יחס בין שטחים: חישוב שטחים שיש להם גובה או בסיס משותף

נושא שעולה בשאלות רבות הוא יחס השטחים בין צורות שיש להם צלע או גובה משותפים.

ברוב הצורות השטח מחושב על ידי מכפלת שתי צלעות או צלע וגובה ואם אחד מהגורמים הללו זהה זה אומר שיחס השטחים נקבע על ידי הגורם השני.

• את התרגיל הראשון גם תלמידים טובים בכיתה ח אמורים לדעת לפתור. עבור שאר התלמידים נדרש ידע של כיתות ט-י.
• יחס בין שטחים לחטיבת הביניים הוא דף נוסף הכולל תרגילים דומים אבל קלים יותר.

הדוגמה הנפוצה ביותר בתחום הזה הוא משולש החסום במלבן או מקבילית.

שטח משולש BEC יהיה תמיד שווה לחצי משטח המלבן ולא משנה איפה הנקודה E נמצאת (אך הנקודה E חייבת להיות על הצלע AD).

הוכחה:
שלב א: ניצור משוואות עבור שטח המשולש ושטח המלבן
שטח מלבן שווה ל:
S_ABCD = AB * BC
(משוואה 1).

שטח המשולש שווה ל:
S_BEC = 0.5EF*BC
(משוואה 2).

שלב ב: נוכיח כי גובה המשולש שווה לצלע המלבן
בנוסף מרובע AEFB הוא מלבן – כי יש בו 3 זוויות השוות ל 90 מעלות.
לכן:
AB = EF
(משוואה 3).

שלב ג: חישוב היחס בין השטחים
נציב את משוואה 3 במשוואה 2 ונקבל:
S_BEC = 0.5AB*BC
משוואה 1 היא:
S_ABCD = AB * BC

ניתן לראות ששטח המשולש הוא שטח המלבן כפול 0.5.
לכן שטח המלבן גדול פי 2 משטח המשולש.

אם היינו רוצים להוכיח זאת במשוואה היינו כותבים זאת כך:

תרגילים