נושא המשוואה הריבועית והפונקציה הריבועית הוא נושא ארוך. באתר זה הוא מחולק ל 5 חלקים:
- משוואה ריבועית, דרכים שונות לפתרון משוואה ריבועית.
- פונקציה ריבועית, כיצד חוקרים פונקציה ריבועית. אלו שאלות שואלים על פונקציה ריבועית.
- משפחת הפרבולות – סוגים שונים של פרבולות, הזזות, תרגילים. סיכום הנושא.
- בעיות מילוליות עם משוואה ריבועית.
- אי שוויונים ריבועיים. כיצד פותרים.
בדף זה הנושא הוא פרבולות מהסוג f(x) = ax² + c.
(דף קודם: פרבולות מהסוג f(x) = ax², הדף הבא:
קודקוד הפרבולה מהסוג f(x) = ax² + c
כאשר מוסיפים את הפרמטר (מספר) c אל משוואת הפרבולה f(x) = ax² אנו נגרום להעלאה או ירידה של גרף הפרבולה ב c יחידות.
למשל: היכן נמצא קודקוד הפרבולה f(x) = 5x² +2?
בנקודה (0,2).
היכן נמצא קודקוד הפרבולה f(x) = x² – 5?
בנקודה (5-,0)
- תרגילים נוספים בנושא מציאת קודקוד הפרבולה.
תחומי החיוביות והשליליות
תחומי החיוביות והשליליות מושפעים מ a ו c.
כאשר a> 0 הפרבולה עולה מעל לנקודת הקודקוד שלה.
כאשר a<0 הפרבולה יורדת מתחת לנקודת הקודקוד שלה.
לכן על מנת שהפרבולה תהיה חיובית תמיד צריכים להתקיים שני תנאים a>0, c>0.
על מנת שפרבולה תהיה שלילית תמיד צריך להתקיים a<0, c<0.
תרגיל
הסבירו במילים מדוע לגרפים f(x) = 2x² +3, g(x) = -2x² +2 אין נקודות חיתוך.
הציעו פרבולה שיש לה נקודת מגע אחת עם הפרבולה f(x) = 2x² +3 ועוד פרבולה שיש לה שתי נקודות חיתוך עם f(x) = 2x² +3
פתרון
קודקוד הפרבולה של f(x) = 2x² +3 היא הנקודה (0,3) וזו פרבולה עם נקודת מינימום, כלומר כל ערכי ה y שלה גדולים או שווים ל 3.
קודקוד הפרבולה של g(x) = -2x² +2 היא הנקודה (0,2) וזו פרבולה עם נקודת מקסימום כלומר על ערכי ה y שלה קטנים או שווים ל 2.
לכן אין תחום חפיפה בין ערכי ה y של הפונקציות והן אינן נפגשות.
חלק שני
קודקוד הפרבולה של f(x) = 2x² +3 היא הנקודה (0,3). נמצא פרבולה אחרת עם אותו קודקוד רק שהיא עם נקודת מקסימום. אלו יהיו כל הפרבולות מהצורה h(x) = ax² +3 כאשר a<0. למשל h(x) = -x² +3.
חלק שלישי
הדרך הקלה למצוא פרבולה החותכת בשתי נקודות היא להגדיר פרבולה עם קודקוד גבוה מ (0,3) ועם כיוון הפוך מ f(x, במקרה זה פרבולת מקסימום.
למשל h(x) = -x² +5.
דרך אחרת יכולה להיות להגדיר פרבולה עם קודקוד נמוך יותר מ (0,3) ובנוסף פרבולת מינימום שעולה בצורה חדה יותר, ולכן פוגשת פעמיים את f(x) = 2x² +3 למשל h(x) = 5x²+1.
קצב השינוי של הפרבולה
קצב השינוי, הקצב בו הפונקציה עולה / יורדת, אינו מושפע מ c אלא רק מ a.
ככול ש a בערכו המוחלט גדול יותר כך קצב השינוי מהיר יותר.
תרגיל
מה ההפרש בין ערכי הפונקציות f(x) =3x² +10, f(x) = 3x²-2 כאשר x=5? וכאשר x= -2?
פתרון
ההבדל בין שתי הפונקציות הללו הוא רק בערכי ה c שלהם. והפער בערכי ה c הוא 12. לכן עבור כל ערך של x הפער בין הפונקציות הוא 12.
תרגיל
עבור אלו ערכים של k יש למשוואה 2x² +5 =k- שתי פתרונות? פתרון אחד? 0 פתרונות?
פתרון
הכלל אומר:
x² = k וגם k>0 שתי פתרונות.
k=0 פתרון אחד.
k<0 אין פתרונות.
2x² +5 =k / -5-
2x² = k-5 /:-2
x² = -0.5k +2.5
שתי פתרונות כאשר:
0.5k +2.5 >0-
0.5k > -2.5 / *-2-
k <5
פתרון אחד כאשר:
0.5k +2.5 =0-
k=5
0 פתרונות כאשר:
0.5k +2.5 <0-
k>5
עוד באתר:
- מתמטיקה לכיתה ט. הסברים ותרגילים לחומר הלימוד בשנה זו.
- משוואת ישר, הסבר מקיף על התכונות הגרפיות והדרך למצוא משוואת ישר.
ואווו עזר לי ממש!!!!!!! כל הכבוד
בכיף. תודה