יחס בין שטחים: חישוב שטחים שיש להם גובה או בסיס משותף

נושא שעולה בשאלות רבות הוא יחס השטחים בין צורות שיש להם צלע או גובה משותפים.

ברוב הצורות השטח מחושב על ידי מכפלת שתי צלעות או צלע וגובה ואם אחד מהגורמים הללו זהה זה אומר שיחס השטחים נקבע על ידי הגורם השני.

  • את התרגיל הראשון גם תלמידים טובים בכיתה ח אמורים לדעת לפתור. עבור שאר התלמידים נדרש ידע של כיתות ט-י.
  • יחס בין שטחים לחטיבת הביניים הוא דף נוסף הכולל תרגילים דומים אבל קלים יותר.

הדוגמה הנפוצה ביותר בתחום הזה הוא משולש החסום במלבן או מקבילית.

שטח משולש BEC יהיה תמיד שווה לחצי משטח המלבן ולא משנה איפה הנקודה E נמצאת (אך הנקודה E חייבת להיות על הצלע AD).

הוכחה:
שלב א: ניצור משוואות עבור שטח המשולש ושטח המלבן
שטח מלבן שווה ל:
SABCD = AB * BC
(משוואה 1).

שטח המשולש שווה ל:
SBEC = 0.5EF*BC
(משוואה 2).

שלב ב: נוכיח כי גובה המשולש שווה לצלע המלבן
בנוסף מרובע AEFB הוא מלבן – כי יש בו 3 זוויות השוות ל 90 מעלות.
לכן:
AB = EF
(משוואה 3).

שלב ג: חישוב היחס בין השטחים
נציב את משוואה 3 במשוואה 2 ונקבל:
SBEC = 0.5AB*BC
משוואה 1 היא:
SABCD = AB * BC

ניתן לראות ששטח המשולש הוא שטח המלבן כפול 0.5.
לכן שטח המלבן גדול פי 2 משטח המשולש.

אם היינו רוצים להוכיח זאת במשוואה היינו כותבים זאת כך:

תרגילים

הכלל הבסיסי בפתרון תרגילים מסוג זה:
לבטא את השטח של שתי הצורות בעזרת אותם משתנים.

תרגיל 1
על המלבן ABCD בנו מקבילית DEFG כך ש:
AD = 4ED
AB = 2FH.
FH הוא גובה המקבילית.
חשבו את היחס בין שטח המקבילית לשטח המלבן.

פתרון
שלב א: כתיבת נוסחאות לחישוב שטח המקבילית והמלבן
שטח מלבן ABCD הוא:
SABCD = AB * AD
שטח מקבילית DEFG הוא:
SDEFG = ED * FH

שלב ב: הצבת הנתונים בנוסחת שטח המלבן וחישוב היחס
שטח המלבן הוא:
SABCD = AB * AD
נציב בנוסחת שטח המלבן את הנתונים:
AD = 4ED
AB = 2FH.
אנו עושים זאת על מנת לבטא את שטח המלבן ושטח המקבילית בעזרת אותם משתנים.
נקבל:
SABCD = 2FH * 4ED = 8FH * ED

שטח המקבילית הוא:
SDEFG = ED * FH
ניתן לראות ששטח המלבן הוא פי 8 משטח המקבילית.

תרגיל 2
(תרגיל זה לא קשה, אבל צריך לדעת את משפט חוצה הזווית על מנת לפתור אותו).
במשולש ABC ידוע כי AB = 6, AC = 8.
מעבירים את חוצה הזווית AD.

  1. חשבו את היחס בין שטחי המשולשים ACD  : ABD
  2. חשבו את היחס בין שטחי שלושת המשולשים  ACD  : ABD : ABC

פתרון
שלב א: בניית נוסחאות לשטח שני המשולשים
נשים לב שעבור שני המשולשים שאנו צריכים לחשב את היחס שלהם ACD  : ABD
יש גובה משותף.

SACD = 0.5AE * DC
SABD = 0.5AE * BD

שלב ב: נמצא את הקשר שבין DC ל BD.
על פי משפט חוצה הזווית במשולש מתקיים:

8DC = 6BD
1.33DC = BD

נציב את המשוואה שקיבלנו בנוסחת שטח  משולש ABD:
SABD = 0.5AE * BD
ונקבל:
SABD = 0.5AE * 1.33DC
SABD = 1.33 * 0.5AE * DC

כמו כן:
SACD = 0.5AE * DC

לכן היחס ACD  : ABD הוא 1.33 : 1
(ניתן לכתוב גם (4 : 3).

סעיף ב: חישוב היחס  ACD  : ABD : ABC
נגדיר:
SACD = 3x
לכן, על פי היחס שמצאנו בסעיף א:
SABD = 4x
שטח המשולש כולו הוא סכום שטחי שני המשולשים:
SABC = 3x + 4x = 7x

לכן היחס בין שטחי שלושת המשולשים הוא כמו היחס בין:
3x : 4x : 7x
7 : 4 : 3

תרגיל 3: שימוש בתכונות דלתון
בדלתון ABCD שני האלכסונים נפגשים בנקודה O.
ידוע כי היחס בין AO : CO הוא 4 : 1.
חשבו את:

  1. היחס בין שטחי המשולשים ABD : CDB.
  2. בין שטח משולש CDB לבין שטח דלתון ABCD.

(התכונה השימושית של הדלתון היא שאלכסוניו מאונכים זה לזה).

פתרון
שלב א: נבנה נוסחאות לשטחי שני המשולשים
SABD = 0.5DB * AO
SCDB = 0.5DB * CO

שלב ב: נגדיר את שני השטחים בעזרת אותם משתנים ונמצא את היחס
אנו יודעים כי:
CO = 4AO
נציב זאת בנוסחת שטח משולש CDB.
SCDB = 0.5DB * 4AO = 4 * 0.5DB * AO

כמו כן אנו יודעים כי:
SABD = 0.5DB * AO

לכן היחס בין שטחי המשולשים הוא:

תשובה: היחס בין שטחי המשולשים ABD : CDB הוא 4 : 1.

שאלה 4
נתון טרפז ABCD. ידוע כי DC / AB = 4.
שטח משולש ACD הוא 40 סמ"ר.
חשבו את שטח טרפז ABCD.

טרפז, שרטוט התרגיל

פתרון

  1. נשים לב כי שטח הטרפז הוא סכום שטחי המשולשים ACD+ CAB.
  2. על מנת לפתור את התרגיל נעביר גבהים במשולשים ACD ו CAB. אלו גם גבהים לבסיסי הטרפז.

שרטוט הגבהים בטרפז

נעביר את הגובה AE לצלע DC. ואת הגובה CF לצלע AB.

שלב 1: נוכיח כי הגבהים AE ו- CF שווים זה לזה

  1. EAF = 90∠ זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל 180 מעלות.
  2. AFCE מלבן. מרובע ששלוש זוויותיו שוות 90 מעלות הוא מלבן.
  3. AE= CF צלעות נגדיות במלבן שוות זו לזו.

שלב 2: מציאת היחס בין שטחי המשולשים  ACD ו CAB

נשתמש בשוויון AE= CF ונקבל
נשתמש בשוויון AE= CF ונקבל

מכוון שבמשולשים ACD ו CAB אורך הגבהים שווה.
היחס בין הבסיסים AB ו- DC הוא זה שקובע את היחס בין שטחי המשולשים.

לסיכום: שטח משולש SACD = 40 גדול פי 4 משטח משולש SCAB.

SCAB = 40:4=10.

שלב 3: חישוב שטח הטרפז כולו

SABCD = SCAB + SACD = 10+40=50.
תשובה: שטח הטרפז הוא 50 סמ"ר.

שאלה 5: שילוב עם דמיון משולשים
בטרפז ABCD האלכסונים נפגשים בנקודה O.
ידוע כי AC = 5AO.

  1. הוכיחו את הדמיון AOD ∼ COB ומצאו את יחס הדמיון.
  2. מצאו את יחס השטחים AOD : AOB
  3. ידוע כי שטח משולש AOD הוא 8 סמ"ר. מצאו את שטח הטרפז כולו.

פתרון
סעיף א: הוכחת דמיון משולשים
OAD = ∠OCB.    ∠ODA = ∠OBC
זוויות מתחלפות בין ישרים מקבילים.
AOD ∼ COB  דמיון משולשים על פי ז.ז

מציאת יחס הדמיון
מציאת יחס הדמיון מתבססת על נתון AC = 5AO.
נגדיר: AO = X
הצלע המתאימה ל AO בדמיון המשולשים היא CO. ננסה למצוא את CO.
לכן AC = 5X

CO = AC – AO = 5x – x = 4x
יחס הדמיון בין המשולשים הוא:

4

סעיף ב:  יחס השטחים AOD : AOB
נשים לב שלשני המשולשים יש גובה משותף

SAOD = 0.5AE * OD
SAOB = 0.5AE * OB

הצלעות OD, OB הן צלעות מתאימות בין משולשים דומים שיחס הדמיון שלהם הוא 4.
לכן
OB = 4OD.

נציב זאת במשוואה השנייה ונקבל:
SAOB = 4 * 0.5AE * OD

לכן היחס בין השטחים הוא:

תשובה: היחס בין שטחי המשולשים AOD : AOB הוא 4 : 1.

סעיף ג: מציאת שטח הטרפז כולו
ניתן להראות בדרך שעשנו בסעיף ב כי שטח משולש DOC גדול פי 4 משטח משולש AOD.
לכן אם שטח משולש AOD הוא 8 סמ"ר אז:
SAOB = SAOD = 8 * 4 = 32

כמו כן יחס השטחים בין משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון.

16SAOD = SBOC
SBOC = 16 * 8 = 128

שטח הטרפז שווה לסכום ארבעת המשולשים:
SABCD = 128 + 32 + 32 + 8 = 200

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

לתגובה

האימייל לא יוצג באתר.