בעיות הספק

דף זה הוא הכנה לבחינת הבגרות ברמת 5 יחידות בנושא בעיות הספק.
בעיות הספק הן בעיות הדומות מאוד במבנה שלהם לבעיות תנועה.
אבל בעיות הספק קשות יותר כי המושגים שלמהירות, זמן, דרך הם חלק מהעולם היום יומי שלנו. לעומת המושג של הספק שבו אנו משתמשים פחות.

לדף 4 חלקים:

  1. הסבר קצר מהו הספק.
  2. שאלות בסיסיות ללימוד החומר.
  3. שאלות הכנה לבגרות.
  4. שאלות מהבגרות עצמה.

1. מהו הספק

הספק הוא כמות עבודה שאנו מבצעים ביחידת זמן.
אם מכונה מייצרת 3 כיסאות בשעה אז ההספק שלה הוא 3 בשעה.
גנן השותל 6 צמחים ביום ההספק שלו הוא 6 ביום.
ברז הממלא 100 ליטרים ב 20 שעות ההספק שלו הוא
5 = 20 : 100
הספק הברז הוא 5 ליטרים בשעה.

אבל.
אם ברז ממלא בריכה ב 12 יום, מהוא ההספק שלו?
פתרון
את יחידת הזמן תמיד ניקח מהשאלה.
במקרה זה מדברים על ימים.

אם הברז ממלא בריכה ב 12 יום אז ההספק שלו הוא 1/12 מהבריכה ביום.

אם פועל חופר בור ב 4 ימים אז ההספק שלו הוא 1/4 בור ביום.

הנוסחה שבה משתמשים בבעיות הספק

הספק x זמן העבודה = העבודה שבוצעה

שימו לב לדמיון שבין הנוסחה הזו לנוסחה שבה אנו משתמשים בבעיות תנועה.
מהירות x זמן = דרך.

מהירות רכב היא כמו ההספק.
זמן הוא זמן.
והדרך שעובר הרכב היא כמו העבודה שנעשתה.

טיפ לבחירת משתנה

שלב ראשון בפתרון בעיות הספק, כמו כל סוגי הבעיות האחרות הוא בחירת משתנה.
ברוב המוחלט של השאלות המשתנה הוא ההספק או הזמן.

כאשר אתם קוראים שאלה בדקו אם ההספק נתון לכם.
אם ההספק לא ידוע ההספק הוא המשתנה.
אם ההספק ידוע אז הזמן הוא המשתנה.

2. שאלות בסיסיות ללימוד החומר

תרגילים 1-3 הם תרגילים בסיסיים.
תרגילים 4-5 קשים יותר.

תרגיל 1

נגר מייצר 4 כיסאות ביום. כמה כיסאות הנגר ייצר ב 10 ימים?

פתרון
הנוסחה שלנו היא:
כמות = זמן * הספק
לכן:
40 = 10 * 4
תשובה: הנגר יצר 40 כיסאות ב 10 ימים.

תרגיל 2

נגר מנסה לייצר 60 כיסאות.
פעם אחת הנגר יצר כיסא אחד יותר בכול יום ולכן סיים את העבודה 5 ימים לפני.
כמה כיסאות הנגל מייצר ביום עבודה רגיל?

פתרון
נגדיר:
x כמות הכיסאות שהנגר מיצר ביום רגיל.
x + 1   כמות הכיסאות שהנגר יצר ביום כאשר שינה את הקצב.

הזמנים:
זה מספר הימים שהנגר עובד בקצב הרגיל

זה מספר הימים שהנגר עובד כאשר האיץ את הקצב

בטבלה הנתונים נראים כך:

קצבזמןעבודה
רגילx60
מהירx + 160

המשוואה:
הקצב האיטי היה איטי ב 5 ימים לכן המשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
(x(x + 1

60x + 60 – 5x(x +1) = 60x  / -60x
5x² – 5x + 60 = 0  / : -5-
x² + x – 12 = 0
הפתרונות של המשוואה הריבועית הם:
x = 3  או x = -4
x הוא גודל חיובי לכן התשובה היא:
x = 3
תשובה: הנגר מיצר ביום רגיל 3 כיסאות.

