מציאת אינטגרל לפונקציה מורכבת על ידי זיהוי הנגזרת הפנימית

בדף זה נלמד כיצד מחשבים אינטגרל של נגזרת מורכבת כאשר הנגזרת הפנימית אינה קו ישר.

לא כל אינטגרל של פונקציה מורכבת נלמד לחשב בצורה הזו.
אלא רק אינטגרלים בהם יש לנו מכפלה של פונקציה בנגזרת שלה.

הכלל בו נשתמש הוא:
אם אם (F (x היא הפונקציה הקדומה של (f(x אז:

[(f [u(x) ] * u ‘ (x) = F [u (x∫

 

מצד שמאל של המשוואה יש לנו פונקציה מורכבת כפול הנגזרת של הפונקציה הפנימית.
ומצד ימין את תוצאת האינטגרל.

דפים קשורים:

• אינטגרל של פונקציה מורכבת – כיצד מחשבים כאשר הפונקציה הפנימית היא ישר.
• אינטגרל של לן על ידי זיהוי הנגזרת הפנימית.
• אינטגרלים – מכל הסוגים.
• אינטגרלים בשיטת ההצבה – את כל האינטגרלים המופיעים כאן ניתן לפתור בשיטת ההצבה, אבל זו דרך ארוכה יותר.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות – נושאים נוספים.

דוגמאות

כאשר אתם מבצעים את החישובים הללו שימו לב שאתם מזהים בצורה נכונה את הנגזרת הפנימית.

f(x) = (1 – 2x³)⁵

הפונקציה הפנימית היא
1 – 2x³

f(x) = √3x
הפונקציה הפנימית היא 3x.

f (x)  = sin²x
הפונקציה הפנימית היא sin x.

(f (x) = sin (x²
הפונקציה הפנימית היא x²

דוגמאות מלאות

דוגמה 1 (פולינום)

פתרון
נשים לב ש 10x⁴ הוא הנגזרת הפנימית של הפונקציה הפנימית:
2x⁵ – 6
לכן זה מתאים לנו לנוסחה וחישוב האינטגרל יעשה כך:

תרגיל 2 (הוצאת קבוע)

פתרון
הנגזרת של הפונקציה הפנימית היא 3x²- ובחוץ יש לנו 7x².
מה עושים?
כאשר ההבדל בין מה שיש למה שאנו רוצים שיהיה הוא רק מספר ניתן להוציא קבוע אל מחוץ לאינטגרל על מנת להתאים את הפונקציה.

עכשיו בחוץ יש לנו את הנגזרת של הפונקציה הפנימית וניתן לחשב את האינטגרל.

דוגמה 3 (טריגונומטרית)

פתרון
הנגזרת של cos x היא sin x-.
לכן על מנת שזו תהיה מכפלת פונקציה בנגזרת הפנימית שלה עלינו להוציא מינוס מחוץ לאינטגרל:

עכשיו נוכל להשתמש בנוסחה שלמדנו בדף זה:

דוגמה 4 (רציונלית)

פתרון
המונה 2x – 3 הוא הנגזרת הפנימית של הפונקציה שבמכנה.
לכן:

*הערה: שימו לב למינוס המופיע במונה של התשובה.
משוואה שיכולה לעזור בהבנת האינטגרל היא המשוואה הזו:

תרגילים

פתרונות

תרגיל 1

פתרון

תרגיל 2

פתרון
הנגזרת של הפונקציה הפנימית היא 2x. לכן נוציא קבוע על מנת שנקבל אותה:

ועכשיו נמשיך לאינטגרל:

תרגיל 3

פתרון
הפונקציה הפנימית היא x² והנגזרת שלה היא 2x.
לכן ניתן להשתמש בנוסחה ונקבל:

תרגיל 4

פתרון
הנגזרת הפנימית היא 2x- ואין לנו את זה.
לכן נוציא קבוע אל מחוץ לאינטגרל:

ועכשיו נוכל להמשיך:

תרגיל 5

פתרון
הנגזרת של 2cosx- היא 2sinx.
לכן על מנת להתאים את התרגיל לנוסחה עלינו להוציא קבוע אל מחוץ לאינטגרל.

עכשיו אנו יכולים להשתמש בנוסחת האינטגרל של שורש.

תרגיל 6

פתרון
הנגזרת של sinx היא cosx ולכן יש לנו מכפלה של פונקציה בנגזרת שלה.
כמו כן:

לכן האינטגרל שלנו הוא:

למי שקשה עם האינטגרל הזה אני אזכיר כי: