לומדים מתמטיקה

או שמבינים או ששואלים

אינטגרלים נוסחאות

בדף זה תמצאו את נוסחאות האינטגרל עבור הפונקציות השונות.
נוסחאות לפונקציות פשוטות ולפונקציות מורכבות.
כל נוסחה כוללת גם דוגמה.
ליד כל פונקציה יש קישור עם הרחבה הכוללת הסברים ותרגילים נוספים.

הדף אינטגרלים הוא הדף המרכזי בנושא.

אינטגרל למספר
אינטגרל למספר הוא מספר כפול x.
k dx = kx + c∫

למשל:
2dx = 2x +c∫
3dx = -3x + c-∫

אינטגרל לישר
kx dx = 0.5kx² + c∫

למשל:
7x dx = 0.5*7x² + c∫
10x dx = 0.5*10x² + c∫

אינטגרל לקבוע כפול פונקציה
k *f(x) dx = k * ∫ f(x) dx∫

למשל:
 8x dx = 8 * ∫ x dx = 8 * 0.5x² + c∫

נוסחת אינטגרל פולינום

אינטגרל של פולינום

למשל:
x4 dx ∫

פתרון

נוסחאות אינטגרל לפונקציה רציונלית

כאשר זו פונקציה רציונלית פשוטה נשתמש בנוסחה:

למשל:

כאשר יש לנו פונקציה מורכבת בחזקת 2 במכנה נשתמש בנוסחה:

למשל:

נוסחאות אינטגרל לפונקציה שורש

נוסחה זו הנוסחה לאינטגרל של פונקציית שורש היא:

אינטגרל לפונקציית שורש

כאשר יש לנו קבוע כפול האינטגרל נוציא את הקבוע מחוץ לאינטגרל על ידי שימוש בכלל:

קבוע כפול אינטגרל

למשל:

נוסחה שנייה לחישוב אינטגרל שורש
בנוסחה זו נשתמש כאשר ה x בתוך השורש הוא כפול מספר.

למשל:

אינטגרל לפונקציה מורכבת

לפונקציה מורכבת יש שתי נוסחאות אינטגרציה.
נוסחה אחת למצב שבו הנגזרת הפנימית היא ישר.
נוסחה שנייה עבור מצב שבו הנגזרת הפנימית אינה ישר.

נגזרת מורכבת שהפונקציה הפנימית היא משוואת ישר

אם (f  (x) = F ' (x
כלומר אם (F (x היא הפונקציה הקדומה של (f(x.
או בניסוח אחר (f(x היא הנגזרת של (F (x

אז ניתן להשתמש בכלל האינטגרציה הבא:

אינטגרל של פונקציה מורכבת

למשל:
cos (4x -2) dx∫

פתרון
נזכור כי
cos x dx= sin x∫

במקרה שלנו m =4 ולכן הפתרון הוא:
cos (4x -2) dx = sin (4x -2) / 4∫

נגזרת מורכבת כאשר הנגזרת הפנימית אינה קו ישר

לא כל אינטגרל של פונקציה מורכבת נלמד לחשב בצורה הזו.
אלא רק אינטגרלים בהם יש לנו מכפלה של פונקציה בנגזרת שלה.

הכלל בו נשתמש הוא:
אם אם (F (x היא הפונקציה הקדומה של (f(x אז:

[(f [u(x) ] * u ' (x) = F [u (x

דוגמה 1 (פולינום)

פתרון
נשים לב ש 10x4 הוא הנגזרת הפנימית של הפונקציה הפנימית:
2x5 – 6
לכן זה מתאים לנו לנוסחה וחישוב האינטגרל יעשה כך:

תרגיל 2 (הוצאת קבוע)

פתרון
הנגזרת של הפונקציה הפנימית היא 3x²- ובחוץ יש לנו 7x².
מה עושים?
כאשר ההבדל בין מה שיש למה שאנו רוצים שיהיה הוא רק מספר ניתן להוציא קבוע אל מחוץ לאינטגרל על מנת להתאים את הפונקציה.

עכשיו בחוץ יש לנו את הנגזרת של הפונקציה הפנימית וניתן לחשב את האינטגרל.

נוסחאות אינטגרל של פונקציות טריגונומטריות

1. אינטגרל של cosx:
cos x dx = sin x + c∫

2. אינטגרל של sinx:
sin x dx = -cox x + c∫

3.אינטגרלים של פונקציות מורכבות:
כאשר יש לנו פונקציה של ישר בתוך האינטגרל ניתן להשתמש בנוסחאות.
אינטגרל טריגונומטרית מורכבת
כאשר יש לנו פונקציה של x בתוך sin:


4. אינטגרל נוסף:
אינטגרל טריגונומטרית מורכבת

נוסחאות אינטגרל פונקציה מעריכית

עבור פונקציה פשוטה:
ex dx = ex + c∫

עבור פונקציה מורכבת:

 

נוסחאות לאינטגרל מערכי שבסיסו שונה מ e.

למשל:

עבור פונקציה מורכבת:

למשל:

נוסחאות אינטגרל לן

נוסחה 1
האינטגרל של    הוא  lnx :

הערך המוחלט נדרש כי פונקציית ה ln מוגדרת כאשר הביטוי הביטוי בתוך ה ln חיובי.

כאשר ידוע מראש שהביטוי הזה חיובי אין צורך בערך המוחלט.

דוגמה:
חשבו את האינטגרל הבא אם ידוע כי x > 0.

באינטגרל זה לא השתמשנו בערך המוחלט כי לא היה

נוסחה 2
עבור אינטגרל לפונקציה מורכבת שהפונקציה הפנימית שלה הוא קו ישר נשתמש בנוסחה:

דוגמה

נוסחה 3
עבור פונקציה מורכבת שאנו מזהים את הנגזרת הפנימית שלה באינטגרל:
(נוסחה הדרושה ב 5 יחידות בלבד).

דוגמה

8 מחשבות על “אינטגרלים נוסחאות”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    כל הכבוד על ההסבר הברור, הדוגמאות הרבות המשמעותיות כל כך להבנה

  2. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    אם אני צריכה לחשב אינטגרל של פונקציה כפול פונקציה לדוגמא אנטגרל של (f(x)*g(x
    האם אני יכולה לעשות אנטגרל לכל פונקציה בנפרד ולהכפיל בין האנטגרלים
    או שאני חייבת להכפיל קודם את שתי הפונקציות ואז לזה לעשות אנטגרל
    אשמח לתשובה
    תודה רבה על האתר הברור

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      האפשרות השנייה נכונה, קודם מכפילים ולאחר מיכן מחשבים אינטגרל.
      ברמת 5 יחידות לפעמים נתקלים בתרגילים דומים עם פונקציות שלא ניתן להכפיל ואז יש נוסחה לאינטגרל של פונקציה כפול הנגזרת הפנימית שלה.
      https://www.m-math.co.il/mathematics-function/integrals/integral-by-derivative/

  3. איך עושים אינטגרל ל: לן X
    לחלק ל: לןX – A
    כשהA אינו בתוך הסוגריים של הלן.
    תודה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      האינטגרל הוא אינטגרל קשה יחסית ומעל לרמת בית ספר.
      צריך לפצל את האינטגרל לשניים.
      אינטגרל של ln x – a חלק ln x – a
      ועוד a חלקי ln x – a
      ואז לחשב כל אחד מהאינטגרלים בנפרד