תרגיל 3

פועל אחד שותל 6 פרחים בשעה.
פועל שני שותל 4 פרחים בשעה.
שני הפועלים היו צריכים לשתול את אותה כמות פרחים.
על מנת לעשות זאת הפועל האיטי עבד 4 שעות יותר.
מצאו את כמות הפרחים שכל אחד מהפועלים שתל.

פתרון
נגדיר:
t   הזמן שהפועל האיטי עבד.
t +4 הזמן שהפועל האיטי עבד.

שני הפועלים שתלו את אותה כמות לכן המשוואה היא:
(6t = 4(t +4
6t = 4t + 16
2t = 16
t = 8

הפועל המהיר שתל:
48= 6 * 8
תשובה: כל אחד מהפועלים שתל 48 פרחים.

פתרון בדרך שנייה
x כמות הפרחים שכל אחד מהפועלים שתל.

לכן הזמנים הם:
x : 6  זה הזמן שעבד הפועל ששותל 6 פרחים.
x : 4 זה הזמן שעבד הפועל ששותל 4 פרחים.

המשוואה היא:

נכפיל את המשוואה פי 12 ונקבל:
3x = 2x + 48
x = 48
תשובה: כל אחד מהפועלים שתל 48 פרחים.

תרגיל 4

שני גננים צריכים לשתול כל אחד 120 עצים.
הקצב של המהיר גדול ב 2 עצים לשעה מהקצב של של האיטי.
לאחר 10 שעות עבודה המהיר הפסיק ל 3 שעות ולאחר מיכן המשיך בקצב כפול מהקצב שבו התחיל.
כתוצאה מכך זמן העבודה של המהיר (כולל המנוחה) היה חצי מזמן העבודה של האיטי.
מצאו את קצב השתילה של כל אחד מהגננים.

פתרון
נגדיר:
x כמות העצים בשעה ששותל האיטי.
x + 2 כמות העצים בשעה ששותל המהיר.

הזמנים
הפועל האיטי עובד בקצב קבוע כל הזמן וזה זמן העבודה שלו.

הפועל המהיר עובד 10 שעות, נח 3 שעות ובקטע האחרון קצב העבודה שלו הוא:
2x + 4
וזמן העבודה שלו בחלק האחרון הוא:

בטבלה הנתונים נראים כך:

קצבזמןעבודה
איטיx120
מהיר התחלה.x + 21010x +20
מהיר מנוחה030
מהיר סוף2x + 4

המשוואה
הפועל המהיר עבד חצי מהזמן של הפועל האיטי ולכן המשוואה שלנו היא:

כאשר נפתור את המשוואה נקבל x = 3.
לכן:
3 עצים בשעה זה קצב השתילה של הפועל האיטי.
5 עצים בשעה זה קצב השתילה של הפועל המהיר.

תרגיל 5

שני פועלים צריכים ליצר יחד 70 כיסאות.
יום אחד הפועל המהיר עבד 2 שעות לבדו ואז שני הפועלים המשיכו יחד 10 שעות וסיימו את העבודה.
יום אחר עם התחילו לעבוד יחד למשך 3.5 שעות הפועל המהיר יצא להפסקה של 1 שעה, חזר ואת יתר העבודה הם סיימו יחד תוך 8 שעות.
מצאו את קצב יצור הכיסאות של כל אחד מהעובדים.

פתרון
בשאלה הזו אין קשר בין קצב העבודה של הפועלים ולכן צריך להשתמש בשני נעלמים על מנת לפתור.
x  מספר הכיסאות בשעה שמייצר הפועל המהיר.
y  מספר הכיסאות בשעה שמייצר הפועל האיטי.

נבנה משוואה עבור כל אחד מהימים.
ביום הראשון הפועל המהיר עבד 12 שעות ואילו האיטי עבד 10 שעות.
לכן המשוואה היא:
12x + 10y = 70

ביום השני הפועל המהיר עבד 11.5 שעות ואילו האיטי 12.5 שעות ולכן המשוואה היא:
11.5x + 12.5y = 70

אלו שתי המשוואות שקיבלנו.
12x + 10y = 70
11.5x + 12.5y = 70

נפתור בשיטת השוואת מקדמים.
נכפיל את המשוואה הראשונה פי 5 ואת המשוואה השנייה פי 4.
60x + 50y = 350
46x + 50y = 280
נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה.
14x = 70
x = 5
נמשיך את הפתרון ונמצא y= 1.
תשובה: המהיר מיצר 5 כיסאות בשעה והאיטי מיצר 1 כיסאות בשעה.

עוד באתר:

3. שאלות בהן אנו לא יודעים מה כמות המדויקת של העבודה שבוצעה

בשאלות קשות יותר לא ידברו על כמות מסוימת של עבודה, אלא הכמות תהיה 1.
המקרה הנפוץ ביותר בשאלות: ברז ממלא בריכה.
מה כמות העבודה שהברז בסך הכל עושה? 1 בריכה.
ואם הוא ממלא את הבריכה ב x שעות אז מה ההספק של הברז?

אחד לחלק ב X

זכרו זאת היטב.
ברוב השאלות זאת תהיה יחידת העבודה הבסיסית שלכם.
אם למשל הברז ממלא את הבריכה במשך 4 שעות אז כמות העבודה שביצע היא:

תרגיל 1
ברז א ממלא בריכה תוך 40 שעות.
ברז ב ממלא בריכה תוך 50 שעות.
תוך כמה שעות ימלאו שני הברזים יחד את הבריכה?

פתרון

זמן העבודהקצב העבודהכמות העבודה
401/401
501/501

1/40 זה קצב העבודה של ברז א.
1/50 זה קצב העבודה של ברז ב.
t הוא הזמן בשעות שלוקח לשני הברזים ביחד למלא את הבריכה.
המשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא 200 ונקבל:

5t + 4t = 200
9t = 200
t=22.22
שני הברזים יסיימו את העבודה תוך 22.22 שעות.

אם נרצה לתת תשובה מדויקת גם עם דקות עלינו להפוך את 0.22 לדקות:
13.2 = 60 * 0.22
תשובה: שני הברזים ימלאו את הבריכה תוך 22 שעות ו 13.2 דקות.

תרגיל 2
אבי ואיציק, שני שחקני כדורגל מבקיעים מספיק שערים כדי שקבוצתם תעלה ליגה תוך 8 מחזורי ליגה.
אבי לבדו מבקיע מספיק שערים כדי שקבוצתו תעלה ליגה ב 12 מחזורים פחות מאשר איציק לבדו.
תוך כמה מחזורים כל אחד מהשחקנים מבקיע מספיק שערים כדי שהקבוצה תעלה ליגה?

פתרון

x מספר המחזורים שבהם אבי צריך להבקיע כדי שקבוצתו תעלה ליגה.
x-12 מספר המחזורים שבהם איציק צריך להבקיע כדי שקבוצתו תעלה ליגה.

"סך העבודה" הוא כמות השערים שיש להבקיע על מנת שהקבוצה תעלה ליגה.

מספר מחזורים…מחזור אחדסך העבודה
אביx1
איציקx-51

החלק שאבי מבקיע במחזור אחד הוא:

החלק שאיציק מבקיע במחזור אחד הוא:

בשמונה מחזורים שניהם מבקיעים ביחד כמות המספיקה לעלות ליגה:

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
(x(x -12
נקבל:
(8x – 96 + 8x = x(x -12
16x – 96 = x² – 12x
x² – 28x + 96 = 0
x = 24,  x = 4

התשובה x = 4 אינה אפשרית כי איציק צריך x -12 מחזורים.
תשובה: לאיציק נדרשים 24 מחזורים. לאבי 24 מחזורים.

תרגיל 3
שירה ודוד אוספים ביחד מספיק עצים למדורה תוך 4 שעות.
יום אחד דוד זרק את העצים ששירה אספה. הקצב שדוד זורק עצים הוא הקצב שבו הוא אוסף עצים. ביום זה נאספו מספיק עצים למדורה תוך 12 שעות.
כמה עצים שירה אוספת למדורה בשעה?

פתרון

x הזמן בשעות ששירה לבדה אוספת מספיק עצים למדורה.
y  הזמן בשעות שדוד לבדו אוסף מספיק עצים למדורה.

קצב / הספקזמןעבודה
שירהx1
דודy1

המשוואה הראשונה מבוססת על המשפט "שירה ודוד אוספים ביחד מספיק עצים למדורה תוך 4 שעות"

סכום קצבי העבודה כפול 4 שווה ל 1

במשוואה השנייה צריך לחסר את קצב העבודה של דוד מקצב העבודה של שירה ולהכפיל ב 12.

הפרש קצבי העבודה כפול 12 שווה ל 1

הפתרון הוא x=6, y=12.

תרגיל 4
נתן ונעה שותלים 1/3 גינה תוך 2 שעות.
אם נעה שותלת לבדה 1/2 גינה ואז מצטרף אליה נתן לעבודה משותפת שתילת הגינה מסתיימת תוך 12 שעות מהזמן שנעה התחילה בעבודה.
תוך כמה שעות נעה לבדה מסיימת את שתילה הגינה?

פתרון
x – מספר השעות שבהם נעה לבדה מסיימת את שתילת הגינה.
y – מספר השעות שבהם נתן לבדו מסיים את שתילת הגינה.
1 לחלק ל x זה ההספק של נעה.
1 לחלק ל y זה ההספק של נתן.

משוואה ראשונה מבוססת על המשפט "נתן ונעה שותלים 1/3 גינה תוך 2 שעות".

אם נעה מסיימת את כל העבודה ב x שעות אז את 1/2 מהעבודה היא תסיים תוך 0.5x.
העבודה כולה נמשכה 12 שעות.
לכן זמן העבודה המשותף הוא: 12-0.5x.

בזמן של 12-0.5x שניהם ביחד סיימו 1/2 מהעבודה.
לכן המשוואה השנייה היא:

זמן העבודה המשותף כפול סכום ההספקים שווה לחצי.

פתרון שתי המשוואות הוא:
x=18, y=9.

תרגיל 5
דנה ואמיר כותבים ביחד קוד לפרויקט משותף בתחום התוכנה.
דנה התחילה בעבודה ולאחר יומיים הצטרף אליה אמיר.
6 ימים לאחר שדנה התחילה בעבודה הם סיימו 13/18 מהפרויקט.
הם המשיכו יחדיו עד לסיום הפרויקט ואז התברר שהעבודה של דנה על הפרויקט הייתה כפולה מהעבודה של אמיר.
תוך כמה ימים דנה לבדה הייתה מסיימת את הפרויקט? תוך כמה ימים אמיר?

פתרון

x  מספר הימים שבו דנה לבדה מסיימת פרויקט.
y  מספר הימים שבו אמיר לבדו מסיים פרויקט.
1 לחלק ב x – זה ההספק של דנה.
1 לחלק ב y – זה ההספק של אמיר.

