פונקציית שורש אסימפטוטות

בדף זה נלמד על אסימפטוטות לפונקציית שורש על פי החלקים הבאים:

  1. אסימפטוטה אנכית.
  2. אסימפטוטה אופקית.
  3. תרגילים.

תזכורת.

  1. אסימפטוטה אנכית – כאשר המכנה מתאפס והמונה לא. משוואת האסימפטוטה x = k.
  2. אסימפטוטה אופקית – כאשר x שואף לאינסוף / מינוס אינסוף והפונקציה למספר. משוואת אסימפטוטה y = k.

כמו כן על פי חוקי שורשים מתקיימים השוויונות הבאים:

עוד באתר:

1.אסימפטוטה אנכית

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

בחלק זה נדבר על 5 דברים שצריך לשים אליהם לב כאשר מוצאים אסימפטוטה אנכית בפונקציית שורש:

  1. המצב הרגיל.
  2. אסימפטוטה אנכית שלא קיימת כי היא רחוקה מתחום ההגדרה.
  3. לפונקציית שורש ללא מכנה אין אסימפטוטה אנכית.
  4. השורש חיובי או שווה ל 0 תמיד וזה מקל על זיהוי ערך הפונקציה
  5. זיהוי חור בפונקציית שורש.
  6. סיכום השלבים למציאת אסימפטוטה אנכית בפונקציית שורש.

שני הדברים הראשונים הם העיקר והדברים הנפוצים שתפגשו.
נושאים 3-5 הם קצרים יותר.

1.המצב הרגיל.

על מנת שלפונקציה תהיה אסימפטוטה אנכית צריכה להיות נקודה מסוימת שבה הפונקציה לא מוגדרת ובה הפונקציה שואפת לאינסוף או מינוס אינסוף.

למשל הפונקציה:

תחום ההגדרה שלה הוא x > 3.

כך שבדיוק בנקודה x = 3 הפונקציה אינה מוגדרת.

כמו כן כאשר x שואף ל 3 המכנה שואף ל 0 ואילו המונה למספר.

לכן הפונקציה כולה שואפת לאינסוף ו x = 3 היא אסימפטוטה אנכית.

ניתן לכתוב את זה גם כך.

(∼ הוא סימן של “קרוב ל”).

 

2.כאשר המכנה לא מוגדר אבל אין אסימפטוטה

במקרה זה x = 3 מאפס את המכנה אבל במונה אנו מקבלים ביטוי לא מוגדר.

x = 3 הוא לא אסימפטוטה במקרה זה כי על מנת שתהיה אסימפטוטה המונה צריך להיות מספר.

ניתן לכתוב זאת גם כך:

 

דרך נוספת להבין מדוע אין כאן אסימפטוטה היא להסתכל על גרף הפונקציה והגרף של x = 3.

אלו גרפים רחוקים אחד מהשני.
לעומת זאת אסימפטוטה כמעט ומשיקה לגרף הפונקציה, לכן זו לא אסימפטוטה.

הישר x = 3 רחוק מהפונקציה ולכן לא יכול להיות אסימפטוטה שלה.
הישר x = 3 רחוק מהפונקציה ולכן לא יכול להיות אסימפטוטה שלה.

חשוב להבין
אם הנקודה החשודה כאסימפטוטה אנכית גורמת לביטוי לא מוגדר בכל מקום בפונקציה (ולא רק במונה) אז אין אסימפטוטה אנכית.

למשל:

תחום ההגדרה הוא x >4.
לכן:

x = 3 היא לא אסימפטוטה אנכית כי היא גורמת לשורש השמאלי להיות ביטוי לא מוגדר.

יש כאלו השואלים:
הרי אף פעם הפונקציה אינה מוגדרת בנקודה שבה עוברת האסימפטוטה האנכית שלה.
למשל:

x = 1 זו גם נקודת האי ההגדרה וגם הישר שהוא אסימפטוטה אנכית של הפונקציה.
אז למה עבור הפונקציה הקודמת x = -2 לא יכול להיות אסימפטוטה בגלל שהפונקציה לא מוגדרת בנקודה?

תשובה
בגלל שהפונקציה הראשונה מוגדרת בסביבת הנקודה x = 1 והפונקציה משיקה לישר זה.
לעומת זאת הפונקציה השנייה לא מוגדרת בסביבת x = -2 ולכן x = -2 לא יכולה להשיק לפונקציה ולהיות אסימפטוטה.

גם אסימפטוטות אופקיות נפסלות בגלל תחום הגדרה.

פונקציה זו לא מוגדרת במינוס אינסוף, ולכן לא נבדוק אם יש לה אסימפטוטה אופקית בתחום זה.

3.לפונקציות שורש ללא מכנה אין אסימפטוטות

לפונקציות שורש ללא מכנה אין אסימפטוטות אנכיות (וגם לא אסימפטוטות אופקיות).

למשל לפונקציות הבאות אין אסימפטוטות

 

4.השורש חיובי או שווה ל 0 תמיד וזה מקל על זיהוי ערך הפונקציה

שורש הוא ביטוי חיובי או שווה ל 0 בכל תחום ההגדרה.
לדוגמה הביטוי הבא חיובי בכל תחום הגדרתו:

חיובי בכול תחום ההגדרה

דבר זה יכול לסייע לנו למצוא את ערך הפונקציה סמוך לנקודות האי הגדרה שלה מבלי שנצטרך להציב מספרים בתוך הפונקציה עצמה.

למשל:

זו פונקציה שלילית בכול תחום הגדרתה.

המונה. שלילי בכל תחום ההגדרה.
המכנה חיובי בכל תחום ההגדרה.

לכן הפונקציה כולה שלילית תמיד.

5.זיהוי חור

חור בפונקציית שורש נדיר מאוד ברמת 4 יחידות וכלל לא בטוח שהוא חלק מתוכנית הלימודים.

תלמידי 4 יחידות צריכים לדעת אותו.

כאשר יש מספר שמאפס את המכנה וגם מאפס את המונה זו לא אסימפטוטה.
זה חור.

המשמעות של חור פחות חשובה, העיקר שתדעו שמצב זה הוא לא אסימפטוטה.

6.סיכום השלבים למציאת אסימפטוטה אנכית בפונקציית שורש

1.מוצאים את תחום ההגדרה של הפונקציה.
כי זו הפעולה הראשונה בכל שאלה על פונקציה.
גם אם לא מבקשים מאיתנו במפורש.

2.בודקים אלו ערכי x מאפסים את המכנה.
כי רק הערכים הללו יכולים לגרום לאסימפטוטה אנכית.

3.בודקים מה הערכים שמאפסים את המכנה עושים למונה.
המונה מספר – זו אסימפטוטה אנכית.
המונה לא מוגדר – אין אסימפטוטה. (ראו גם דוגמה 5).
המונה מתאפס – חור.

2.אסימפטוטה אופקית

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

1.לפונקציית שורש יכולות להיות שתי אסימפטוטות אופקיות שונות

אם הייתה אסימפטוטה אופקית בפונקציה רציונלית אז תמיד זו הייתה אסימפטוטה אופקית אחת.
במקרה זה באינסוף ובמינוס אינסוף הפונקציה שאפה לאותו מספר.

לעומת זאת בפונקציית שורש זה לא כך.
הפונקציה יכולה לשאוף באינסוף למספר אחד ובמינוס אינסוף למספר אחר.

הדבר נובע מכך שלמשל בפונקציה שנמצאת בדוגמה 1 למונה יש סימן חיובי כאשר כאשר x שואף לאינסוף או מינוס אינסוף.

לעומת זאת המכנה משנה סימן בין אינסוף למינוס אינסוף ולכן סימן הפונקציה משתנה בין אינסוף למינוס אינסוף.

דוגמה 1

כאשר x שואף ל ∞.

המונה שואף לאינסוף.
המכנה שואף לאינסוף.

לכן הפונקציה שואפת ל 1.

כאשר x שואף ל ∞- נקבל:

המונה שואף לאינסוף.
המכנה שואף למינוס אינסוף.

לכן הפונקציה כולה שואפת ל 1-.

לכן
y = 1
y = -1
אלו אסימפטוטות של הפונקציה.

כך נראה גרף הפונקציה:

 

דוגמה 2

נסתכל על הפונקציה:

כאשר x שואף לאינסוף ערך הפונקציה שואף ל:

ולכן y = 2 היא אסימפטוטה אופקית כאשר x שואף לאינסוף.

לעומת זאת כאשר x שואף למינוס אינסוף ערך הפונקציה שואף ל:

ולכן y = -2 היא אסימפטוטה אופקית כאשר x שואף לאינסוף.

כך נראה גרף הפונקציה:

הודעה זו מסתירה תוכן המיועד למנויים בלבד.
לחצו כאן כדי לבחור את המנוי המתאים לכם.

43 מחשבות על “פונקציית שורש אסימפטוטות”

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר. שדות החובה מסומנים *

  1. למה שהאיקס שואף למינוס אינסוף פשוט משנים את הסימן של האסימפטוטה שיוצאת? וגם בפונקציית מנה רגילה הפונקציה שואפת לאינסוף ומינוס אינסוף אז למה לא אין 2 אסימפטוטות אופקיות?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      1.למה שהאיקס שואף למינוס אינסוף פשוט משנים את הסימן של האסימפטוטה שיוצאת?
      לא הבנתי.

      2.וגם בפונקציית מנה רגילה הפונקציה שואפת לאינסוף ומינוס אינסוף אז למה לא אין 2 אסימפטוטות אופקיות?
      כי לפונקציה רציונלית (אדגיש שזו תכונה של פונקציה רציונלית ולא תכונה של פונקציית שורש). יש תכונה שאם הפונקציה שואפת באינסוף למספר אז במינוס אינסוף היא שופת לאותו מספר.
      לכן אם y = 2 היא אסימפטוטה אופקית באינסוף היא תהיה אסימפטוטה אופקית גם במינוס אינסוף.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      מתייחסים אל הפרמטר כמו אל מספר ומביעים את האסימפטוטה בעזרת הפרמטר – וזה אם אין דרך למצוא את הפרמטר.

  2. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    היי, אם נתונה לי פונקציה שהאסימפטוטה האופקית שלה ואחת מהסימפטוטות האנכיות נפגשות בנקודה -1,2 ויש שני פרמטרים, איך אני מוצאת אותם?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      יש כאן שתי משוואות:
      1.הפונקציה לא מוגדרת ב x = 1.
      2.ערך הפונקציה שואף ל y = 2 באינסוף או מינוס אינסוף.
      אני רואה שיש שם גם מינוס אבל לא ברור אם הוא שייך ל 1 או 2 לכן התייחסתי לשני המספרים כחיוביים.

  3. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    היי צהריים טובים,
    רציתי לשאול, בשיטה שבה מציבים את האיקס בעל החזקה הגבוה ביותר איפה אמורים להציב מינוס בחישוב של מציאת אסימפטוטה אופקית כשהיא שואפת למינוס אינסוף?
    בכל האיקסים הקיימים וגם באילו שאני מציבה להציב מינוס?
    או רק באילו שאני מוסיפה?
    או בכלל בתשובה הסופית בסוף?
    אשמח לחידוד, תודה רבה מראש.

    1. לומדים מתמטיקה

      צהריים טובים
      האם הכוונה היא להצבה של איקס שווה למינוס אינסוף על מנת לבדוק אסימפטוטה אופקית?
      אם כן קודם כל בודקים שאיקס זה שייך לתחום ההצבה.
      ולאחר הבדיקה ניתן לצמצם את הפונקציה לחזקות הגבוהות בלבד במונה ובמכנה ולהציב בהם בלבד.

  4. היי, רציתי לשאול כמה דברים כדי לנסות להבהיר בשבילי את הנושא…
    1.האם כאשר הפונקצייה שואפת לאינסוף אז אין אסימפטוטה אופקית? (לדוג’: שתיים ועוד אינסוף)
    2. מה קורה כאשר יש לי אינסוף חלקי אינסוף? האם זה שווה לאחת?
    3. האם יש משמעות לשורש אינסוף? כלומר שורש אינסוף חלקי אינסוף?
    4. האם יש אסימפטוטה כאשר אינסוף חלקי שורש אינסוף?
    5. האם יש מצבים בהם לא חייבים להשאיף למינוס אינסוף? (כמובן שחוץ ממצב שיש סתירה למינוס אינסוף בתחום הגדרה..)
    תודה רבה!

    1. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

      אהה ועוד משהו… זה נכון שיש אסימפטוטה אופקית רק כאשר מעורב מנה?

      1. לומדים מתמטיקה

        יש אסימפטוטה אופקית בלי מכנה בפונקציות אחרות למשל המעריכית f(x) = e^x.
        אבל זה נכון שלפונקציית פולינום אין אסימפטוטה אופקית.

  5. שלום רציתי לשאול במצב שהשורש על כל הפונקציה והתחום הגדרה / האסימפטוטה האנכית הוא x גדול שווה אפס אז זה אומר שאין אסימפטוטה אנכית כי זה גדול שווה ולא רק גדול?

  6. שלום, אם יש לי שורש של x בחזקת שלוש במונה חלקי איקס בריבוע במכנה(המכנה בלי שורש) מה האסימפטוטות?

  7. שלום
    האם כשיש לי פונקציה עם שורש במונה או במכנה אני יכולה להעלות את השורש על כל הפונקציה בכדי לא להתבלבל במהו מעריך החזקה הגדול ביותר כשאני בודקת אסמפטוטה (כמובן אם אני מעלה גם את הצד שללא השורש בריבוע)?
    אם אני שמה את כל הפונקציה בתוך שורש, אז תיעלם לי תוצאה כשאני בודקת בנפרד פלוס ומינוס אינסוף, לא? הרי אם יש משהו בתוך שורש התוצאה שלו חייבת להיות חיובית או שווה לאפס.
    לדוגמא: שורש של x^2+3, כל זה חלקי x-1.
    כשאני משאירה את השורש:
    כשאיקס שואף לפלוס אינסוף x=1.
    כש x שואף למינוס אינסוף, x=-1.
    אבל, אם אני מעלה את הכל בתוך שורש, התוצאה היחידה המתקבלת היא 1. מה לעשות במקרה זה?

    תודה רבה

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום מוריה
      לא שמים את כל הפונקציה בתוך שורש כדי למצוא אסימפטוטה.
      אם הצעת עוד דרך למצוא אסימפטוטה אז לא הבנתי אותה.

      הדרך שפתרת היא דרך נכונה.
      הדרך האלטרנטיבית לא ברורה לי אבל אם היא משנה את התוצאה אז היא לא נכונה.

      1. הבנתי, תודה:-)
        אז אם יש לי פונקציה עם שורש במונה או במכנה, ואני צריכה למצוא אסימפטוטה, להשאיר את השורש כמו שהוא? אם לדוגמא נותנים לי במונה 4^(X+1), ועל זה שורש, האם אני יכולה לבטל את השורש בתרגיל כך שזה יהיה בריבוע ולא ברביעית?
        מקווה שניסחתי נכון את השאלה,
        תודה!

        1. לומדים מתמטיקה

          שלום
          יש מקרים בהם הצמצום יעבוד ויש כאלו שלא.
          אם את יודעת להבחין בין המקרים הללו צמצמי.
          אם את לא בטוחה שאת יודעת להבחין אל תצמצמי.
          כמו כן אשמח לדעת כמה יחידות את לומדת כי יש שאלות שהתשובה אליהן משתנה בהתאם למספר היחידות.

          1. אני בחמש יחידות
            האם ישנה דרך לדעת לפני פתרון התרגיל אם הצמצום יעבוד או לא?
            תודה:-)

            1. לומדים מתמטיקה

              הבעיה העיקרית היא שינוי הסימן.
              למשל אם הפונקציה היא שורש x בריבוע אז הצמצום משנה את הסימן בהצבה שלילית.
              בדוגמה שאת נתת לא משנה סימן.

  8. שלום,
    בדוגמא 2 נתת דוגמא לפונקציית שורש ואמרת: פונקציה זו לא מוגדרת במינוס אינסוף, ולכן לא נבדוק אם יש לה אסימפטוטה אופקית בתחום זה.
    אבל למה לא צריך לבדוק מה האסימפטוטה שלה כשאיקס שואף לפלוס אינסוף? הרי כשיש שורש ישנן שתי תשובות אפשריות.
    תודה:-)

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      השאלה לא לגמרי ברורה.
      אבל מספר ליד השבר משנה את האסימפטוטה האופקית (ולא את האנכית) כפי שמוסבר בחלק 3 בדף.

  9. היי, בדוגמה השניה בהתחלה כתבת שהפונציה אינה מוגדרת עבור מינוס אינסוף למה?
    תודה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      זו הייתה טעות, הפונקציה מוגדרת במינוס אינסוף.
      סליחה על הטרחה ותודה על התיקון.

      1. היי, תודה על ההיתיחסות…. אחרי השאלה יש גם פלוס 2 זאת אומרת שצריך להוסיף 2 גם למינוס אחת נכון? ואז האסימטוטות הן 1 ושלוש נכון?

  10. תודה על הסיכומים המאלפים וההסברים.
    רציתי לברר לגבי פונקצית שורש מנה. מתי יש צורך לחלק את המונה והמכנה באיקסים עם מעריך החסקה הגבוה ביותר. וכן איך מותר לחלק באיקסים. וכן למה אי אפשר להשתמש לפי הכללים של פונקציות רציונליות.
    תודה רבה.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      יש כאן כמה שאלות, מקיפות מידי בשביל תגובה ולא ברורות לגמרי.
      אענה למה שלדעתי מטריד

      למה אי אפשר להשתמש לפי הכללים של פונקציות רציונליות.

      אז כן משתמשים בכללים של פונקציה רציונלית, רק צריך לשים לב שלפעמים פעולות שורש וחזקה יוצרות שתי אסימפטוטות אופקיות
      כפי שמוסבר בתחילת החלק השני של הדף בראש פרק הנקרא
      לפונקציית שורש יכולה להיות יותר מאסימפטוטה אופקית אחת

  11. משתמש אנונימי (לא מזוהה)

    הי רציתי לשאול אם יש פונקציית שורש שהיא לא מנה אז אין לה אסימפטוטות אופקיות? לדוגמה 0.5שורש x

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      לפונקציה הכתובה ולפונקציה הדומות לה אין אסימפטוטה אופקית כי היא לא שואפת למספר כאשר היא שואפת לאינסוף.

  12. לא הבנתי למה בתרגיל 2 כששואף למינוס אינסןף לא יוצא מינוס ארבע אינסוף חלקי מינוס אינסוף שזה יוצא בטוח חיובי… ואז מוסיפים לזה שלוש והאסימפטוטה שווה שוב שבע.
    השורש שהיה על הריבוע והתבטל מחייב שהx יהיה תמידי חיובי? הוא לא יכול להיות שלילי אם הוא מתבטל ממילא מהריבוע?

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום
      במכנה זה שורש של מינוס אינסוף בריבוע.
      מינוס אינסוף ברבוע שווה לפלוס אינסוף בריבוע.
      וכאשר מוצאים שורש לאינסוף בריבוע נשארים עם אינסוף.