אינטגרל מסוים

בחלק הקודם שלנו היה ללמוד כיצד לבצע אינטגרל של פולינום.
בדף זה נלמד כיצד לחשב אינטגרל מסוים. אינטגרל הנמצא בטווח מסוים.
בחלק הבא נלמד כיצד לחשב שטחים בעזרת אינטגרל.

1.תקציר

1.כיצד מחשבים אינטגרל מסוים?

עד עכשיו חישבנו אינטגרל לפונקציה.
למשל:
∫ x dx = 0.5x² + c

עכשיו נלמד לחשב אינטגרל בין שני ערכי x, אינטגרל הנקרא אינטגרל מסוים.

עושים זאת בשני שלבים:

שלב הראשון
מחשבים אינטגרל כפי שחישבנו קודם לכן (אך לא רושמים את ה c).

שלב השני

1. מציבים את המספר הנמצא למעלה (3) בפונקציה שקיבלנו.
2. רושמים את הסימן מינוס.
3. ובנוסף מציבים את המספר הנמצא למטה (1) בפונקציה שקיבלנו.

2.דגשים לחישוב אינטגרל מסוים

1.זכרו לשים מינוס בין ההצבות.

2.כאשר מבצעים הצבה במספר איברים יש לשים סוגריים לפני סימן המינוס על מנת שהמינוס יהיה על כל ההצבה השנייה.

דוגמה:

ועכשיו כאשר נציב עלינו לשים סוגריים סביב ההצבה השנייה, על מנת שהמינוס יהיה על כולה.

1³ – 4*1 – [ (-2)³ – 4 * (-2) ] =
1 – 4 – [ -8 + 8] =
-3 – 0 = -3

3.הקשר בין אינטגרל מסוים לשטח

הישר האדום הוא הישר y = x.
כאשר אנו נחשב את האינטגרל המסוים של:
y = x
בין x = 1 ל  x = 3.
אנו נחשב את השטח הנמצא בין y = x לציר ה x בתחום 1-3.
זה השטח המקווקו בשרטוט למעלה.

4.הנוסחה הכללית לחישוב אינטגרל מסוים

כל מה שאמרנו עד עכשיו לגבי דרך חישוב האינטגרל מסוכם בנוסחה הבאה.

כאשר:
(f (x) dx = F(x∫

4.דוגמאות נוספות

דוגמה 2 (הצבה עם מינוס)

פתרון
שלב א: חישוב האינטגרל

שלב ב: הצבה
נציב את 1 עם סימן חיובי ואת המספר 2- אם סימן שלילי לפניו.
לאחר מיכן נחשב

9 = 8 + 1 = ³(2-) – 1³
תשובה: השטח הוא 9 יחידות ריבועיות.

דוגמה 3 אינטגרל לשני ביטויים

פתרון
שלב א: חישוב האינטגרל

שלב ב: הצבה
נשים לב שכאן אנו צריכים להציב כל פעם בשני איברים.
לכן נשים סוגריים סביב כל האיברים שאנו רוצים שבהם אנו מציבים 2.
כדי שהמינוס יהיה על כולם.

= (2 * 7 + 2⁴ * 0.25 ) – ( 5 * 7 + 5⁴ * 0.25)
= (14 + 4) – (35 + 156.25)
173.25 = (18) – (191.25)
תשובה: השטח הוא 173.25 יחידות ריבועיות.

דוגמה 4: (אינטגרל שתוצאתו יוצאת שלילית)

פתרון
שלב א: חישוב האינטגרל

שלב ב: הצבה
נשים לב שכאן אנו צריכים להציב כל פעם בשני איברים.
לכן נשים סוגריים סביב כל האיברים שאנו רוצים שבהם אנו מציבים 5-.
כדי שהמינוס יהיה על כולם.

= (5- * 4 – ²(5-) * 2 ) – ( (1-) * 4 –  ²(1-) * 2)
= (20 +  50) – (4 + 2)
64- = 70 – 6

קיבלנו שהשטח שלילי.
המשמעות של זה הוא שהשטח נמצא מתחת לציר ה x.
השטח הוא תמיד גודל חיובי, לכן השטח הוא 64 יחידות ריבועיות.

תרגילים

פתרונות

תרגיל 1

פתרון

1.נמצא את האינטגרל של הפונקציה:
2x = x²∫

2.נבצע את החישוב:

תרגיל 2

פתרון

1.נמצא את האינטגרל:


2. נבצע את החישוב:

תרגיל 3

פתרון

1. נמצא את האינטגרל:


2. נבצע את החישוב:

תרגיל 4


פתרון

חיבור המספר '2' אינו קשור לאינטגרל.
לכן "נגרור" את החיבור הנ"ל לאורך התרגיל, אבל נבצע את החיבור לאחר פתרון האינטגרל,
ולאחר החיבור נקבל את התוצאה הדרושה.

1. נמצא את האינטגרל:

2. נבצע את החישוב:
(חשוב לזכור "לגרור" את החיבור של המספר '2' מחוץ לאינטגרל)

עוד באתר:

• אינטגרל פולינום חישוב שטחים – הנושא הבא שאתם צריכים ללמוד, קשור באופן ישיר למה שלמדתם כאן.
• אינטגרלים – מדריך לנושא אינטגרל מסוגים שונים.
• בגרות במתמטיקה 3 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.