בניית המשוואה הראשונה
דנה עבדה 6 ימים.
אמיר עבד 4 ימים.
ביחד הם ביצעו 13/18 מהעבודה.
לכן המשוואה הראשונה היא:

6 כפול 1 לחלק ב X ועוד 4 כפול אחד לחלק ב y שווה ל 13/18

בניית המשוואה השנייה
נגדיר:
z  מספר הימים שאמיר עבד על הפרויקט מתחילתו ועד סופו.
z + 2 מספר הימים שדנה עבדה על הפרויקט מתחילתו ועד סופו.
לכן המשוואה השנייה היא:

בניית המשוואה השלישית
לאחר z ימי עבודה של אמיר.
ו z +2 ימי עבודה של דנה.
כמות העבודה שדנה ביצעה גדולה פי 2 מכמות העבודה שאמיר ביצע.
לכן המשוואה היא:

הפתרון של המשוואות הוא:
z = 6, x=12, y=18.

4.טיפים ברמת בגרות

בהתחלה הטיפים כתובים, לאחר מיכן דוגמאות מהבגרות לשימוש בטיפים הללו.

טיפ 1
בהרבה שאלות בגרות יהיו לכם יותר משתנים ממשוואות.
במקרים אלו לא תוכלו למצוא את הגודל של כל משתנה ומשתנה.
במקרה הצורך הגדירו 3 משתנים מבלי לחשוש.

בהרבה מהמקרים הללו אין צורך למצוא את הגודל של כל אחד מהמשתנים.
שאלות כמו:

  1. חשבו את היחס…
  2. מצאו את הסכום….

מרמזות שאין צורך למצוא את הגודל של המשתנים עצמם.

טיפ 2
דרך הפתרון המרכזית בה פותרים שאלות בגרות היא בניית משוואה עם 2-3 משתנים.
ואז בעזרת שיטת ההצבה צמצום של משתנה אחד מהמשוואה.

טיפ 3: נתון הספק מצאו את הזמן
במספר שאלות בגרות הייתה דרישה לבנות בעזרת משתנים הספק של מספר אנשים / צינורות.
ולאחר שמצאנו את ההספק מבקשים מאיתנו להגדיר בעזרת אותם משתנים את הזמן שלוקח למספר האנשים / צינורות לסיים את העבודה.

דוגמה:
x  הוא מספר השעות שלוקח לצינור מסוג A למלא בריכה.
y  הוא מספר השעות שלוקח לצינור מסוג B למלא בריכה.

  1. בטאו בעזרת x,y את ההספק של 3 צינורות מסוג A ו 2 צינורות מסוג B?
  2. כמה זמן לוקח לשלוש צינורות מסוג A ו 2 צינורות מסוג B למלא בריכה?

סעיף א

סעיף ב
נשים שאת הנתונים בטבלה וזה יראה כך:

זמןהספקעבודה
1

כיצד מחשבים זמן?

לכן במקרה שלנו:

(שבר בתוך שבר הוא דף המלמד כיצד מפשטים שבר עם 3 או 4 "קומות")

תשובה: הזמן שלוקח ל 3 צינורות מסוג A ו 2 צינורות מסוג B למלא בריכה אחת הוא:

5.פתרון בעיות הספק מבגרויות

מצורפים פתרונות ל 7 שאלות הספק מהשנים 2013-2019.
השאלות של חורף 2019 (סעיף ג) וחורף 2018 הן שאלות המוסיפות על הנלמד קודם לכן.
ממליץ לפתור אותן.

קיץ 2019 מועד א

נסמן:
t הזמן שעבדו המכונות ביום הראשון.
x מספר העוגות שעושה מכונה א בשעה.
y מספר העוגות שעושה מכונה א בשעה.

על פי המשפט "ביום הראשון יצרה מכונה 1 80 עוגות יותר ממכונה 2"
המשוואה היא:
tx = ty + 80
(משוואה ראשנה)

עבור היום השני נבנה טבלה.
בעזרת הטבלה ננסה לבנות משוואה על פי המשפט "ביום השני זמן העבודה של מכונה 2 ארוך פי 25/9 מזמן העבודה של מכונה 1".
כלומר, על מנת לבנות משוואה עלינו לדעת את זמני העבודה של המכונות ביום השני.

הספקזמןעבודה
מכונה 1xty/xty
מכונה 2ytx/ ytx

אם נכפיל פי 25/9 את זמן העבודה של מכונה 2 נקבל את זמן העבודה של מכונה אחד.

נכפיל במכנה המשותף שהוא x*y ונקבל:
2.77ty² = tx²
2.77y² = x²
x,y הם גדלים חיוביים, לכן ניתן להוציא שורש בצורה הזו מבלי להתחשב באפשרות שהם שליליים.
1.66y = x
y = 0.6x

על מנת לבנות משוואה נציב את מה שקיבלנו במשוואה הראשונה:
tx = ty + 80
t * 1.66y = ty + 80
0.66ty = 80
ty = 120

tx = ty +80 =200.
תשובה: סכום העוגות ששתי המכונות עשו ביום הראשון 320 עוגות.

סעיף ב

סעיף ג
הזמן שמכונה אחת מייצרת עוגה אחת מכונה 2 מייצרת 0.6 עוגות.
28.2 = 0.6 * 47
תשובה: 28 עוגות.

סעיף ד
היחס בין כמות העוגות של מכונה אחת לכמות העוגות של מכונה 2 הוא 1:0.6
במספרים שלמים היחס המצומצם הוא 5:3
5x   הוא מספר העוגות שמכונה א עושה.
3x  הוא מספר העוגות שמכונה ב עושה.
3x + 5x = 26
8x = 26
x = 3.25

5x = 16.25
3x = 9.75
קיבלנו מספרים לא שלמים עבור שתי המכונות ולכן התשובה היא לא.

חורף 2019 שאלה 1

סעיף א
נגדיר:
x  כמות העצים שאמורה הייתה קבוצה הפועלים לכרות ביום.
t  זמן העבודה המתוכנן
עבור אופן העבודה המתכננת המשוואה היא:
xt = 216
עבור העבודה בפועל.
3x זו כמות העצים שנכרתה בשלושת הימים הראשונים.
(x + 8) (t – 4)  זו כמו העצים שנכרתה לאחר מיכן.

המשוואה היא:
3x + (x + 8) (t – 4) = 232
נפתור את שתי המשוואות עם שני הנעלמים ונקבל:
x = 24
t = 9

דרך שנייה לפתרון
נגדיר
x  כמות העצים שאמורה הייתה קבוצה הפועלים לכרות ביום.
הזמנים:
זה זמן העבודה המתכנן.

בפועל הפועלים עבדו 3 ימים בהם כרתו 3x עצים.
לאחר מיכן עבדו עוד:

סך הכל העבודה בפועל הייתה קצרה ביום מהמתוכנן לכן המשוואה שלנו היא:

(216x + 216 * 8 = 232x – 3x² +4x (x +8
216x + 1728 = 232x -3x² + 4x² +32x
x² + 48x -1728 = 0

פתרונות המשוואה הריבועית הזו הם:
x = 24 או x = -72.
x הוא הספק חיובי ולכן התשובה היא x = 24.
תשובה: הפועלים היו אמורים לכרות ביום 24 מ"ק.

סעיף א חלק שני
הזמן המקורי שהפועלים היו אמורים לעבוד הוא:
9 = 24 : 216
בפועל הפועלים עבדו יום פחות. לכן עבודה 8 ימים.

סעיף ב
2/3 מהכמות המתוכננת הם:
144 = 216 * (2/3)

במהלך שלושת ימי העבודה הראשים הם עבוד בהספק 24, לכן כרתו
72 = 24 * 3
נותרו להם לאחר מיכן:
72 = 72 = 144

לאחר מיכן עבדו בקצב 32
2.25 = 32 : 72
לכן הם סיימו 2/3 מהעבודה במהלך היום השישי.

סעיף ג
ההספק של כל קבוצת הפועלים המנוסים הוא 24.
לכן ההספק של פועל מנוסה יחיד הוא:

ההספק של פועל לא מנוסה יחיד קטן ב 1.

סעיף ג חלק שני
ההספק של m הצמדים הוא:

הם עבדו 8 ימים.
לכן המשוואה שלנו היא:

8m + 384 = 338-
8m = 46  / : 8
m=6
תשובה: בקבוצת הפועלים החדשה יש 6 פועלים.

חורף 2018 שאלה 1

נגדיר:
x  ההספק של כל אחד מהצינורות.

נגדיר את הזמנים בם התמלאה בריכה א ואת הכמויות שהגיעו באותן הזמנים לבריכה ב.

בשלב ראשון בבריכה א
4x הוא ההספק של ארבעת הצינורות.
0.166v1 היא העבודה.
לכן הזמן של שלב זה הוא:

שלב שני בבריכה א
3x הוא ההספק של שלושת הצינורות.
בשלב השני מלאו בבריכה א
1/3 = 1/6 – 1/2
0.33v1 בריכה היא העבודה.

לכן הזמן של שלב ב הוא:

בשלב השלישי בבריכה א
x  הוא ההספק של הצינור היחיד.
0.5v1  היא העבודה.

לכן הזמן הוא:

עבור בריכה ב
בשלב א הבריכה לא מולאה.

בשלב ב הבריכה מולאה עם צינור אחד.
לכן כמות המים שמולאה בה היא.

בשלב ג בריכה ב התמלאה ב 3 צינורות.
לכן כמות המים שמולאה בבריכה ב היא:

בניית משוואה
סך כל כמות המים שמולאה בבריכה ב היא v2 לכן המשוואה היא:

2v1 + 27v1 = 18v2
29v1 = 18v2
v1 / v2 = 18 / 29

אם היינו רוצים לתאר את מה שקרה בבריכה א בטבלה זה היה נראה כך:

הספק
שלב א4x0.166v1
שלב ב3x0.33v1
שלב גx0.5v1

חורף 2017 שאלה 1

m הזמן שצינור א ממלא את הבריכה.
2m הזמן שצינור ב ממלא את הבריכה.
המשוואה הראשונה היא:

תשובה: תחום הערכים של m הוא:

סעיף ב.
המשוואה היא:

תשובה: m =8.5

קיץ 2016 מועד ב

סעיף א
x מספר המחשבים שגל מרכיב בשעה.
y   מספר המחשבים שני מרכיב בשעה.
t  מספר השעות שדני עבד עד השעה 9.

מהמשפט "עד השעה 9 הם הרכיבו את אותו מספר מחשבים" נבנה את המשוואה
ty = 1*x

מהמשפט "ביום העבודה הראשון הרכיבו אותו מספר של מחשבים" נבנה את המשוואה:
7x = (t +4)y

קיבלנו את שתי המשוואות:
ty = x
7x = (t +4)y
נציב את המשוואה הראשונה בשנייה:
7ty = (t+4)y
7t = t + 4
6t = 4
t = 2/3
תשובה: דני עבד 2/3 שעה עד השעה 9. לכן הוא עבד הוא התחיל לעבוד 20 דקות לאחר השעה 8.

סעיף ב
ביום הראשון מספר המחשבים שהרכיבו הוא:
7x + 4.66y
נגדיר:
s זמן העבודה ביום השני בשעות.
ביום השני מספר המחשבים שהרכיבו:
(s(x + y

העבודה שבוצעה בשני הימים שווה לכן המשוואה היא:
s(x + y) = 7x + 4.66y
כמו כן מצאנו קודם לכן:
0.66y = x
נציב זאת במשוואה על מנת לצמצם משתנים:
s*1.66y = 4.66y + 4.66y
1.66s = 9.33
s = 5.6

נהפוך את 0.6 לדקות:
36 = 60 * 0.6
תשובה: הם עבדו ביחד ביום השני 5 שעות ו 36 דקות.

חורף 2015

סעיף א
x הזמן שבו צבאי ותיק אחד מסיים את העבודה.
y  הזמן שבו צבאי מתלמד אחד מסיים את העבודה.

ההספק של שני ותיקים ומתלמד אחד הוא:

הזמן שבו הם יסיימו את העבודה הוא:

ההספק של שני מתלמדים וותיק אחד הוא:

הזמן שבו הם יסיימו את העבודה הוא:

הזמן השני ארוך ב 25% לכן המשוואה היא:

2.5x + 1.25y = 2y + x
1.5x = 0.75y
y/x = 1.5/0.75 = 2

סעיף ב
ההספק של צבע ותיק אחד הוא כמו של 2 מתלמדים.
לכן ההספק של 2 ותיקים ומתלמד אחד הוא כמו של ותיק אחד ועוד 2 מתלמדים ועוד מתלמד אחד.

סך הכל: ותיק אחד ו 3 מתלמדים.
תשובה: 3 מתלמדים צריך לעבוד עם ותיק אחד.

ניתן לפתור את התרגיל הזה גם באמצעות משוואה מסובכת יותר.
נגדיר:
n  מספר הצבעים המתלמדים שיש להוסיף לצבע ותיק אחד.
ההספק של צבע ותיק אחד ו n מתלמדים הוא:

ההספק של שני צבעים ותיקים ומתלמד אחד הוא:

ההספקים הללו שווים. לכן המשוואה היא:

כמו כן מצאנו קודם לכן כי
y = 2x
נפתור את שתי המשוואות עם שני הנעלמים ונגיע לתשובה.

קיץ 2013 מועד א

שלב א: הגדרת ההספקים במקרים השונים
נגדיר
x  הזמן בימים שבו פועל א מבצע לבדו את העבודה.
y  הזמן בימים שבו פועל א מבצע לבדו את העבודה.

זמןהספקעבודה
פועל אx1
פועל בy1

כאשר מגבירים את קצב העבודה ב 50% ההספק של הפועל הראשון הוא:

וההספק של הפועל השני הוא:

שלב ב: מציאת הזמנים השונים

ההספק של פועל א ופועל ב בקצב הרגיל הוא:

ההספק של פועל א ופועל ב בקצב המוגבר הוא:

בטבלה הנתונים יראו כך:

זמןהספקעבודה
שניהם בקצב רגיל1
שניהם בקצב מהיר1

על מנת למצוא את הזמן אנו נבצע את התרגיל:

הזמן של שניהם בקצב הרגיל הוא:

הזמן של שניהם בקצב המוגבר הוא:

המשוואה היא:

נכפיל במכנה המשותף שהוא:
x + y) *15)
נקבל:
2x (x+ y) = 15xy – 10xy
נצמצם ב x ונקבל:
2x + 2y = 15y – 10y
2x = 3y

סעיף ב
במהלך כל השאלה התייחסנו אל העבודה כולה כאל 1 שלם.
נמשיך להתייחס אליה כך בסעיף זה.

העבודה מסתיימת בקצב הרגיל תוך 6 ימים ולכן המשוואה היא:

המשוואה השנייה שלנו היא:
x =1.5y
משתי המשוואות הללו נקבל x =15.
כלומר פועל א מכין ב 15 ימים 300 חלקים.
לכן ביום הוא מכין 20 חלקים.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

6 מחשבות על “בעיות הספק”

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום צדוק
      אתה צודק.
      למשוואה שכתבת אין פתרון.
      אבל הייתה שם טעות קודם לכן. ה 5+ היה צריך להיות 5-.
      והמשוואה הריבועית המתקבלת היא:
      x² + x – 12 = 0
      למשוואה זו יש פתרון והמשך הפתרון הוא כפי שהיה רשום.
      תודה רבה על תיקון הטעות. זה עזר לי מאוד.

    1. לומדים מתמטיקה

      שלום שני.
      בעיות הספק, אלו הבעיות המילוליות היותר קשות.
      שיטת הצינורות והבריכות….
      אם תצביע על שאלה ספציפית ותגיד מה אתה מבין ומה לא אנסה לעזור

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.