הוכחת מקבילית

בדף הקודם בנושא הוכחת מקבילית למדנו את היסודות של כיצד מוכיחים שמרובע הוא מקבילית.

בדף זה נלמד טכניקות מתקדמות יותר של הוכחה.

נושאי הדף הם:

1. נחזור על משפטי ההוכחה (וכיצד לזכור אותם בקלות).
2. 4 שיטות מתקדמות להוכחת מקבילית.
3. תרגילי הוכחה.

1.משפטים להוכחת מקבילית

איך מוכיחים שמרובע הוא מקבילית? יש 5 משפטים שבעזרתם ניתן להוכיח.

1. מרובע שיש לו שני זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית.
2. מרובע שיש לו שני זוגות של צלעות נגדיות שוות הוא מקבילית.
3. מרובע שיש לו זוג אחד של צלעות שווה ומקביל הוא מקבילית.
4. מרובע שבו יש שני זוגות של זוויות נגדיות שוות הוא מקבילית.
5. מרובע שבו האלכסונים חוצים זה את זה הוא מקבילית.

3.תרגילים

בחלק זה תרגילים עם פתרונות מלאים.

התרגילים זמינים לצפייה עבור כולם ולהדפסה עבור מנויים בקישור.

• הוכחת מקבילית תרגילים

הערות כלליות לפתרון תרגילים:

1. עליכם לזכור את חמשת משפטי ההוכחה.
2. שימו לב לנתונים. אם הנתונים הם אורכי צלעות אז כנראה שעליכם להשתמש במשפט המדבר על אורכי צלעות (משפטים 2 או 3).
   אם הנתונים הם על נקודת מפגש האלכסונים אז כנראה שעליכם להשתמש במשפט המדבר על אלכסונים במקבילית (משפט 5).
3. בחלק מהשאלות צריך להשתמש בחפיפת משולשים על מנת להשיג עוד נתונים.
4. בהרבה שאלות יש כבר מקבילית ואתם צריכים להוכיח שיש עוד אחד. לשם כך עליכם להשתמש בתכונות המקבילית שנתונה לכם בשאלה.

תרגיל 1
בטרפז ABCD מעבירים ישר BE כך ש BE מקביל ל AD.

1. הוכיחו כי המרובע ABED הוא מקבילית.
2. אם הנתון היה ש BE = AD (אך הם אינם בהכרח מקבילים). האם גם אז היה ניתן להוכיח ש ABED הוא מקבילית?

פתרון

1. BE מקביל ל AD (נתון).
2. AB מקביל ל ED (אם ישר AB מקביל לצלע CD הוא גם מקביל לחלק מהצלע).
3. ABED מקבילית. מרובע שבו שתי זוגות צלעות נגדיות מקבילות הוא מקבילית.

חלק שני

לא. כאשר יש זו צלעות שהוא שווה באורכו וזוג שני שהוא מקביל לא ניתן להוכיח שהמרובע הוא מקבילית – אין משפט כזה.

למשל כך יכול להראות הישר BE כאשר הוא שווה אך לא מקביל ל AD.

תרגיל 2
במקבילית ABCD מעבירים את הישרים AE ו CF כך ש AE מקביל ל CF.
הוכיחו כי המרובע AECF הוא מקבילית.

פתרון

1. AE מקביל ל CF (נתון).
2. AF מקביל ל CE (אם צלע (AD) מקבילה לצלע אחרת (BC) אז גם חלק מהצלע מקביל לחלק לצלע או חלקה).
3. AECF הוא מקבילית (מרובע שיש לו שתי זוגות של צלעות מקבילות הוא מקבילית).

סיכום התרגיל
מכוון שהנתונים היו על זוג צלעות מקבילות חיפשתי את הדרך להשתמש במשפט המדבר על צלעות מקבילות.

תרגיל 3
במקבילית ABCD הנקודות E ו F מקיימות BE=DF.
הוכיחו המרובע הוא AECF הוא מקבילית.

פתרון

1. AF = AD-FD
2. CE = CB – EB
3. EB=FD (נתון).
4. AD=BC (צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו)
5. AF = CE נובע מסעיפים 1-4.
6. CE מקביל ל AF (נובע מכך ש AD מקביל ל BC).
7. AECF הוא מקבילית (נובע מסעיפים 4,5. אם במרובע זוג צלעות שווה ומקביל אז המרובע הוא מקבילית).

סיכום התרגיל
מכוון שהמידע שקיבלנו הוא על אורך צלע חיפשנו משפט הוכחה המשתמש באורכי צלעות.

עוד באתר:

1. מקבילית, הדף המרכזי על הצורה.
2. הוכחת מרובעים, כיצד מוכיחים מרועים אחרים.
3. מרובעים, מידע על מרובעים נוספים.