אינטגרל של פונקציה מורכבת

אינטגרל של פונקציה מורכבת נלמד ברמת 5 יחידות.
יש שני סוגים לאינטגרל של פונקציה מורכבת:

הפונקציה הפנימית היא קו ישר.
הפונקציה הפנימית היא לא קו ישר.

בדף זה נלמד לפתור אינטגרלים בהם הפונקציה הפנימית היא קו ישר.

דפים קשורים:

מציאת אינטגרל לפונקציה מורכבת על ידי זיהוי הנגזרת הפנימית – השלב הבא לאחר שאתם מסיימים כאן. משתמשים בזה כאשר הפונקציה הפנימית היא לא קו ישר.
אינטגרלים – מכל הסוגים.
בגרות במתמטיקה 5 יחידות – נושאים נוספים.

סרטוני הסבר

כאן יש תוכן למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לברר על התכנים והמחירים של מנוי.

שתי דרכים לחישוב אינטגרל

יש שתי דרכים לחישוב אינטגרל של פונקציה מורכבת שהפונקציה הפנימית שלה היא משוואת ישר.

דרך אינטואיטיבית מעשית וקלה.
על פי נוסחה. בדרך זו צריך להקפיד שהולכים על פי הנוסחה כי יש תרגילים מבלבלים (לדוגמה תרגיל 3 בחלק של התרגילים).

1.דרך אינטואיטיבית ומעשית

בדרך זו נבצע אינטגרל “מבלי להתייחס לכך שזו פונקציה מורכבת”.
ולאחר מיכן נחלק בנגזרת הפנימית (המקדם של x).

למשל, חשבו את האינטגרל:

ללא התייחסות לפונקציה הפנימית האינטגרל הוא:

נחלק בנגזרת הפנימית (המקדם של x) ונקבל את התשובה הסופית.

ניתן דוגמאות נוספות על פי הפונקציות השונות.

דוגמה 1 (פולינום)

דוגמה 2 (רציונלית מורכבת)
כאשר יש לנו חזקה במונה נהפוך אותה לחזקה במכנה.

ועכשיו נעשה אינטגרל תוך התעלמות מהפונקציה הפנימית ולאחר מיכן נחלק במקדם של x שהוא 8 ונקבל את התשובה.

$התשובה הסופית מימין$

התשובה הסופית מימין

דוגמה 3 (שורש מורכבת)

$באמצע שלב ביניים, מימין תשובה סופית$

באמצע שלב ביניים, מימין תשובה סופית

דוגמה 4 (טריגונומטרית מורכבת)

$הפתרון מימין$

הפתרון מימין

2.חישוב אינטגרל דרך נוסחה

אם (f (x) = F ‘ (x
כלומר אם (F (x היא הפונקציה הקדומה של (f(x.
או בניסוח אחר (f(x היא הנגזרת של (F (x

אז ניתן להשתמש בכלל האינטגרציה הבא:

$אינטגרל של פונקציה מורכבת$

כלומר, על מנת לחשב אינטגרל נעשה אינטגרל לפונקציה החיצונית ונחלק בנגזרת של הפונקציה הפנימית.

הפעולות שנבצע כאן הן בדיוק אותן פעולות שביצענו בדרך האינטואיטיבית, אלא שבדרך האינטואיטיבית נצמדנו להיגיון ולידע שלנו ואילו כאן אנו נצמדים לנוסחה.

למשל:
cos (4x -2) dx∫

פתרון
נזכור כי
cos x dx= sin x∫

במקרה שלנו m =4 ולכן הפתרון הוא:
cos (4x -2) dx = sin (4x -2) / 4∫

3 הערות:

1.נוסחה זו מופיעה בדף הנוסחאות בבגרות.
2.שימו לב שאנו עושים כאן (ולא במקרה) בדיוק את הפעולה ההפוכה למה שעשינו בנגזרת של פונקציה מורכבת.
בנגזרת של פונקציה מורכבת אנו מכפילים בנגזרת הפנימית ואילו כאן אנו מחלקים בנגזרת הפנימית.
זה הכלל של גזרת מורכבת (כלל השרשרת):
(f (g(x) ]’ = f ‘ (g(x) * g ‘ (x]3. אני באופן אישי פותר שאלות מהסוג הזה בעזרת ההיגיון ולא בעזרת הכלל. ואלמד אותכם כיצד עושים זאת.
במקרים מסוימים ההיגיון פשוט יותר מהכלל.

תרגילים