דמיון משולשים משפטים ותרגילי הוכחה

דף זה הוא הדף הראשון בלימוד דמיון משולשים.
בדף זה נלמד:

  1. מה הם התכונות של משולשים דומים.
  2. שלושת משפטי דמיון משולשים.
  3. כיצד לרשום בצורה נכונה דמיון משולשים.
  4. כיצד להוכיח דמיון משולשים.
  5. 13 תרגילי הוכחה פשוטים של דמיון משולשים.

החלק הראשון הוא מבוא.
עליכם להשקיע בחלקים 2-4.
לאחר דף זה החלק הבא הוא לימוד יחס הדמיון.

1.מה הם התכונות של משולשים דומים

בסרטון זה נסביר את שלושת התכונות החשובות של משולשים דומים.

 

התכונות של משולשים דומים הן:

  1. הזוויות בשני המשולשים שוות.
  2. קיים מספר שאם נכפיל בו את אורכי צלעות משולש אחד נקבל את אורכי צלעות המשולש השני. כלומר אם צלע במשולש אחד גדולה פי 4 מהצלע המתאימה לה במשולש השני, אז כל הצלעות במשולש הגדול גדולות פי 4 מהצלעות המתאימות להן במשולש הקטן.
    היחס בין אורכי הצלעות מקרא יחס הדמיון.
  3. יש קשר בין שטחו של משולש אחד לשטחו של המשולש השני.

2.משפטי דמיון משולשים

משפט דמיון ראשון

אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים. ניתן לקרוא למשפט זה בקיצור צ.ז.צ.

אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים.

אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים.

משפט דמיון שני

אם שתי זוויות במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז המשולשים דומים. ניתן לקרוא למשפט זה בקיצור ז.ז הערה – ברור שאם שתי זוויות שוות במשולשים אז גם הזווית השלישית שווה.

אם שתי זוויות במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז המשולשים דומים.

אם שתי זוויות במשולש שוות לשתי זוויות במשולש אחר אז המשולשים דומים.

משפט דמיון שלישי

אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים. ניתן לקרוא למשפט זה בקיצור צ.צ.צ.

אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים.

אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים.

3.כיצד לרשום דמיון משולשים בצורה נכונה

רישום נכון של דמיון משולשים הוא קריטי, הכרחי.
רישום לא נכון יגרום לכך שכל מה שקשור לדמיון המשולשים יהיה שגיאה.

רישום נכון של דמיון משולשים מתבצע בדיוק כמו רישום נכון של חפיפת משולשים. אם הסתדרתם שם תסדרו גם כאן. ואם לא הסתדרתם שם אתם חייבים ללמוד את זה.

כפי שתראו 90% ויותר מההוכחות של דמיון המשולשים מתבצעות בעזרת המשפט השני ז.ז.
אני אראה כאן כיצד לרשום נכון כאשר אלו הנתונים.

תרגיל
ידוע כי
B = ∠P  (האדומות)
C = ∠D   (הירוקות)
הוכיחו כי המשולשים דומים ורשמו את הדמיון בצורה נכונה.

פתרון
המשולשים דומים על פי משפט ז.ז.
כאשר אנו רושמים את הדמיון המיקום של שתי הזוויות הירוקות צריך להיות אותו מיקום.
כך גם המיקום של הזוויות האדומות צריך להיות אותו מיקום.

לכן נרשום: ירוקה, אדומה, ולאחר מיכן הזוויות הנותרת.
CBA ∼ KPR

אפשר גם בסדר של: אדומה, ירוקה, הזווית הנותרת
BCA ∼ PKR.

אתם מורים פרטיים?
אני מציע פרסום תמורת עבודת שדרוג קטנה באתר וללא תשלום.
פרטים כאן

4.כיצד להוכיח דמיון משולשים?

שני הסרטונים הללו הם בעצם הפתרונות של תרגילים 1-7 המופיעים בהמשך.
הסרטון הראשון פותר את ששת התרגילים הפשוטים יותר.
הסרטון השני מסביר תרגיל קשה יותר.

5.תרגילים

כל התרגילים שבדף הם תרגילי הוכחת דמיון משולשים.

תרגילים 1-8 הם בנושא משפט הדמיון השני (החשוב באופן משמעותי יותר מהשניים האחרים).
תרגילים 9-13 הם בנושא משפטי הדמיון 1,3.

אם המשולשים דומים רשמו את דמיון המשולשים על פי סדר האותיות הנכון.
על מנת שהתשובות שלכם יהיו מתאימות לשלי התחילו את רישום הדמיון תמיד באות A.
אם לא תעשו זאת יתכן ותגיעו לתשובה נכונה אך היא לא תהיה זהה למה שאני רשמתי.

תרגיל 1: כתיבת דמיון משולשים בסדר הנכון
ידוע כי המשולשים המופיעים בתרגיל זה דומים. רשמו את דמיון המשולשים בסדר האותיות הנכון.
מכוון שניתן משולש לרשום כל בכמה אופנים ועל מנת שתוכלו לבדוק את התשובה שלכם עם התשובה כאן תמיד תרשמו את המשולש הראשון כמשולש ΔABC.

כתיבת דמיון המשולשים בסדר הנכון

כתיבת דמיון המשולשים בסדר הנכון

תשובות סופיות:

1.  ΔABC ∼ΔFED.
2.  ΔABC ∼ΔFDE.
3. ΔABC ∼ΔDEF.

פתרון מלא וכתוב לזוג מספר 3.

אנו רואים שצלעות משולש ΔABC גדולות פי 2 מצלעות משולש ΔDEF.
הצלע AB גדולה פי 2 מהצלע DE.
על פי צלע זו ניתן לכתוב את הדמיון בשני אופנים:
ΔABC ∼ΔDEF או ΔABC ∼ΔEDF.
על מנת לבחור אחד מהשניים עלינו להסתכל מה קורה הלאה:
הצלע BC מהצלע EF.
לעומת זאת הצלע BC אינה גדולה פי 2 מהצלע DF ולכן אפשרות השנייה נפסלת ואילו אפשרות הראשונה היא הנכונה.
ΔABC ∼ΔDEF

תרגיל 1
האם המשולשים דומים?

פתרון
A = ∠R,   ∠C = ∠P
המשולשים דומים על פי משפט דמיון ז.ז.
ACB ∼ RPK

תרגיל 2
האם המשולשים דומים?

פתרון
במשולש PRK ניתן למצוא את הזווית K.
K = 180 – 80 – 30 = 70
אם כך:
K = ∠C
וגם:
A = ∠P

המשולשים דומים על פי משפט ז.ז
ACB ∼ PKR

תרגיל 3
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
נשים לב שיש לנו גם שתי זוויות קודקודיות שוות.
KOP = ∠ BOA
לכן יש לנו שתי זוויות שוות והמשולשים דומים על פי ז.ז.
AOB ∼ KOP

תרגיל 4
נתונים שני משולשים שווי שוקיים.
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
על מנת לענות אם יש כאן שתי זוויות שוות עלינו להשלים את שאר הזוויות במשולש.
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות.

במשולש ABC:
B = ∠C = 50
A = 180 – 50 – 50 = 80

במשולש PRK
שתי זוויות הבסיס שוות ביחד 100.
כי:
100 = 80 – 180
זוויות הבסיס גם שוות זו לזו. ולכן כל אחת מיהן גודלה:
50 = 2 : 100

מצאנו כי שלושת הזוויות במשולשים שוות לכן המשולשים דומים על פי ז.ז
ACB ∼ PRK
מכוון שהמשולש שווה שוקיים היה נכון לכתוב גם:
ACB ∼ PKR

לאחר השלמת הזוויות המשולשים נראים כך:

תרגיל 5
ידוע כי AB || KP.
האם המשולשים דומים?

פתרון
כאשר יש ישרים מקבילים נחפש זוויות מתאימות או זוויות מתחלפות.
A = ∠P,  ∠B = ∠K   אלו הן זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
לכן המשולשים דומים על פי משפט דמיון ז.ז
AOB ∼ POK

הערה: הייתם יכולים להשתמש גם בזוויות קודקודיות על מנת להוכיח את אחת הזוויות השוות.

לאחר השלמת הזוויות השרטוט נראה כך:

תרגיל 6
ידוע כי BC || DE.
האם המשולשים דומים?

פתרון
ADE = ∠ABC  זוויות מתאימות שוות בין ישרים מקבילים.
ACB = ∠AED∠  זוויות מתאימות בין ישרים מקבילים.
ולכן:
ADE ∼ABC

תרגיל 7
נתון כי:
AB ⊥ EC
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
נשלים את הזוויות החסרות במשולשים.
במשולש ABC
A = 180 – 40 – 90 = 50.

לכן:
A = ∠D = 50
ABC = ∠DBE = 90
לכן יש בין המשולשים שתי זוויות שוות והמשולשים דומים על פי ז.ז.

לאחר השלמת הזוויות המשולשים נראים כך.

תרגיל 8 (תרגיל קשה מהקודמים)
משולש ABC הוא משולש ישר זווית (B = 90∠).
מעבירים את הגובה BD.
הוכיחו כי:
ADB ∼ ABC
וגם:
ADB ∼ BDC
רמז: הגדירו את זווית A כ x. והגדירו בעזרתה את שאר הזוויות במשולשים.

פתרון
סעיף א: הוכחת ADB ∼ ABC
נשים לב כי:

  1. זווית A היא זוויות משותפת לשני המשולשים.
  2. B = ∠ADB = 90  נתון
  3. ADB ∼ ABC   משולשים דומים על פי ז.ז.

סעיף ב: הוכחת ADB ∼ BDC

במשולש ABC על פי סכום זוויות במשולש מתקיים:
C = 180 – 90 – x = 90 -x
במשולש ADB על פי סכום זוויות במשולש.
ABD = 180 – 90 – x = 90 – x

נובע מכך כי:
C = ∠  ABD = 90 – x

כמו כן
BDC = ∠BDA = 90  (נתון).

ADB ∼ BDC משולשים דומים על פי ז.ז.

תרגילים בנושא המשפט הראשון והשלישי

נסו להוכיח בעזרת המשפט הראשון או השלישי כי המשולשים הבאים.
בחלק זה משולבים גם זוגות משולשים שאינם דומים. עליכם לזהות אותם.

משפט דמיון ראשון: צ.ז.צ
אם שתי צלעות במשולש מתייחסות באותה פרופורציה אל שתי צלעות במשולש אחר וגם הזווית שנמצאת בין שתי הצלעות שווה אז המשולשים דומים.

משפט דמיון שלישי: צ.ז.צ
אם קיימת פרופורציה זהה בין שלוש צלעות במשולש אחד לשלוש צלעות במשולש שני אז המשולשים דומים.

תרגיל 1
האם המשולשים שבשרטוט דומים?

פתרון
הנתונים שלנו הם על 3 צלעות ולכן עלינו לבדוק את משפט הדמיון השלישי.
עלינו לבדוק האם המנה של צלעות מתאימות שווה עבור שלושת הצלעות.
צלעות מתאימות הן:
הצלע הגדולה במשולש אחד עם הצלע הגדולה במשולש השני.
הצלע האמצעית בשני המשולשים.
הצלע הקטנה בשני המשולשים.

מנת הצלעות הגדולות היא:

מנת הצלעות הבינוניות:

המנה שונה. לכן משפט הדמיון השלישי לא מתקיים ואין צורך לבדוק את הזוג השלישי.

תרגיל 2
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
נתון לנו שתי צלעות וזווית.
לכן נבדוק את משפט הדמיון הראשון.

הזווית השווה.
נותר לנו לבדוק את הצלעות.
נחלק את הצלע הגדולה בצלע הגדולה ואת הצלע הקטנה בצלע הקטנה.
אם נקבל את אותו המספר בשני המקרים המשולשים דומים.

חלוקה של הצלעות הגדולות:

חלוקה של הצלעות הקטנות:

בשני המקרים קיבלנו את אותה המנה.
הזווית שבין הצלעות שווה בשני המשולשים.
לכן המשולשים דומים על פי צ.ז.צ

תרגיל 3
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
על מנת להוכיח דמיון משולשים עלינו לדעת את הזווית הנמצאת בין הצלעות.
ואנו לא יודעים אותה.
לכן לא ניתן להוכיח דמיון משולשים.
*שימו לב שיתכן שהמשולשים דומים, לא פסלנו את האפשרות הזאת, אבל על סמך הנתונים הללו לא ניתן להוכיח.

תרגיל 4
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
במשולש PKR לא נתונה לנו הזווית שבין שתי הצלעות לכן לא ניתן לקבוע באופן מיידי אם הם דומים.
אבל מכוון שזה משולש שווה שוקיים ניתן לחשב את הזווית שבין הצלעות.
נחשב:
R = ∠K = 50
P = 180 = 50 – 50 = 80

מצאנו כי:
A = ∠P = 80
כלומר הזווית שבין שתי הצלעות שווה.

עכשיו נבדוק אם היחס שבין הצלעות שווה.
עבור שתי הצלעות היחס הוא:
2 = 4 : 8
והיחס הוא שווה לכן המשולשים הללו דומים על פי צ.ז.צ
ABC ∼ PKR
מכוון שזה משולש שווה שוקיים ניתן לכתוב גם:
ABC ∼ PRK

תרגיל 5
האם המשולשים הללו דומים?

פתרון
נתונות לנו 3 צלעות ולא נתונות זוויות.
לכן נחפש התאמה אל משפט דמיון שלישי. צ.צ.צ.

נחלק את הצלע הגדולה בצלע הגדולה:

את הצלע הבינונית בצלע הבינונית:

את הצלע הקטנה בצלע הקטנה:

בשלושת המקרים היחס בין הצלעות שווה.
לכן המשולשים דומים על פי צ.צ.צ.

סיימנו.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.