל-2 אינטגרלים נפרדים:
נצמצם את x/x√
נכתוב את השורש כחזקה (לא חובה) ונפתור את האינטגרל.
תרגיל 8
נפרק את המכנה לגורמים:
נצמצם מונה ומכנה ונחשב את האינטגרל.
(הערה: בתרגיל זה כן היינו צריכים לשים ערך מוחלט , כי ההנחה שהמכנה המקורי חיובי אינה בהכרח מעידה על כך שהביטוי x – 2 גם חיובי.)
תרגילים בהם במכנה יש
פונקציה שהיא קו ישר
בחלק זה נפתור תרגילים בהם צריך לחשב אינטגרל של פונקציה מורכבת, כאשר הפונקציה הפנימית היא קו ישר.
נשתמש בנוסחה:
ונניח כי המכנה בתרגילים הללו חיובי, לכן אין צורך להשתמש בערך המוחלט שבנוסחה.
תרגיל 9
בתרגיל זה יש לנו פונקציית ישר במכנה.
תרגיל 10
יש לנו במכנה פונקציית ישר.
תרגיל 11
יש לנו במכנה פונקציית ישר.
תרגילים בהם המכנה שלילי
מנויים לאתר רואים כאן סרטון / הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.
6.חישובי שטחים
בחלק זה 3 תרגילים.
תרגיל 1
חשבו את השטח הכלוא בין הפונקציה f(x) = 4/x , לבין הישרים :
x = 1 ו – x = 4.
השטח המבוקש נתון ע”י האינטגרל: א. חישוב האינטגרל: ב. חישוב השטח: תשובה: השטח המבוקש הוא 5.545 תרגיל 2 1. נקודות חיתוך בין הפונקציות: 2.חישוב השטח: א. חישוב האינטגרל: ב. חישוב השטח: תשובה: השטח המבוקש הוא 0.1137 תרגיל 3 הניחו כי c > 0. א. הביעו באמצעות c את השטח הכלוא מתחת לפונקציה ובין הישרים x = 0, x = 3. א. השטח הכלוא נתון ע”י האינטגרל: 1. חישוב האינטגרל: 2. חישוב השטח (כתלות ב- c) : ב.מציאת c: תשובה לסעיף ב’: c = 4 עוד באתר:
חשבו את השטח הכלוא בין הפונקציה f(x) = 2/x, לבין הישר y = -x+3
נמצא את נקודות החיתוך בין הפונקציות על מנת למצוא את גבולות האינטגרל.
נעשה זאת ע”י השוואה בין הפונקציות.
x + 3 = 2/x-
נכפול ב -x את שני אגפי המשוואה:
x2 + 3x = 2-
x2 – 3x + 2 = 0
פירוק לגורמים:
x – 1) * (x – 2) = 0)
x1 = 1 , x2 = 2
השטח הכלוא הוא חיסור בין שטח הישר לבין שטח הפונקציה.
לכן השטח הכלוא נתון ע”י האינטגרל:
(אין צורך להוסיף קבוע, מכיוון שמדובר באינטגרל מסוים).
תרגיל שטח עם פרמטר
ב. נתון כי השטח הנ”ל שווה ל – (ln(7. מצאו את c.
נתון לנו כי השטח הכלוא הוא (ln(7.
לכן על מנת למצוא את ערכו של הפרמטר c ,
נשווה בין השטח שמצאנו בסעיף הקודם, לבין השטח הנתון:
(ln(3c + 2) – ln(2) = ln(7
נשתמש בחוקי לוגריתמים:
(ln(x) – ln(y) = ln(x/y
נקבל:
(ln(3c+2 / 2) = ln(7
3c+2 / 2 = 7
3c + 2 = 14
3c = 12
c = 4
ערב טוב!
קראתי את ההסבר של ערך מוחלט בפונקציית ln ובכל זאת לא הצלחתי להבין איך אני יודעת מתי שמים אותה והאם זה נעשה על כל הביטוי או רק על המספר שאני מציבה? (במידה ומדובר בחישוב שטח עם ערכים שליליים)
תודה והמשך יום טוב
שלום
מוסיפים את הערך המוחלט על מנת להבטיח שהביטוי שבתוך הלן חיובי, מוסיפים אותו על כל הביטוי שנמצא בתוך הלן.
ברוב השאלות יגידו לנו אם הביטוי במכנה הוא חיובי או שלילי (לרוב חיובי) ואז לא יהיה צורך בהוספת ערך מוחלט.
תודה רבה!
שלום,
בנוסחה של האינטגרל ל: אחת חלקי ax+b, סי נמצא מחוץ לשבר של (ln(ax+b חלקי a.
אבל בתרגילים שעשית הוספת את סי לקו השבר במונה, מה שגורם גם לו להתחלק במקדם של x. למה?
(לדוגמא, תרגיל 6 ב”דוגמאות מהירות לאינטגרלים”).
תודה
שלום מוריה
ה c צריך להיות מחוץ לקו שבר.
(למרות שהכתיבה הנוכחית היא לא טעות, אבל לא נהוג לכתוב כך. משום שמספר כלשהו וגם מספר כלשהו חלקי 4 יכולים להיות כל מספר).
תודה רבה על התיקון.
תודה רבה!
אם יש לי פונקציה עם ln שאני צרחכה לעשות לה אינטגרל, איך עושים את זה? לדוגמא 2+(ln(-x חלקי איקס
אם זה לא מובן אז לאן של מינוס איקס פלוס 2 חלקי איקס
שלום
יתכן שזו פונקציה כפול הנגזרת שלה כאשר ln x היא הפונקציה ו1 חלקי x היא הנגזרת.
https://www.m-math.co.il/mathematics-function/integrals/integral-by-derivative/
זה לפי פונקציה ונגזרתה.. מפצלים ל-2 איברים, ואז באיבר הראשון יש בעצם ln עם מינוס איקס כפול אחד חלקי איקס, שזה פונקציה ונגרתה
איך אני יכולה לשאול אותך שאלות בצ’אט?
כאילו אין פה צ’אט
הצאט פעיל בימים א-ה בשעות 8-19.