אינטגרל מסוים

בחלק הקודם שלנו היה ללמוד כיצד לבצע אינטגרל של פולינום.
בדף זה נלמד כיצד לחשב אינטגרל מסוים. אינטגרל הנמצא בטווח מסוים.
בחלק הבא נלמד כיצד לחשב שטחים בעזרת אינטגרל.

כיצד לחשב אינטגרל מסוים

אינטגרל מסוים מחשבים בשני שלבים:

מחשבים אינטגרל רגיל כפי שלמדנו קודם לכן (אבל לא רושמים את ה c).
מציבים את הערכים שנמצאים מעל ומחת לאינטגרל. הערך העליון (הגדול יותר) מוצב עם סימן חיובי לפניו. הערך התחתון (הקטן יותר) מוצב אם סימן שלילי לפניו.

הנוסחה לחישוב אינטגרל מסוים היא:

כאשר:
(f (x) dx = F(x∫

זה יהיה ברור יותר לאחר הדוגמאות.

דוגמה 1

בגרף הפונקציה f(x) = x.
כאשר נחשב את האינטגרל הזה נקבל את השטח הבא:

פתרון
שלב א: חישוב האינטגרל

שלב ב: הצבה
נציב את 3 עם סימן חיובי ואת המספר 1 אם סימן שלילי לפניו.
לאחר מיכן נחשב

4 = 0.5 – 4.5 = 1²*0.5 – 3² * 0.5
תשובה: השטח הוא 4 יחידות ריבועיות

דוגמה 2 (הצבה עם מינוס)

פתרון
שלב א: חישוב האינטגרל

שלב ב: הצבה
נציב את 1 עם סימן חיובי ואת המספר 2- אם סימן שלילי לפניו.
לאחר מיכן נחשב

9 = 8 + 1 = ³(2-) – 1³
תשובה: השטח הוא 9 יחידות ריבועיות.

אתם מורים פרטיים?
אני מציע פרסום תמורת עבודת שדרוג קטנה באתר וללא תשלום.
פרטים כאן

דוגמה 3 אינטגרל לשני ביטויים

פתרון
שלב א: חישוב האינטגרל

שלב ב: הצבה
נשים לב שכאן אנו צריכים להציב כל פעם בשני איברים.
לכן נשים סוגריים סביב כל האיברים שאנו רוצים שבהם אנו מציבים 2.
כדי שהמינוס יהיה על כולם.

= (2 * 7 + 2⁴ * 0.25 ) – ( 5 * 7 + 5⁴ * 0.25)
= (14 – 4) – (35 + 156.25)
201.25 = (10-) – (191.25)
תשובה: השטח הוא 201.25 יחידות ריבועיות.

דוגמה 4: (אינטגרל שתוצאתו יוצאת שלילית)

פתרון
שלב א: חישוב האינטגרל

שלב ב: הצבה
נשים לב שכאן אנו צריכים להציב כל פעם בשני איברים.
לכן נשים סוגריים סביב כל האיברים שאנו רוצים שבהם אנו מציבים 5-.
כדי שהמינוס יהיה על כולם.

= (5- * 4 – ²(5-) * 2 ) – ( (1-) * 4 – ²(1-) * 2)
= (20 + 50) – (4 + 2)
64- = 70 – 6

קיבלנו שהשטח שלילי.
המשמעות של זה הוא שהשטח נמצא מתחת לציר ה x.
השטח הוא תמיד גודל חיובי, לכן השטח הוא 64 יחידות ריבועיות.

תרגילים

פתרונות

תרגיל 1

פתרון

1.נמצא את האינטגרל של הפונקציה:
2x = x²∫

2.נבצע את החישוב:

תרגיל 2

פתרון

1.נמצא את האינטגרל:

2. נבצע את החישוב:

תרגיל 3

פתרון

1. נמצא את האינטגרל:

2. נבצע את החישוב:

תרגיל 4

פתרון

חיבור המספר '2' אינו קשור לאינטגרל.
לכן "נגרור" את החיבור הנ"ל לאורך התרגיל, אבל נבצע את החיבור לאחר פתרון האינטגרל,
ולאחר החיבור נקבל את התוצאה הדרושה.

1. נמצא את האינטגרל: