בעיות יחס

שלב א: נגדיר את המספרים באמצעות x
x  המספר הקטן.
המספר הגדול גדול פי 3 מהמספר הקטן ולכן גודלו:
3x המספר הגדול.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
המספר הגדול גדול ב 8 מהמספר הקטן.
3x = x + 8  / -x
2x = 8  / :2
x = 4

המספר הקטן הוא 4.
המספר הגדול גדול ממנו פי 3 ולכן הוא 12.

שלב א: נגדיר את המספרים באמצעות x
2x המספר הקטן
5x המספר הגדול

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
מכפלת המספרים היא 90, לכן המשוואה היא:
2x * 5x = 90
10x² = 90  / :10
x² = 9
x = 3 או x = -3

אם x = -3 נקבל שני מספרים שליליים.
לכן x = 3

2x =6
5x = 15
תשובה: שני המספרים הם 6 ו 15.

פתרון התרגיל מבוסס על כך שסכום זוויות במשולש הוא 180 מעלות.
שלב א: נגדיר את הזויות באמצעות x
נגדיר את הזוויות הקטנה כ x.
הזוויות האמצעית היא גדולה פי 2 ולכן תהיה 2x.
הזווית הגדולה 6x.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
סכום שלושת הזוויות הוא 180 מעלות.
לכן המשוואה היא:
x + 2x + 6x = 180
9x = 180  / : 9
x = 20

שלב ג: מציאת שלושת הזוויות
x = 20    זו הזווית הקטנה.
2x = 40   זו הזווית הבינונית.
6x = 120   זו הזווית הגדולה.

שלב א: נגדיר את הזוויות באמצעות x
בשתי השאלות שפתרנו היחסים שקיבלנו היו:
3 : 1.
6 : 2 : 1.

בשני המקרים המספר 1 יצג את האיבר הקטן.
עכשיו היחס שלנו הוא:
5 : 4 : 3
אם נגדיר את הזוויות הקטנה כ x. מה יהיה גודלה של הזווית האמצעית?
1.333x (כי היא גדולה מהקטנה בשליש)
אבל מי רוצה לעבוד עם שברים! ?

לכן הבחירה הקלה והטובה היא להגדיר את זווית הקטנה כ 3x.
ואז:
4x   הזוויות האמצעית.
5x  הזווית הגדולה.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
סכום זוויות במרובע הוא 360.
ידועה לנו זווית אחת שגודלה 60.
לכן סכום שלושת הזוויות שאנו מחפשים הוא:
300 = 60 – 360

המשוואה שלנו היא:
3x + 4x + 5x = 300
12x = 300  / : 12
x = 25

שלב ג: מציאת שלושת הזוויות
3x = 75  הזווית הקטנה.
4x = 100 הזווית הבינונית.
5x = 125  הזווית הגדולה.

ניתן ורצוי לבדוק שארבעת הזוויות שלנו גודלן באמת 360 מעלות:
360 = 60 + 125 + 100 + 75

אורך הצלע גדול פי 2 מאורך הגובה.
נגדיר:
x  אורך הגובה.
לכן:
2x אורך הצלע.

נוסחת שטח המקבילית היא צלע כפול הגובה אל הצלע.
s = 2x * x = 2x²
2x² = 32
x² = 16
x = 4 או x = -4.

מכוון ש x מתאר גודל של גובה הוא חייב להיות חיובי.
x = 4
2x = 8
תשובה: ארך צלע המקבילית הוא 8 ס”מ. אורך גובה המקבילית הוא 4 סנטימטר.

שלב א: הגדרת שלושת הצלעות בעזרת משתנה אחד
עלינו להגדיר את אורך שלושת הצלעות באמצעות משתנה אחד.
נגדיר את הצלע הקטנה BC כ 2x.
לכן:
AB = 5x
AC = 4x

שלב ב: הגדרת היקפי המשולשים המבוקשים
היקף משולש ABD
AD + x + 5x
היקף משולש ACD
AD + x + 4x

שלב ג: בניית משוואה ופתרונה
אנו יודעים כי היקף משולש ABD גדול ב 3 סנטימטר מהיקף משולש ACD.
AD + x + 5x = AD + x + 4x + 3
AD + 6x = AD + 5x + 3
x = 3

שלב ד: חישוב אורכי הצלעות
BC = 2x = 6
AB = 5x = 15
AC = 4x = 12

שלב א: הגדרת הניצבים באמצעות x
6x  אורך הניצב הקטן.
8x אורך הניצב הגדול.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
על פי משפט פיתגורס:
6x)² + (8x)² = 10²)
36x² + 64x² = 100
100x² = 100 / : 100
x² = 1
x = 1  או x = -1

מכוון ש 6x הוא אורך צלע וצריך להיות חיובי אז התשובה x = -1 נפסלת.
התשובה x = 1.

שלב ג: מציאת אורכי הניצבים
6x = 6  אורך הניצב הקטן.
8x = 8 אורך הניצב הגדול.תרג

ניתן ורצוי לבדוק את גודלי הצלעות שקיבלנו באמצעות משפט פיתגורס.
10² = 8² + 6²
100 = 64 + 36
100 = 100

שלב א: הגדרת משתנה
x מספר השנים שיעברו עד שגיל האב יהיה פי 5 מגיל הבת.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
x + 4  זה גיל הבת לאחר שיעברו x הזמן.
x + 32 זה גיל האב לאחר שיעברו x שנים.

כעבור x שנים גיל האב גדול פי 5 מגיל הבת.
לכן המשוואה היא:
x + 4)*5 = x + 32)
5x + 20 = x + 32  / -x -20
4x = 12  / : 4
x = 3

תשובה: בעוד 3 שנים גיל האב יהיה פי 5 מגיל הבת.

נגדיר:
x מספר השנים שצריך לעבור על מנת שהיחס יהיה 0.4.

x + 6 יהיה גילה של דליה בעוד x שנים.
x הוא גילו של האח בעוד x שנים.

בעוד x שנים היחס בין הגילאים יהיה 0.4 לכן המשוואה היא:

נכפיל במכנה שהוא x + 6 ונקבל:

(x = 0.4(x + 6
x = 0.4x + 2.4
0.6x = 2.4  / : 0.6
x = 4

גילה של דליה בעוד 4 שנים יהיה:
10 = 4 + 6

נשים לב שלשני המשולשים הללו יש גובה משותף AE.

לכן נגדיר את שטחי המשולשים בעזרת גובה זה, שיצטמצם כאשר נחשב את היחס.

נשים לב כי קיבלנו בנתונים:

ולכן:

הבעיה בתרגיל הזה היא שהכמות היא של פיצוחים ואילו היחס הוא של שקיות.
על מנת לפתור את התרגיל עלינו להפוך את היחס ליחס של פיצוחים ולא שקיות.

היחס בין שקיות האגוזים לשקדים הוא 1:3
בשקית יש 20 שקדים או 30 אגוזים.
לכן על כל 30 אגוזים יש 3*20= 60 שקדים.

היחס בין האגוזים לשקדים הוא 30:60
1:2

נגדיר:
x מספר האגוזים.
2x מספר השקדים.

המשוואה היא:
x + 2x = 990
3x = 990
x = 330
תשובה: בקופסה 330 אגוזים.

סעיף ב: מספר השקיות
בשקית יש 30 אגוזים.
לכן מספר השקיות הוא:
11 = 30 : 330

היחס בין שקיות האגוזים לשקדים הוא 1:3.
לכן יש 11*3 = 33 שקיות שקדים.

שלב א: הגדרת משתנה
בדרך כלל המשתנה הוא מה ששואלים עליו, כאן שאלו על מספר הכדורים שצריך להוסיף, וזה מתאים להיות המשתנה.
x  מספר הכדורים שצריך להוסיף על מנת שהיחס בין הכדורים לכל המוצרים בחנות יהיה 1:4.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
נחשב את מספר הכדורים והמוצרים במצב הרצוי.
x + 50  זה מספר הכדורים.
x + 410  זה מספר המוצרים.

המשפט שעל פיו בונים את המשוואה הוא: “היחס בין הכדורים לכל המוצרים בחנות יהיה 1:4”.
יחס של 1:4 אומר שמספר המוצרים יהיה פי 4 ממספר הכדורים.
המשוואה היא:
x + 50) * 4 = x+ 410)

דרך אחרת היא לבנות את המשוואה כמשוואת יחס:

כאשר נכפיל את המשוואה הזו במכנה המשותף שהוא x +410)*4) נקבל את המשוואה הראשונה שכתבנו.

נפתור את המשוואה
x + 50) * 4 = x+ 410)
4x + 200 = x + 410  / -x – 200
3x = 210  / :3
x = 70

תשובה: מספר הכדורים שצריך להוסיף הוא 70.

שלב א: נמצא את מספר הכיסאות והשולחנות שיש עכשיו בחנות
2x מספר השולחנות.
5x מספר הכיסאות.

2x + 5x = 49
7x = 49
x = 7
14 שולחנות.
35 כיסאות.

שלב ב: נמצא כמה שולחנות צריך להוסיף
x מספר השולחנות שצריך להוסיף.
x + 14 הוא מספר השולחנות לאחר ההוספה.
35 הוא מספר הכיסאות.

היחס בין השולחנות לכיסאות הוא 5:7 ולכן המשוואה היא:

נכפיל את המשוואה ב 35 ונקבל:
x + 14 = 5*5
x = 25 – 14 = 11

עלינו להוסיף 11 שולחנות.
מספר השולחנות לאחר ההוספה יהיה:
25 = 11 + 14

תשובה: כאשר נוסיף 11 שולחנות היחס בין הכיסאות לשולחנות יהיה 5:7.
מספר השולחנות במקרה זה יהיה 25.

שלב א: הגדרת משתנה
2x  מספר העפרונות בקלמר לפני ההוספה.
7x מספר כלי הכתיבה בקלמר לפני ההוספה.

• בדף בעיות יחס מוסברת הדרך להגדרת משתנה בבעיות יחס.

שלב ב: בניית משוואה ופתרונה
לאחר הוספת 1 עפרון לקלמר המצב יהיה:
2x +1  מספר העפרונות
7x +1 מספר כלי הכתיבה.

המשוואה נשענת על המשפט “אם נוסיף עוד עפרון לקלמר היחס בין העפרונות לכלי הכתיבה יהיה 1:3”.
לכן לאחר ההוספה מספר כלי הכתיבה גדול פי 3 והמשוואה היא:
(7x + 1 = 3(2x +1

אפשרות אחרת לבניית המשוואה היא כמשוואת יחס:

כאשר נכפיל את המספר במכנה המשותף שהוא 7x +1)  *3)
נקבל את המשוואה הראשונה שכתבנו.

(הערה: בבעיות עם יחסים מורכבים אין ברירה אלא לכתוב את המשוואה בדרך הזו, לכן כדאי שתדעו אותה).

נפתור את המשוואה
(7x + 1 = 3(2x +1
7x + 1 = 6x + 3  / -1 – 6x
x = 2

מספר העפרונות בקלמר לפני ההוספה הוא:
2x = 4
תשובה: מספר העפרונות בקלמר לפני ההוספה הוא 4.

הפאזלים הם הגורם המשותף בשני היחסים. ואנו צריכים שאותו מספר ייצג אותם בשני היחסים וכך נוכל להשוות בין הבובות לכדורים.
המספר המייצג את הפאזלים יכול להגיע ל 24 בשני היחסים.

נכפיל את היחס הראשון פי 4 ונקבל
20:24 הוא היחס בין הבובות לפאזלים.
נכפיל את היחס השני פי 3 ונקבל:
9:24 הוא היחס בין מספר הכדורים למספר הפאזלים.

מצאנו כי על כל 24 פאזלים יש 20 בובות ו 9 כדורים.
לכן היחס בין הבובות לכדורים הוא 20:9.

שלב א: בחירת משתנים
מכוון שאנו לא יודעים על קשר בין המשתנים עלינו לבחור שני משתנים.
x  המספר הקטן
y  המספר הגדול

שלב ב: בניית משוואות
המשוואה הראשונה מבוססת על המשפט “נוסיף למספר הגדול 4 ונחסיר מהקטן 2 היחס בין המספרים החדשים יהיה 1:3”
y+ 4  זו הוספת 4 לגדול
x – 2 זה חיסור 2 מהקטן.

היחס הוא 1:3, כלומר המספר קטן קטן פי 3 מהגדול.
לכן המשוואה היא:
x – 2) * 3 = y + 4)
3x – 6 = y + 4
3x – 10 = y

המשוואה השנייה מבוססת על המשפט “אם נחסר מהמספר הגדול 2 ונחסר מהקטן 1 היחס בין המספרים החדשים יהיה 1:2”
y – 2 זה חיסור 2 מהגדול.
x – 1 זה חיסור 1 מהקטן.

היחס הוא 1:2 כלומר הקטן קטן פי 2 מהגדול.
לכן המשוואה היא:
x – 1) * 2 = y – 2)
2x – 2 = y  – 2
2x = y

שלב ג: פתרון המשוואות
3x – 10 = y
2x = y
את שתי המשוואות הללו נוח לפתור בשיטת ההצבה.
3x – 10 = 2x
x = 10

המספר הגדול שווה ל:
y = 2x = 2*10 = 20
תשובה: המספר הקטן שווה ל 10, המספר הגדול שווה ל 20.