משוואת ישר לפי שתי נקודות

בדף זה נלמד לפתור תרגילים שבהם נותנים לנו שתי נקודות ומבקשים שנמצא את משוואת הישר העובר בין שתי הנקודות הללו.

לדף זה 5 חלקים:

1. סרטון הסבר.
2. הסבר על שני השלבים למציאת משוואת ישר על פי שתי נקודות + דוגמאות.
3. הסבר כיצד להציב נכון בנוסחה ולהימנע מטעויות.
4. תרגילים בסיסיים.
5. תרגילים קשים יותר.
6. תרגילים לכיתה י.
7. נספח: טעויות היכולות להתרחש.

בדף זה נעשה שימוש בנוסחה y = mx + n
אלו שלומדים בבית הספר את הנוסחה
(y-y₁=m(x-x₁
שיעברו לדף משוואת ישר על פי 2 נקודות.

לפני שאתם לומדים את דף זה עליכם לדעת כיצד מוצאים משוואת ישר על פי שיפוע ונקודה.

1.סרטון הסבר

2.בקצרה: שני שלבים למציאת משוואת ישר על פי 2 נקודות

שלב 1: מוצאים את השיפוע של הישר על ידי הנוסחה:
אם הנקודה A היא (x₁,y₁) והנקודה B היא  (x₂,y₂) אז שיפוע הישר (m) העובר דרך שתי הנקודות הוא:

שלב 2: מציבים את השיפוע שמצאנו וערך אחת מהנקודות בנוסחה:

y = mx + n ואז מקבלים את משוואת הישר.

• חזרה על שימוש בנוסחה y = mx + n יש בדף מציאת משוואת ישר על פי שיפוע

2 דוגמאות שונות

דוגמה 1 (הסוג העיקרי שאתם צריכים לדעת)
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות (0,6)A  ו (10,1)B

שלב 1: מציאת השיפוע
נציב את הערכים של הנקודות במשוואה:

ונקבל:

השיפוע הוא 0.5-.

שלב 2: מציאת משוואת הישר
נציב m= -0.5  ואת הנקודה (0,6) בנוסחה:
y = mx + n

6 = – 0.5 * 0 + n
6 = n
y= – 0.5x + 6
זו משוואת הישר

דוגמה 2 (הוספת קושי)
מצאו את משוואת הישר העובר בנקודה (A(2,5 וגם בנקודה B שהיא נקודת החיתוך של הישר y =2x + 7 עם ציר ה y.

פתרון
הרעיון של הפתרון
יש לנו נקודה אחת (A(2,5.
נמצא את נקודת החיתוך של y =2x + 7  וזו תהיה הנקודה השנייה.

שלב א: מציאת נקודת החיתוך של הישר y =2x + 7 עם ציר ה y
מוצאים נקודת חיתוך עם ציר ה y על ידי הצבה x = 0 במשוואת הישר.
y =2x + 7
y = 2 *0 + 7
y = 7
הנקודה (B(0,7

עכשיו יש לנו שתי נקודות (A(2,5)   B(0,7
נפתור את התרגיל כמו שפתרנו את את הדוגמה הקודמת.

שלב ב: מציאת שיפוע הישר על פי הנוסחה
נציב את הנקודות (A(2,5)   B(0,7 בנוסחה:

נקבל:

שלב ג: מציאת משוואת הישר על פי שיפוע ונקודה
(m = -1    B(0,7
נציב את הנתונים הללו בנוסחה:
y = mx + n

7 = -1 * 0 + n
7 = n
תשובה: משוואת הישר היא
y = – x + 7

דוגמה 3 (מציאת משוואת ישר על פי גרף)
מצאו את משוואת הישר על פי הגרף שלמטה.

פתרון
נאתר שתי נקודות שקל לראות את הערכים שלהן על הגרף.
אני בחרתי את אלו אבל אתם יכולים לבחור נקודות אחרות.

הנקודות הן:
(A(1,2)   B(2,5
נמצא את שיפוע הישר על פי שתי הנקודות הללו:

נמצא משוואת ישר על פי שיפוע m = 3 ונקודה (1,2)

נציב את הנתונים הללו במשוואה
y = mx + n
2 = 3 * 1 + n
2 =3 + n
-1 = n

n = – 1, m = 3
נציב במשוואת הישר ונקבל:
y = mx + n
y = 3x -1
זו משוואת הישר המבוקשת.

דף נוסף באתר:

• הדף מציאת משוואת ישר המסביר על 5 הדרכים למציאת משוואת ישר.

3.סדר ההצבה של הנקודות בנוסחה

שימו לב שאתם מציבים נכון

כאשר אנו מקבילים שתי נקודות. איך נחליט איזו נקודה להציב במקום (x₁,y₁)  ואיזו נקודה להציב במקום (x₂,y₂) ?
התשובה היא שאין לזה חשיבות. ובשני המקרים נגיע לאותה תוצאה.

אבל אנו צריכים להקפיד לשמור על הסדר. אם הצבנו ערך y של נקודה משמאל במונה כ y₁ אז אנו צריכים להציב את הערך של x במכנה משמאל כ x₁.

עבור הנקודות:
(0,6)A  ו (10,1)B

מוצגות כאן 4 הצבות למציאת שיפוע, חלקן נכונות וחלקן לא בחרו את ההצבות הנכונות.
שימו לב שיש יותר מהצבה אחת  נכונה:

1.

 

2.

 

3.

 

4.

4.תרגילים

בחלק זה תרגילים עם פתרונות מלאים.

התרגילים זמינים לצפייה עבור כולם ולהדפסה עבור מנויים בקישור.

• משוואת ישר לפי שתי נקודות תרגילים

• תרגילים 1-2 הם תרגילים בסיסיים של הצבה בנוסחה.
• תרגילים 3-4 משלבים מציאת נקודות חיתוך עם הצירים. (דומים לדוגמה 2)
• תרגילים 5-6 קשים יותר ומיועדים לתלמידי כיתה י.

תרגיל 1
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות (2,5)  ו   (4,10).

תרגיל 2
מצאו את משוואת הישר העובר דרך הנקודות  (4,2)  ו  (8,2).

5.תרגילים קשים יותר