המושג “בעיות הוספה” הוא מושג שלא הייתם אמורים לשמוע במקום אחר.
זה מושג שלי המתייחס לבעיות שבהם כאשר מוסיפים משהוא לאיבר / קבוצה אחת באופן אוטומטי אנו מוסיפים אותו גם לאיבר / קבוצה אחרת.
בעיות גיל למשל, הן דוגמה לבעיות הוספה.
אם למשל גיל הילד הוא x וגיל האב הוא 2x אז בעוד 10 שנים:
x + 10 גיל הילד.
2x + 10 גיל האב.
10 נוסף לשני הגילאים.
בבעיות גיל כאשר מוסיפים מספר שנים לאחד האנשים, צריך להוסיף מספר שנים גם לגיל האחר.
דוגמה נוספת “לבעיות הוספה” הוא המקרה שבו קבוצה אחת היא חלק מקבוצה אחרת.
אם למשל בחנות כלי בית יש 120 מוצרים מתוכם 10 צלחות, כאשר נוסיף 2 צלחות לא רק מספר הצלחות יגדל ל 12 אלא גם מספר המוצרים בחנות יגדל ל 122.
תרגילים
תרגיל 1
גיל האב גדול פי 3 מגיל הילד.
בעוד 4 שני סכום הגילאים שלהם יהיה 68.
חשבו את גיל הילד היום.
פתרון
שלב א: בחירת משתנים
בדרך כלל המשתנה הוא מה ששואלים עליו.
שאלו על גיל הילד ולכן הוא המשתנה.
x גיל הילד.
3x גיל האב.
שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
בעוד 4 שנים גיל האב וגיל הילד יהיו גדולים ב 4 שנים מעכשיו.
x + 4 גיל הילד בעוד 4 שנים.
3x + 4 גיל האב בעוד 4 שנים.
המשוואה מבוססת על המשפט “בעוד 4 שני סכום הגילאים שלהם יהיה 68”.
3x + 4 + x + 4 = 68
נפתור את המשוואה
3x + 4 + x + 4 = 68
4x + 8 = 68 / -8
4x = 60 / :4
x = 15
גיל האב היום הוא:
3x = 3*15 = 45
תשובה: גיל הילד היום הוא 15, גיל האב הוא 45 שנים.
תרגיל 2
גיל האם גדול ב 25 שנה מגיל הבת. סכום הגילאים של הבת והאם הוא 45.
מצאו את גיל האם ואת גיל הבת.
פתרון
שלב א: בחירת משתנים
בדרך כלל המשתנה הוא מה ששואלים עליו.
שאלו על גיל האם וגיל הבת, לכן אחד מיהם יהיה המשתנה.
בדרך כלל נוח לבחור את המספר הקטן כמשתנה.
לכן נבחר בגיל הבת כמשתנה.
x – גיל הבת בשנים.
עלינו להגדיר את גיל האם גם כן בעזרת המשתנה.
האם גדולה ב 25 שנה ולכן גיל האם הוא:
x+25 – גיל האם בשנים.
שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
המשפט שעל פיו נבנה משוואה הוא:
“סכום הגילאים של הבת והאם הוא 45”.
סכום הגילאים של האם והבת הוא:
x+x+25
לכן המשוואה היא:
x+x+25=45
נפתור את המשוואה:
x+x+25=45 / -25
2x=20 /:2
x=10
גיל האם הוא
x+25
35 = 25 + 10.
תשובה: גיל הבת 10, גיל האם 35.
תרגיל 3
גיל האב הוא 32 וגיל הבת הוא 4.
בעוד כמה שנים היחס בין גיל הבת לגיל האב יהיה 1:7 ?
פתרון
שלב א: הגדרת משתנה
x מספר השנים שיעברו עד שגיל האב יהיה פי 7 מגיל הבת.
שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
x + 4 זה גיל הבת לאחר שיעברו x הזמן.
x + 32 זה גיל האב לאחר שיעברו x שנים.
כעבור x שנים גיל האב גדול פי 5 מגיל הבת.
לכן המשוואה היא:
x + 4)*5 = x + 32)
5x + 20 = x + 32 / -x -20
4x = 12 / : 4
x = 3
תשובה: בעוד 3 שנים גיל האב יהיה פי 5 מגיל הבת.
- בעיות גיל נוספות.
בעיות 4-5 הן בעיות יחס
תרגיל 4
בחנות צעצועים יש 410 מוצרים, מתוכם 50 כדורים.
כמה כדורים צריך להוסיף לחנות על מנת שהיחס בין הכדורים לכל המוצרים בחנות יהיה 1:4.
פתרון
שלב א: הגדרת משתנה
בדרך כלל המשתנה הוא מה ששואלים עליו, כאן שאלו על מספר הכדורים שצריך להוסיף, וזה מתאים להיות המשתנה.
x מספר הכדורים שצריך להוסיף על מנת שהיחס בין הכדורים לכל המוצרים בחנות יהיה 1:4.
שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
נחשב את מספר הכדורים והמוצרים במצב הרצוי.
x + 50 זה מספר הכדורים.
x + 410 זה מספר המוצרים.
המשפט שעל פיו בונים את המשוואה הוא: “היחס בין הכדורים לכל המוצרים בחנות יהיה 1:4”.
יחס של 1:4 אומר שמספר המוצרים יהיה פי 4 ממספר הכדורים.
המשוואה היא:
x + 50) * 4 = x+ 410)
דרך אחרת היא לבנות את המשוואה כמשוואת יחס:
כאשר נכפיל את המשוואה הזו במכנה המשותף שהוא x +410)*4) נקבל את המשוואה הראשונה שכתבנו.
נפתור את המשוואה
x + 50) * 4 = x+ 410)
4x + 200 = x + 410 / -x – 200
3x = 210 / :3
x = 70
תשובה: מספר הכדורים שצריך להוסיף הוא 70.
תרגיל 5
היחס בין העפרונות לכלי הכתיבה בקלמר הוא 2:7.
אם נוסיף עוד עפרון לקלמר היחס בין העפרונות לכלי הכתיבה יהיה 1:3.
מצאו את מספר העפרונות בקלמר.
פתרון
שלב א: הגדרת משתנה
2x מספר העפרונות בקלמר לפני ההוספה.
7x מספר כלי הכתיבה בקלמר לפני ההוספה.
- בדף בעיות יחס מוסברת הדרך להגדרת משתנה בבעיות יחס.
שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
לאחר הוספת 1 עפרון לקלמר המצב יהיה:
2x +1 מספר העפרונות
7x +1 מספר כלי הכתיבה.
המשוואה נשענת על המשפט “אם נוסיף עוד עפרון לקלמר היחס בין העפרונות לכלי הכתיבה יהיה 1:3”.
לכן לאחר ההוספה מספר כלי הכתיבה גדול פי 3 והמשוואה היא:
(7x + 1 = 3(2x +1
אפשרות אחרת לבניית המשוואה היא כמשוואת יחס:
כאשר נכפיל את המספר במכנה המשותף שהוא 7x +1) *3)
נקבל את המשוואה הראשונה שכתבנו.
(הערה: בבעיות עם יחסים מורכבים אין ברירה אלא לכתוב את המשוואה בדרך הזו, לכן כדאי שתדעו אותה).
נפתור את המשוואה
(7x + 1 = 3(2x +1
7x + 1 = 6x + 3 / -1 – 6x
x = 2
מספר העפרונות בקלמר לפני ההוספה הוא:
2x = 4
תשובה: מספר העפרונות בקלמר לפני ההוספה הוא 4.
עוד באתר: