סדרה הנדסית

בדף זה ובקישורים היוצאים ממנו נלמד על סדרה הנדסית.

בדף זה נתמקד בנוסחת האיבר הכללי.

בקישורים היוצאים נתמקד בסכום סדרה הנדסית.

החלקים של דף זה הם:

1. נוסחאות סדרה הנדסית.
2. קישורים.
3. סיכום בוידאו.
4. תרגילים בנושא נוסחת האיבר הכללי.

1.נוסחאות סדרה הנדסית

נוסחת האיבר הכללי:    a_n=a₁q^n-1

נוסחת סכום סדרה הנדסית

נוסחת סכום סדרה הנדסית אינסופית

2.קישורים

הדפים החשובים הם:

1. סכום סדרה הנדסית (דף מסכם).
2. סכום סדרה הנדסית מתכנסת (נושא חשוב!)
3. הוכחת סדרה הנדסית.

שני דפים נוספים שכלולים בסיכום הם:

1. סדרה הנדסית סכום האיברים במקומות האחרונים.
2. סדרה הנדסית סכום האיברים הזוגיים או האי זוגיים.

עבור תלמידי 3 יחידות יש את הדף סדרה הנדסית שאלון 381.

3.סרטונים מסכמים

הסרטונים מסכמים את הנושאים של:

1. נוסחת האיבר הכללי.
2. סכום סדרה הנדסית.

4.תרגילים בנושא נוסחת האיבר הכללי

תרגילים 1-2 הם תרגילים בסיסיים להכרת הנוסחה.
תרגילים 3-7 הם תרגילים קשים יותר, שלרוב דורשים פתרון שתי משוואות עם שני נעלמים.

תרגיל 1
כתבו את הנוסחה לאיבר הכללי ונוסחת סכום הסדרה ההנדסית עבור הסדרה     32,   8,   2.

פתרון
נשתמש בסדרה על מנת לזהות את:
a₁   האיבר הראשון של הסדרה.
q   מנת הסדרה.

האיבר הראשון הוא 2.
אנו רואים שכל איבר גדול מקודמו פי 4, לכן q=4.

נוסחת האיבר הכללי בסדרה הנדסית היא:
a_n=a₁q^n-1
a_n = 2 * 4^{n – 1}

נוסחת הסכום של סדרה הנדסית:

תרגיל 2
כתבו את הנוסחה לאיבר הכללי ונוסחת סכום הסדרה ההנדסית עבור הסדרה     0.2-,   1-,   5-.

פתרון
רואים כי:
a₁ = -5
כל איבר קטן מקודמו פי 5.
לכן מנת הסדרה היא:
q = 1/5 = 0.2

לכן משוואת האיבר הכללי היא:
a_n=a₁q^n-1
a_n = -5 * 0.2^{n – 1}

משוואת הסכום היא:

תרגיל 3  (שימוש בנוסחת האיבר הכללי)
אלו שני מספרים ניתן להוסיף למספרים 4 ו- 500 כך שתיווצר סדרה הנדסית עם 4 איברים.

פתרון
נתון לנו כי:
a₁ = 4
a₄ = 500

נציב את הנתונים הללו במשוואת האיבר הכללי ונמצא את q.
n = 4
a_n=a₁q^n-1

מצאנו שמנת הסדרה היא 5.
עכשיו ניתן למצוא את a₂, a₃.
a₂ = a₁ * q = 4 * 5 = 20
a₃ = a₂ * q = 20 * 5 = 100

תשובה: שני האיברים הנוספים הם a₂  = 20,  a₃ = 100.

דרך נוספת לפתור את התרגיל.
איברים סמוכים בסדרה ההנדסית מקיימים:

a₁ = 4  נתון.
a₂ = a₁ *q = 4q
a₃ = a₁q² = 4q²
a₄ = 400  נתון.

נציב את הנתונים במשוואה ונקבל:

16q³ = 2000
q³ = 125
q = 5

נמצא את a₂, a₃
a₂ = 4 * 5 = 20
a₃ = 20 * 5 = 100

תשובה: ארבעת האיברים של הסדרה ההנדסית הם:   500, 100, 20,  4.

תרגיל 4 (שימוש בנוסחת האיבר הכללי)
בסדרה הנדסית האיבר החמישי הוא 5  והאיבר השלישי הוא 20 מצאו את האיבר הראשון אם ידוע ש q > 0.

עוד באתר:

• סכום סדרה הנדסית.
• סכום סדרה הנדסית אינסופית.
• סדרה חשבונית.
• בגרות במתמטיקה 4 יחידות.
• בגרות במתמטיקה 5 יחידות.