פונקציית שורש אסימפטוטות

בדף זה נלמד על אסימפטוטות לפונקציית שורש על פי החלקים הבאים:

1. אסימפטוטה אנכית.
2. אסימפטוטה אופקית.
3. תרגילים.

תזכורת.

1. אסימפטוטה אנכית – כאשר המכנה מתאפס והמונה לא. משוואת האסימפטוטה x = k.
2. אסימפטוטה אופקית – כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף והפונקציה למספר. משוואת אסימפטוטה y = k.

כמו כן על פי חוקי שורשים מתקיימים השוויונות הבאים:

עוד באתר:

• פונקציית שורש – כיצד לחקור.

1.אסימפטוטה אנכית

בחלק זה נדבר על 5 דברים שצריך לשים אליהם לב כאשר מוצאים אסימפטוטה אנכית בפונקציית שורש:

1. המצב הרגיל.
2. אסימפטוטה אנכית שלא קיימת כי היא רחוקה מתחום ההגדרה.
3. לפונקציית שורש ללא מכנה אין אסימפטוטה אנכית.
4. השורש חיובי או שווה ל 0 תמיד וזה מקל על זיהוי ערך הפונקציה
5. זיהוי חור בפונקציית שורש.
6. סיכום השלבים למציאת אסימפטוטה אנכית בפונקציית שורש.

שני הדברים הראשונים הם העיקר והדברים הנפוצים שתפגשו.
נושאים 3-5 הם קצרים יותר.

1.המצב הרגיל.

על מנת שלפונקציה תהיה אסימפטוטה אנכית צריכה להיות נקודה מסוימת שבה הפונקציה לא מוגדרת ובה הפונקציה שואפת לאינסוף או מינוס אינסוף.

למשל הפונקציה:

תחום ההגדרה שלה הוא x > 3.

כך שבדיוק בנקודה x = 3 הפונקציה אינה מוגדרת.

כמו כן כאשר x שואף ל 3 המכנה שואף ל 0 ואילו המונה למספר.

לכן הפונקציה כולה שואפת לאינסוף ו x = 3 היא אסימפטוטה אנכית.

ניתן לכתוב את זה גם כך.

(∼ הוא סימן של “קרוב ל”).

 

2.כאשר המכנה לא מוגדר אבל אין אסימפטוטה

במקרה זה x = 3 מאפס את המכנה אבל במונה אנו מקבלים ביטוי לא מוגדר.

x = 3 הוא לא אסימפטוטה במקרה זה כי על מנת שתהיה אסימפטוטה המונה צריך להיות מספר.

ניתן לכתוב זאת גם כך:

 

דרך נוספת להבין מדוע אין כאן אסימפטוטה היא להסתכל על גרף הפונקציה והגרף של x = 3.

אלו גרפים רחוקים אחד מהשני.
לעומת זאת אסימפטוטה כמעט ומשיקה לגרף הפונקציה, לכן זו לא אסימפטוטה.

חשוב להבין
אם הנקודה החשודה כאסימפטוטה אנכית גורמת לביטוי לא מוגדר בכל מקום בפונקציה (ולא רק במונה) אז אין אסימפטוטה אנכית.

למשל:

תחום ההגדרה הוא x >4.
לכן:

x = 3 היא לא אסימפטוטה אנכית כי היא גורמת לשורש השמאלי להיות ביטוי לא מוגדר.

יש כאלו השואלים:
הרי אף פעם הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה שבה עוברת האסימפטוטה האנכית שלה.
למשל:

x = 1 זו גם נקודת האי ההגדרה וגם הישר שהוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.
אז למה עבור הפונקציה הקודמת x = -2 לא יכול להיות אסימפטוטה בגלל שהפונקציה לא מוגדרת בנקודה?

תשובה
בגלל שהפונקציה הראשונה מוגדרת בסביבת הנקודה x = 1 והפונקציה משיקה לישר זה.
לעומת זאת הפונקציה השנייה לא מוגדרת בסביבת x = -2 ולכן x = -2 לא יכולה להשיק לפונקציה ולהיות אסימפטוטה.

גם אסימפטוטות אופקיות נפסלות בגלל תחום הגדרה.

פונקציה זו לא מוגדרת במינוס אינסוף, ולכן לא נבדוק אם יש לה אסימפטוטה אופקית בתחום זה.

3.לפונקציות שורש ללא מכנה אין אסימפטוטות

לפונקציות שורש ללא מכנה אין אסימפטוטות אנכיות (וגם לא אסימפטוטות אופקיות).

למשל לפונקציות הבאות אין אסימפטוטות

 

4.השורש חיובי או שווה ל 0 תמיד וזה מקל על זיהוי ערך הפונקציה

שורש הוא ביטוי חיובי או שווה ל 0 בכל תחום ההגדרה.
לדוגמה הביטוי הבא חיובי בכל תחום הגדרתו:

דבר זה יכול לסייע לנו למצוא את ערך הפונקציה סמוך לנקודות האי הגדרה שלה מבלי שנצטרך להציב מספרים בתוך הפונקציה עצמה.

למשל:

זו פונקציה שלילית בכול תחום הגדרתה.

המונה. שלילי בכל תחום ההגדרה.
המכנה חיובי בכל תחום ההגדרה.

לכן הפונקציה כולה שלילית תמיד.

5.זיהוי חור

חור בפונקציית שורש נדיר מאוד ברמת 4 יחידות וכלל לא בטוח שהוא חלק מתוכנית הלימודים.

תלמידי 4 יחידות צריכים לדעת אותו.

כאשר יש מספר שמאפס את המכנה וגם מאפס את המונה זו לא אסימפטוטה.
זה חור.

המשמעות של חור פחות חשובה, העיקר שתדעו שמצב זה הוא לא אסימפטוטה.

6.סיכום השלבים למציאת אסימפטוטה אנכית בפונקציית שורש

1.מוצאים את תחום ההגדרה של הפונקציה.
כי זו הפעולה הראשונה בכל שאלה על פונקציה.
גם אם לא מבקשים מאיתנו במפורש.

2.בודקים אלו ערכי x מאפסים את המכנה.
כי רק הערכים הללו יכולים לגרום לאסימפטוטה אנכית.

3.בודקים מה הערכים שמאפסים את המכנה עושים למונה.
המונה מספר – זו אסימפטוטה אנכית.
המונה לא מוגדר – אין אסימפטוטה. (ראו גם דוגמה 5).
המונה מתאפס – חור.

2.אסימפטוטה אופקית

1.לפונקציית שורש יכולות להיות שתי אסימפטוטות אופקיות שונות

אם הייתה אסימפטוטה אופקית בפונקציה רציונלית אז תמיד זו הייתה אסימפטוטה אופקית אחת.
במקרה זה באינסוף ובמינוס אינסוף הפונקציה שאפה לאותו מספר.

לעומת זאת בפונקציית שורש זה לא כך.
הפונקציה יכולה לשאוף באינסוף למספר אחד ובמינוס אינסוף למספר אחר.

הדבר נובע מכך שלמשל בפונקציה שנמצאת בדוגמה 1 למונה יש סימן חיובי כאשר כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף.

לעומת זאת המכנה משנה סימן בין אינסוף למינוס אינסוף ולכן סימן הפונקציה משתנה בין אינסוף למינוס אינסוף.

דוגמה 1

כאשר x שואף ל ∞.

המונה שואף לאינסוף.
המכנה שואף לאינסוף.

לכן הפונקציה שואפת ל 1.

כאשר x שואף ל ∞- נקבל:

המונה שואף לאינסוף.
המכנה שואף למינוס אינסוף.

לכן הפונקציה כולה שואפת ל 1-.

לכן
y = 1
y = -1
אלו אסימפטוטות של הפונקציה.

כך נראה גרף הפונקציה:

 

דוגמה 2

נסתכל על הפונקציה:

כאשר x שואף לאינסוף ערך הפונקציה שואף ל:

ולכן y = 2 היא אסימפטוטה אופקית כאשר x שואף לאינסוף.

לעומת זאת כאשר x שואף למינוס אינסוף ערך הפונקציה שואף ל:

ולכן y = -2 היא אסימפטוטה אופקית כאשר x שואף לאינסוף.

כך נראה גרף הפונקציה: