בדף זה נלמד לפתור תרגילי אינטגרל עם פרמטר.
בדף שני חלקים:
- הרעיון של אינטגרל עם פרמטר.
- תרגילים.
הרעיון של אינטגרל עם פרמטר
בתרגילי אינטגרל שלמדנו עד עכשיו (ללא פרמטר) אנו יודעים את הערכים של a,b ומוצאים את S.
בתרגילי אינטגרל עם פרמטר אנו נדע את S אבל לא נדע את a או b או שבפונקציה עצמה יהיה פרמטר שנצטרך למצוא.
דוגמה
נתון גרף הפונקציה f(x) = x³
נתון השטח המקוון שווה ל 3.75.
מצאו את a.
פתרון
כאשר מחשבים שטח באמצעות אינטגרל צריך לשים את האינטגרל בערך מוחלט – למקרה של תוצאת האינטגרל שלילית.
אפשרות אחרת – במקרה לשים מינוס לפני האינטגרל.
אם היינו יודעים שהשטח מעל ציר ה x לא היינו צריכים להוסיף ערך מוחלט או משהו אחר.
מכוון ש S= 3.75 והשטח מתחת לציר ה x המשוואה היא:
נקבל:
-(0.25 – 0.25a4 ) = 3.75
-0.25 + 0.25a4 = 3.75
0.25a4 = 4
a4 = 16
a = 2 או a = – 2
בגרף רואים ש a הוא שלילי ולכן a = – 2.
הערה ראשונה
שימו לב שכאשר חישבנו את האינטגרל לא הוספנו c לתוצאה, כי זה אינטגרל מסוים.
הערה שנייה
הנושא של ערך מוחלט מסביב לאינטגרל חשוב מאוד בהקשר של פרמטר.
אם באינטגרל רגיל, ללא פרמטר במידה והיינו מחשבים שטח מתחת לציר ה x ושוכחים את הערך המוחלט היינו מקבלים תוצאה שלילית – דבר שאנו יודעים שהוא לא אפשרי עבור שטח ולכן “נזכרים” שצריך להוסיף ערך מוחלט.
אז במקרה של פרמטר נוכל לזהות את הטעות רק בחלק מהמקרים.
למשל בדוגמה שלמעלה אם נקבל a = 4 אז נוכל לזהות שהמספר לא מתאים לשרטוט.
אבל לעומת זאת אם נקבל a = -4 לא נוכל לזהות בשרטוט שזו טעות.
לדוגמה:
אם נחשב את השטח המבוקש בשרטוט כ:
אז נקבל תוצאה שלילית, נבין שטעינו ונוסף ערך מוחלט (או מינוס) לאינטגרל.
לעומת זאת במקרה של חישוב הכולל פרמטר כמו שמופיע למטה ; אז הטעות תתגלה
תרגילים
בדף זה נפתור 2 תרגילים המשלבים חישוב שטחים בעזרת אינטגרלים עם פרמטרים.
תרגיל 1
נתונה הפונקציה y = x² + cx. נתון c > 0.
- הביעו באמצעות c את השטח המוגבל על ידי הפונקציה, הצירים והישר x = 4.
- מצאו את c אם ידוע שהשטח המוגבל בין הפונקציה, הישר x = 4 וציר ה- x הוא 61.333
1.חישוב התחום של האינטגרל
אנו יודעים שתחום מתחיל בנקודת החיתוך של הפרבולה עם ציר ה x.
נמצא את הנקודה הזו על ידי המשוואה:
x² + cx = 0
x (x + c) = 0
פתרון אחד הוא x = 0.
פתרון שני הוא:
x + c = 0
x = -c
מכוון ש c > 0 בפתרון השני x שלילי, וזו נקודת החיתוך שנמצאת משמאל והיא אינה חשובה לנו.
לכן התחום המבוקש הוא בין 0 ל 4.
2.השטח המבוקש נתון על ידי האינטגרל:
אנו רואים שהשטח נמצא מעל ציר ה x.
לכן תוצאת האינטגרל חיובית ואין צורך לשים את האינטגרל בערך מוחלט.
3. נחשב את האינטגרל
תשובה: לכן השטח הכלוא (כתלות בפרמטר c) הוא:
8c + 64/3
סעיף ב – מציאת c:
נתון לנו כי השטח הכלוא הוא 61.333.
לכן על מנת למצוא את ערכו של הפרמטר c ,
נשווה בין השטח שמצאנו בסעיף הקודם, לבין השטח הנתון:
8c + 64/3 = 61.333
8c = 40
c = 5
תשובה: c = 5
תרגיל 2
נתונה הנגזרת: f ‘ (x) = 3x² + 6.
השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה ( f (x, הצירים והישר x= 6 הוא 450.
מצאו את הפונקציה שהנגזרת שלה נתונה בשאלה.
1. מציאת הפונקציה ע”י ביצוע אינטגרל:
נתונה לנו הנגזרת , ונרצה למצוא את הפונקציה.
לכן הפעולה שעלינו לעשות היא אינטגרציה.
לכן:
הוספנו את הקבוע c מכיוון שמדובר באינטגרל לא מסוים. (לא נתונים הגבולות של האינטגרל).
2. מציאת הקבוע ע”י חישוב השטח:
כדי לקבוע מהו הקבוע c , נשתמש בנתון השני – לגבי השטח הכלוא.
נתון כי השטח המוגבל על ידי גרף הפונקציה f(x) = x³ + 6x+ c, הצירים והישר x= 6 הוא 450.
לכן נמצא את השטח הנ”ל כתלות בקבוע c , ונשווה אותו ל-450.
כך נקבל מהמשוואה את ערכו של c.
א. חישוב האינטגרל:
ב. חישוב השטח הכלוא:
ג. בניית משוואה על מנת למצוא את c.
מצאנו את השטח הכלוא כתלות בפרמטר c.
כעת נשווה אותו עם השטח הנתון 450.
6c + 432 = 450
6c = 18
c = 3
לכן הפונקציה היא:
f(x) = x³ + 6x+ 3
הדפים בעזרתם למדנו חישוב שטחים בעזרת אינטגרלים הם:
- שטחים הנמצאים מעל ציר ה x או מתחת לציר ה x.
- שטחים הנמצאים מעל ומתחת לציר ה x.
- שטחים בין שתי פונקציות.
- שטחים מורכבים.
- אינטגרלים ושטחים עם פרמטרים.
עוד באתר: