אינטגרל של פונקציה מורכבת

יש שני סוגים לאינטגרל של פונקציה מורכבת:

1. הפונקציה הפנימית היא קו ישר.
2. הפונקציה הפנימית היא לא קו ישר.

בדף זה נלמד לפתור אינטגרלים בהם הפונקציה הפנימית היא קו ישר.

דפים קשורים:

• מציאת אינטגרל לפונקציה מורכבת על ידי זיהוי הנגזרת הפנימית – השלב הבא לאחר שאתם מסיימים כאן. משתמשים בזה כאשר הפונקציה הפנימית היא לא קו ישר.
• אינטגרלים – מכל הסוגים.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות – נושאים נוספים.

שתי דרכים לחישוב אינטגרל

יש שתי דרכים לחישוב אינטגרל של פונקציה מורכבת שהפונקציה הפנימית שלה היא משוואת ישר.

1. דרך אינטואיטיבית מעשית וקלה.
2. על פי נוסחה. בדרך זו צריך להקפיד שהולכים על פי הנוסחה כי יש תרגילים מבלבלים (לדוגמה תרגיל 3 בחלק של התרגילים).

1.דרך אינטואיטיבית ומעשית

בדרך זו נבצע אינטגרל "מבלי להתייחס לכך שזו פונקציה מורכבת".
ולאחר מיכן נחלק בנגזרת הפנימית (המקדם של x).

למשל, חשבו את האינטגרל:

ללא התייחסות לפונקציה הפנימית האינטגרל הוא:

נחלק בנגזרת הפנימית (המקדם של x) ונקבל את התשובה הסופית.

ניתן דוגמאות נוספות על פי הפונקציות השונות.

דוגמה 1 (פולינום)

דוגמה 2 (רציונלית מורכבת)
כאשר יש לנו חזקה במונה נהפוך אותה לחזקה במכנה.

ועכשיו נעשה אינטגרל תוך התעלמות מהפונקציה הפנימית ולאחר מיכן נחלק במקדם של x שהוא 8 ונקבל את התשובה.

דוגמה 3 (שורש מורכבת)

דוגמה 4 (טריגונומטרית מורכבת)

2.חישוב אינטגרל דרך נוסחה

אם (f  (x) = F ' (x
כלומר אם (F (x היא הפונקציה הקדומה של (f(x.
או בניסוח אחר (f(x היא הנגזרת של (F (x

אז ניתן להשתמש בכלל האינטגרציה הבא:

כלומר, על מנת לחשב אינטגרל נעשה אינטגרל לפונקציה החיצונית ונחלק בנגזרת של הפונקציה הפנימית.

הפעולות שנבצע כאן הן בדיוק אותן פעולות שביצענו בדרך האינטואיטיבית, אלא שבדרך האינטואיטיבית נצמדנו להיגיון ולידע שלנו ואילו כאן אנו נצמדים לנוסחה.

למשל:
cos (4x -2) dx∫

פתרון
נזכור כי
cos x dx= sin x∫

במקרה שלנו m =4 ולכן הפתרון הוא:
cos (4x -2) dx = sin (4x -2) / 4∫

3 הערות:

1.נוסחה זו מופיעה בדף הנוסחאות בבגרות.
2.שימו לב שאנו עושים כאן (ולא במקרה) בדיוק את הפעולה ההפוכה למה שעשינו בנגזרת של פונקציה מורכבת.
בנגזרת של פונקציה מורכבת אנו מכפילים בנגזרת הפנימית ואילו כאן אנו מחלקים בנגזרת הפנימית.
זה הכלל של גזרת מורכבת (כלל השרשרת):
(f (g(x) ]' = f ' (g(x) * g ' (x]3. אני באופן אישי פותר שאלות מהסוג הזה בעזרת ההיגיון ולא בעזרת הכלל. ואלמד אותכם כיצד עושים זאת.
במקרים מסוימים ההיגיון פשוט יותר מהכלל.

תרגילים

פתרונות

תרגיל 1

פתרון
נזכור כי הנוסחה של אינטגרל שורש רגיל היא:

לכן על מנת לחשב את האינטגרל שלנו נעשה בדיוק את אותו דבר, רק שגם נחלק ב m = 3.

הערה
לפונקציית שורש יש נוסחה עבור אינטגרל מורכב דרכה אנו יכולים לבצע באופן ישיר את האינטגרל (אבל הנוסחה הזו לא מופיעה בדף הנוסחאות).

תרגיל 2
(sin (2x + 5∫

פתרון
נזכור כי:
sin x =  – cosx + c∫
לכן נעשה בדיוק אותו דבר, רק נחלק ב m = 2.

תרגיל 3
7x – 1)³ dx)∫

פתרון
חלק ממכם בוודאי יפתרו את התרגיל בצורה הבאה:

אבל זה לא נכון.
זה לא נכון הנגזרת של 7x – 1) ⁴)
היא לא7x – 1)³).
אלה היא:

לכן כפעולה המקדימה לאינטגרל עלינו להוציא את המספר 4 מחוץ לסוגריים בצורה הזו:

וחישוב האינטגרל המלא יראה כך:

תרגיל 4

פתרון
כאשר יש לנו קבוע שמפריע לנו לבצע את האינטגרל על פי הנוסחה נוציא את הקבוע מחוץ לאינטגרל בצורה הזו.

ואז נחשב את האינטגרל על פי הנוסחה:

כיצד ניתן לחשב את האינטגרלים האלו ללא נוסחה

אני מחשב אינטגרלים מהסוג הזה בעזרת ההיגיון ולא בעזרת הנוסחה.
הבנת ההיגיון, בניגוד לשימוש בנוסחה על ידי הצבה ללא הבנת ההיגיון תוכל לעזור לכם לדעת שאתם לא טועים בהצבה בנוסחה וגם תעזור לכם לפתור אינטגרלים של פונקציות מורכבות בהם הפונקציה הפנימית אינה קו ישר.

אני אפתור כאן את אותם תרגילים המופיעים למעלה בעזרת ההיגיון:

תרגיל 1

פתרון
נכתוב את התרגיל בצורה של חזקה.

דבר ראשון שנחשוב עליו הוא החזקה.
איזו חזקה אנו נגזור ונגיע אל חזקת 0.5- ?
חזקת 0.5
לכן נרשום את הבסיס לתשובה שלנו:

3x -1)^0.5)

ועכשיו מה מפריע לנו בביטוי הזה כאשר נגזור אותו?
מפריע לנו שכאשר נגזור אותו יהיה לנו 0.5 * 3 במונה.
בגלל החזקה ובגלל המקדם של x.
הנגזרת של הביטוי כמו שהוא היא:

לכן עלינו לחלק את הביטוי ב 0.5 * 3.
וזו תהיה התשובה:

תרגיל 2

(sin (2x + 5∫

פתרון
אנחנו חייבים שיהיה לנו בפתרון
(cos(2x + 5

וכאשר נגזור את זה מה נקבל?

לכן עלינו לחלק ב 2- על מנת לקבל את התשובה הנכונה.

תרגיל 3
7x – 1)³ dx)∫

פתרון
אנו חושבים קודם כל על החזקה. לכן ברור שאנו צריכים את הביטוי בתוך הסוגריים בחזקת 4.

7x – 1) ⁴)

מה נקבל שנגזור את הביטוי הזה?

כלומר יש לנו 7*4 מיותרים.
לכן נחלק ב 4*7 והתשובה היא:

* דרך הפתרון של תרגיל 4 דומה מאוד לדרך של תרגיל 1.