נוסחת ברנולי 5 יחידות

סעיף א: חישוב ההסתברות לפגוע פעם אחת
נגדיר p כהסתברות לפגוע פעם אחת.
נחשב את ההסתברות לפגוע 2 מתוך 6 בעזרת נוסחת ברנולי.
נחשב את המקדם הבינומי.
6! = 720
4! * 2! = 48
720/48 = 15 זה המקדם הבינומי.
15p²(1-p)⁴  ההסתברות ל 2 מתוך 6.

נחשב את ההסתברות ל 4 מתוך 6.
נחשב את המקדם הבינומי.

6!= 720
4! * 2! = 48
720/48 = 15

15 הוא המקדם הבינומי.

²(15p⁴(1-p ההסתברות ל 4 מתוך 6.

המשוואה היא:
15p⁴(1-p)² * 81 = 15p²(1-p)⁴
81p²=(1-p)²
81p²-1+2p – p²=0
80p²+2p-1=0

נפתור בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
p=0.1, p= -0.125
p הוא ערך הסתברותי הגדול מ 0 ולכן p=0.1.
תשובה: ההסתברות שהצלף יפגע בירייה בודדת הוא 0.1.

סעיף ב: ההסתברות לפגוע לפחות פעם אחת
ההסתברות לפגוע לפחות פעם אחת היא ההסתברות לפגוע 1 או 2 או 3 או 4 או 5 או 6 פעמים.
לחשב את כל ההסתברויות האלו זה ארוך.
ההסתברות המשלימה היא לפגוע 0 פעמים. נחשב אותה:
0.9 זו ההסתברות לפספס פעם אחת, לכן ההסתברות לפספס 6 פעמים היא:
0.531441 = 0.9⁶

לכן ההסתברות לפגוע לפחות פעם אחת היא:

0.468559 = 1-0.531441

תשובה: ההסתברות לפגוע לפחות פעם אחת היא  0.468559.

סעיף ג: הסתברות מותנה
ההסתברות לפגוע “לא יותר מפעמיים” היא ההסתברות לפגוע 0 או 1 או 2 פעמים.
מהסעיפים הקודמים אנו יודעים כי:
p(0) = 0.9⁶ = 0.531441 .
p (2) = 15*0.1²(0.9)⁴ = 0.098415

עכשיו עלינו לחשב את ההסתברות לפגוע פעם אחת.
נחשב את המקדם הבינומי:

6!= 720
5! * 1! = 120
720/120=6

6 הוא המקדם הבינומי.
p (1) = 6*0.1*0.9⁵ = 0.354294

ההסתברות לפגוע 0 או 1 או 2 היא:
0.983 = 0.531 + 0.354 + 0.098
p (2) = 0.098

לכן ההסתברות שאנו מחפשים היא 0.098 מתוך 0.983.

לכן ההסתברות המבוקשת היא:

חישוב זה הוא בהתאם לנוסחת ההסתברות המותנית:

תשובה: ההסתברות לפגוע פעמיים אם ידוע שפגעו לכול היותר פעמיים היא 0.0996.
הרחבה בנושא הסתברות מותנית תמצאו בקישור.

נגדיר p כהסתברות לפגוע במטרה בירייה בודדת.
p⁴ זו ההסתברות לפגוע במטרה 4 פעמים.
(4p³(1-p זו ההסתברות לפגוע במטרה 3 פעמים (על פי נוסחת ברנולי, וניתן להגיע לכך גם בהגיון).
המשוואה היא:
4p³(1-p) = 9.333p⁴
4-4p = 9.333p
4=13.333p
p = 0.3
תשובה: ההסתברות לפגוע במטרה בירייה בודדת היא 0.3.

סעיף ב.
“לפחות פעם אחת” זה אומר 1,2,3,4 פעמים. ההסתברות המשלימה, והקלה יותר לחישוב, היא לפגוע 0 פעמים.
0.7⁴= 0.2401   זו ההסתברות לפספס 4 פעמים.
ההסתברות המשלימה היא:
1-0.2401 = 0.7599
תשובה: ההסתברות לפגוע לפחות פעם אחת היא 0.7599.

סעיף ג.
זו שאלה בהסתברות מותנית.
“פספס לכול היותר פעם אחת” זה אומר שהוא פגע 3 או 4 פעמים.
0.3⁴ = 0.0081  זו ההסתברות לפגוע 4 פעמים.
0.3³*0.7*4 = 0.0756 זו ההסתברות לפגוע 3 פעמים.
ההסתברות לפגוע 3 או 4 פעמים היא:
0.0837 = 0.0756  + 0.0081

ההסתברות המבוקשת היא:
p = 0.0081 / 0.0837 = 0.0967
תשובה: 0.0967.

ההסתברות שהצלף “יצליח” בתחרות היא:

0.4⁴ = 0.0256.

עכשיו נשתמש בנוסחת ברנולי על מנת לחשב את ההסתברות להצליח 5 או 6 פעמים.
p=0.0256.

ההסתברות להצליח 6 פעמים היא:

0.0256⁶ = 0.0000000003
(יש כאן 9 אפסים).

ההסתברות להצליח 5 פעמים:
נחשב את המקדם הבינומי.

6!= 720
5!*1! = 120
720/120=6

6 * 0.0256⁵ * (1 – 0.0256)¹ = 0.00000006428
ההסתברות להצליח 5 או 6 פעמים:

0.00000006428 + 0.0000000003 = 0.00000006458

עלינו לחשב בעזרת נוסחת ברנולי את ההסתברות של כל אחד מיהן להצליח 3 פעמים ואז להכפיל את ההסתברויות.

עבור הצלף הראשון:
p=0.2
חישוב המקדם הבינומי.
4! = 24
3! * 1! = 6
24/6=4 (המקדם הבינומי).
ההסתברות היא:
4*0.2³*0.8 = 0.0256.

עבור הצלף השני.
p=0.6
חישוב המקדם הבינומי.
5! = 120
3!*2! = 12
120/12=10 (המקדם הבינומי).
ההסתברות היא:
10*0.4³ * 0.6² = 0.2304

ההסתברות ששתי המאורעות יתרחשו ביחד היא:
0.2304 * 0.0256 = 0.00589824

סעיף א
על מנת ששחר יצבור בדיוק 60 נקודות עליו לענות נכונה על שאלה אחת מתוך 3.

ההסתברות לענות נכונה היא 0.25.

לכן על פי ברנולי ההסתברות ל 1 מתוך 3 היא:

p = 3 * 0.25 * 0.75² = 0.421875

תשובה: ההסתברות לקבל בדיוק 60 היא 0.421875.

סעיף א חלק 2
על מנת לעבור את המבחן עליו לענות על שאלה אחת / שתי שאלות / שלוש שאלות.
כלומר, כל האפשרויות טובות חוץ מ 0 תשובות נכונות.
לכן נחשב את ההסתברות בעזרת הסתברות משלימה.

ההסתברות ל 0 תשובות נכונות היא:
p =  0.75³ = 0.421875
לכן ההסתברות לעבור את המבחן היא:
0.578125 = 0.421875 – 1

סעיף ב
שאלה זו דומה לסעיף א. רק שההסתברות לענות נכונה היא 1/3.
נחשב בעזרת ברנולי:
p = 3 * (1/3) * (2/3)² = 4/9
תשובה: ההסתברות לעבור היא 4/9

סעיף ג
ההסתברות לענות על תשובה אחת בצורה נכונה היא:

ההסתברות לענות על תשובה בצורה לא נכונה היא:

המשמעות של 60 נקודות היא שאף תשובה לא תהיה נכונה.
המשמעות של 100 נקודות היא ששתי התשובות יהיו נכונות.
שתי ההסתברויות הללו שוות.
לכן המשוואה היא:

מכוון ששתי ההסתברויות הן גדלים חיוביים ניתן להוציא שורש בשני צדדי המשוואה ולקבל:

k = 2

דרך שנייה לפתרון
ההסתברות להצליח היא:

בעזרת ברנולי נחשב את ההסתברות להצליח 2 פעמים או 0 פעמים.
והמשוואה תהיה שאלו הסתברויות שוות.

ההסתברות להצליח 0 פעמים על פי ברנולי:

ההסתברות להצליח 2 פעמים על פי ברנולי:

והמשוואה היא:

והמשך הפתרון הוא כפי שפתרנו קודם.

א. על מנת לפתור סעיף זה יש להשתמש בנוסחת ברנולי.
P – זו ההסתברות לדגום אדם עם קלנועית.
נחשב את המקדם הבינומי של 4 מ 9.
9! = 362,880
5! * 4! = 24*120 = 2880.
126 =2880 / 362,880
126P⁴(1-P)⁵  זה הביטוי שנותן את ההסתברות לבחור 4 מ 99.

נחשב את ההסתברות לבחור 6 מ 9.
המקדם הבינומי עבור הסתברות זו הוא:
9! = 362,880
6! * 3! = 4320
84 = 4320 / 362,880
84P⁶(1-P)³  זה הביטוי שנותן את ההסתברות לבחור 6 מ 9.

הביטוי הראשון גדול פי 24 מהראשון לכן המשוואה היא:
84P⁶(1-P)³ *24 =  126P⁴(1-P)⁵
2016P² = 126(1-P)²
16P² = (1-P)² = 1-2P+P²
15P² +2P-1=0
נפתור משוואה זו בעזרת נוסחת השורשים ונקבל:
P=0.2,   האפשרות השנייה המתקבלת היא שלילית ולכן לא יכולה להיות ערך של הסתברות.
תשובה: ההסתברות שלנבחר באקראי יש קלנועית היא 0.22.

ב. יש 4 אפשרויות במרחב המדגם:
ל 3 או 4 או 5 או 6 יש קלנועית. נחשב כל אחת מהאפשרויות.
ל 3 יש:
המקדם הבינומי של 3 מ 6 הוא:
6! = 720
3! * 3! = 36
20 = 36 / 720
T₃ = 20 *0.2³ * 0.8³ = 0.08192
ל 4 יש:
המקדם הבינומי של 4 מ 6:
6! = 720.
4! * 2! = 48
15 = 48 / 720
T₄ = 15*0.2⁴*0.8² = 0.01536
T₅ = 6*0.2⁵*0.8 = 0.01536
T₆ = 0.2⁶ = 0.000064
סך כל ההסתברויות במרחב המדגם הוא:
0.08192+ 0.0136 + 0.01536 + 0.000064 = 0.110944
ההסתברות המבוקשת היא:
L = 0.01536 / 0.110944 = 0.13844
תשובה: ההסתברות המבוקשת היא  0.13844

ג. על מנת שזה יקרה צריכים לבחור 2 אנשים על קלנועית מתוך 5 האנשים הראשונים ולאחר מיכן האדם השישי צריך להיות עם קלנועית.
נשתמש בנוסחת ברנולי על מנת למצוא את ההסתברות לבחור 2 מ 5.
המקדם הבינומי הוא:
5! = 120
3! * 2! = 12
10 = 120:12
נציב בנוסחת ברנולי:
10*0.2² * 0.8³
0.2048 =
נכפיל הסתברות זו בהסתברות לבחור אדם שישי עם קלנועית:
0.04096 = 0.2*0.2048
תשובה: ההסתברות היא 0.040966.