פונקציה רציונלית שאלון 382 3 יחידות

פונקציה רציונלית היא פונקציה שיש לה משתנה במכנה למשל:

בדף זה יש סיכום בנושא פונקציה רציונלית.

בנוסף ניתן ללמוד בצורה ממוקדת יותר את החומר מהדפים הבאים:

  1. תחום הגדרה פונקציה רציונלית.
  2. נגזרת של פונקציה רציונלית 3 יחידות.
  3. משיק וקיצון רציונלית 3 יחידות.
  4. חיתוך עם הצירים פונקציה רציונלית.

סרטון מסכם

הסרטון  מסכם את נושא הפונקציה הרציונלית (47 דקות).

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

1.תחום הגדרה

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

במתמטיקה אסור לנו שהמכנה של שבר יהיה שווה ל 0.

במקרה של מכנה השווה ל 0 השבר הוא "לא מוגדר".

תחום הגדרה של פונקציה אלו הם קבוצת המספרים שניתן להציב בפונקציה ולקבל ביטוי מוגדר (חוקי) מבחינה מתמטית.

לכן עבור הפונקציה:

תחום ההגדרה של הפונקציה הזו הוא x ≠ 0.
ניתן לכתוב גם כך:
הפונקציה מוגדרת לכל x מלבד x = 0.

אם מוסיפים לפונקציה הזו מספר או פולינום תחום ההגדרה לא משתנה.

תחום ההגדרה הוא x ≠ 0.

בבחינת הבגרות ברמת 3 יחידות לרוב יש משהו בסגנון של שתי הפונקציות שרשומות למעלה זה מה שאתם יכולים לפגוש.

אבל בתוכנית הלימודים יש פונקציות אחרות שכדאי שנכיר.

הכלל עבור כל הפונקציות הללו הוא אותו כלל:
כאשר המכנה שווה ל 0 הפונקציה לא מוגדרת.

2.נגזרת רציונלית

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

בדף זה אנו נלמד כיצד לגזור נגזרת רציונלית ברמת 3 יחידות עבור שאלון 382.

לאורך הדף אתם תראו ביטויים הנראים כך:

ביטוי כזה הוא כמו לשאול:
"מה היא הנגזרת של מה שיש בתוך הסוגריים?"

כאשר אתם רואים ביטוי כזה עליכם לגזור את מה שיש בתוך הסוגריים ולתת את הנגזרת כתשובה.

והכוונה של הסימון הזה היא שאתם צריכים לגזור את מה שנמצא בתוך הסוגריים ולתת את הנגזרת כתשובה.

לדף זה שני חלקים:

  1. נוסחאות ודוגמאות גזירה.
  2. תרגילים.

זכרו
הנגזרת של מספר כפול x היא המספר.
למשל:

(6x) ' = 6

הנגזרת של מספר היא 0.
למשל:

(8) ' = 0

נוסחאות ודוגמאות גזירה

נוסחה 1

הנוסחה לגזירת הפונקציה

היא

 

נוסחה 2

כאשר יש מספר במונה הפונקציה נוסחת הגזירה היא:

לדוגמה:

ודוגמה נוספת:

 

סוג שלישי

זה הסוג הנפוץ ביותר של פונקציות שאתם תצטרכו לגזור.

פונקציות מסוג זה יכללו פונקציה רציונלית יחד עם מספר ומשתנה (עם חזקה או ללא חזקה).

במקרה זה, שבו יש לנו חיבור או חיסור בין איברים שונים אנו:

  1. נגזור כל ביטוי בנפרד.
  2. נחבר את כל תוצאות הגזירה לנגזרת בודדת.

לדוגמה

מה היא הנגזרת של הביטוי הבא:

פתרון
נגזור כל אחד מהביטויים בנפרד

(7x) ' = 7

(0.5) ' = 0

לכן הנגזרת של הפונקציה כולה היא:

את ה 0 שבסוף כמובן שלרוב לא רושמים.

**סוגים רביעי וחמישי

הסוג הנפוץ ולרוב גם הקשה ביותר שתפגשו הוא הסוג השלישי.

כאן מופיעים עוד שני נגזרות שהם חלק מתוכנית הלימודים אבל משתמשים בהם הרבה פחות ואולי לא תשמשו בהם כלל.

סוג רביעי: נגזרת מכפלה

יתכן ויבקשו מאתנו לגזור את הפונקציה:

זו פונקציה שאנו לא יודעים לגזור כמו שהיא.

אבל ניתן לכתוב את הפונקציה כמכפלה של שתי פונקציות שאנו כן יודעים לגזור.

ועכשיו נשתמש בנוסחה של נגזרת מכפלה.

הנוסחה אומרת שאם יש לנו מכפלה של שתי פונקציות:

f (x) * g (x)

אז הנגזרת של המכפלה הזו היא:

[ f (x) * g (x) ] ' = f ' (x) * g (x) + g ' (x) * f (x)

נשתמש בנוסחה זו עבור הפונקציה ונקבל:

נפשט את הביטוי:

דוגמה נוספת:

סוג חמישי: מונה ומכנה שניתן לחלק

לפעמים פונקציה עם x² במכנה אבל במונה יש סימנים של פלוס או מינוס בין האיברים.

במקרה זה ניתן לקחת כל אחד מהאיברים במונה ולחלק אותו בנפרד במכנה.

 

נצמצם מונה ומכנה בכל אחד משלושת האיברים ואז נגזור כל אחד משולשת האיברים בנפרד, כפי שעשינו בדוגמה 3.

 

תרגילים בנושא נגזרת

זכרו:
*הנגזרת של מספר היא 0.
(כלומר – הנגזרת של 2, למשל,  היא 0).

*הנגזרת של מספר כפול x בחזקת 1 היא המספר.
(כלומר הנגזרת של 6x היא 6, הנגזרת של 0.2x היא 0.2)

תרגיל 1

פתרון
תחום הגדרה:
תחום ההגדרה נובע מהעובדה שלא ניתן לחלק ב – 0.
לכן אם x = 0 הפונקציה אינה מוגדרת.

לכן תחום ההגדרה הוא x ≠ 0.

נגזרת:
ניזכר בכלל הנגזרת :
נגזרת כאשר יש מספר השונה מ- 1 במונה
במקרה שלנו, a = 1.
בנוסף נזכור כי נגזרת של מספר היא 0.
לכן:

תרגיל 2

פתרון

תחום הגדרה:
תחום ההגדרה נובע מהעובדה שלא ניתן לחלק ב – 0.
לכן אם x = 0 הפונקציה אינה מוגדרת.

לכן תחום ההגדרה הוא x ≠ 0.

נגזרת:
ניזכר בכלל הנגזרת :
נגזרת כאשר יש מספר השונה מ- 1 במונה
במקרה שלנו, a = 3.
בנוסף נזכור כי הנגזרת של b*x היא b.
במקרה שלנו, b = 1.
לכן:


תרגיל 3

פתרון
תחום הגדרה:
תחום ההגדרה נובע מהעובדה שלא ניתן לחלק ב – 0.
לכן אם x = 0 הפונקציה אינה מוגדרת.

לכן תחום ההגדרה הוא x ≠ 0.

נגזרת:
*ניזכר בכלל הנגזרת :
נגזרת כאשר יש מספר השונה מ- 1 במונה
במקרה שלנו, a = 3.
*בנוסף נזכור כי הנגזרת של b*x היא b.
במקרה שלנו,  4/b = 1.
*נגזרת של מספר היא  0.
לכן:

תרגיל 4

פתרון

תחום הגדרה:
תחום ההגדרה נובע מהעובדה שלא ניתן לחלק ב – 0.
לכן אם x = 0 הפונקציה אינה מוגדרת.

לכן תחום ההגדרה הוא x ≠ 0.

נגזרת:
*ניזכר בכלל הנגזרת :
נגזרת כאשר יש מספר השונה מ- 1 במונה
במקרה שלנו, a = -2.
*בנוסף נזכור כי הנגזרת של b*x היא b.
במקרה שלנו,  5/b = 3.
לכן:

 

3.נקודות קיצון ועליה וירידה

מנויים לאתר רואים כאן סרטון.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

נפעל עפ"י השלבים הבאים:
1. נבדוק עבור אילו ערכי x מתקיים : f '(x) = 0
הנקודות שמצאנו יהיו "חשודות לקיצון".
2. נפצל לתחומים בין כל הנקודות החשודות.
3. בתחומים הנ"ל נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית או שלילית),
ע"י הצבה בנגזרת של  x כלשהו שנמצא בתחום ( נבחר את המספר שהכי נוח לנו להציב – שנמצא בתחום כמובן).
4. כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
5. נסכם הכל בטבלה.

מצאו את נקודות הקיצון ותחומי העליה והירידה של הפונקציות.

תרגיל 1

פתרון
ראינו למעלה כי    f ' (x) = -1/x2.
נבדוק מתי מתקיים:

הביטוי הנ"ל אינו מתאפס עבור אף x.
לכן אין נקודות קיצון.

הנגזרת שלילית לכל ערך של x (פרט ל x=0 , בה היא אינה מוגדרת).
כאשר הנגזרת שלילית => הפונקציה יורדת.
לכן הפונקציה יורדת לכל x. (פרט ל x = 0, בה היא אינה מוגדרת).

תרגיל 2

פתרון

נגזור את הפונקציה: (לפי אותם כללים שראינו למעלה)
נבדוק עבור אילו ערכי x הנגזרת מתאפסת.

נכפול את המשוואה ב -x2:
x+ 4 = 0-
נעביר אגף:
x2 = 4
נוציא שורש:
x1 = 2,  x2 = -2
אלו הן נקודות חשודות לקיצון.

כעת נפצל לתחומים:
1. 
2. 
3. 

נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית/שלילית) בתחומים אלו,
(ניתן לבדוק ע"י הצבה בנגזרת של נקודה שנמצאת בתחום)
נזכיר כי כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
נסכם בטבלה :

נקודות קיצון :
(את ערכי ה -y מוצאים ע"י הצבת ערך ה-x בפונקציה)
נקודת מינימום : (4, 2-)
נקודת מקסימום : (4- , 2)

תחומי עלייה וירידה:

ירידה:         ,     
עלייה:
      


4.מציאת משיק

שלבים למציאת משיק:
1.
נגזור את הפונקציה.
2.
על-מנת למצוא את שיפוע המשיק, נציב בנגזרת את שיעור ה-x של נקודת ההשקה (נתון בשאלה).
(שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודת ההשקה)
3. נמצא את שיעור ה-y של נקודת ההשקה ע"י הצבת שיעור ה -x של הנקודה בפונקציה.
4. נמצא את משוואת המשיק לפי הנוסחה:
נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.


תרגיל 1

מצאו את משוואת המשיק לפונקציה

בנקודה x = 1

פתרון

f ' (x) = -2/x²
נציב בנגזרת  x = 1 כדי למצוא את שיפוע המשיק:
f ' (4) = -2/1 = -2
לכן m = -2

נמצא את נק' ההשקה: (ע"י הצבת x = 1 בפונקציה)
f(1) = 2/1 = 2

לכן נקודת ההשקה היא (2 , 1).

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :

(y – 2 = -2*(x -1
y – 2 = -2x + 2
y = -2x + 4

 

תרגיל 2
מצאו את משוואת המשיק לפונקציה

ששיפועו  2.

פתרון

זהו תרגיל מעט שונה מקודמו, לכן נפעל בדרך קצת שונה.
ראשית, נגזור את הפונקציה:
f ' (x) = 4/x2 + 1
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
לפי תנאי השאלה, נרצה ששיפוע המשיק יהיה שווה ל – 2.
לכן נפתור את המשוואה : f ' (x) = 2
f ' (x) = 4/x2 + 1 = 2
נעביר אגפים ונכפול ב -x2
4 = x²
נוציא שורש:
x1 = 2 , x2 = -2.
כלומר, יש 2 נקודות המקיימות ששיפוע המשיק בהן הוא 2.

נפתור עבור x = -2. (פותרים באותה צורה עבור x = 2).
כעת נמצא את נק' ההשקה:
נציב x = -2 בפונקציה:
f( -2)  =  -4/-2  – 2 = 0
לכן נקודת ההשקה היא : (0, 2-).
שיפוע המשיק נתון לנו בשאלה, m = 2.

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y0 = m*(x-x, כאשר m הוא השיפוע, ו-(x0, y0) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :

((y – 0 = 2*(x -(-2
y  = 2x + 4

5.אסימפטוטות

מנויים לאתר רואים כאן הסבר / תרגילים פתורים.
לחצו כאן כדי לקבל מידע על מנוי.

6.פתרון תרגילים מהבגרות

קיץ 2017

א. תחום ההגדרה הוא x≠0.

ב. f(x) = x-4 + 16/x
f '(x) =1-16/x²
בנקודות הקיצון הנגזרת שווה ל 0.
f ' (x) =1-16/x² = 0
x² = 16
x=4, x= -4

בעזרת הנגזרת השנייה נבדוק אם זו נקודת מינימום או מקסימום.
f " (x) = -3*-16 / x³ =48 / x³
f " (4) = 48 / 4³ >0
לכן כאשר x=4 זו נקודת מינימום.
f " (-4) = 48 / (-4)³ <0
לכן כאשר x= -44 זו נקודת מקסימום.

נמצא את ערכי הפונקציה כאשר  x=4, x= -4.
f(4) = 4-4 + 16/4 = 4
f(-4) = -4-4 + 16/-4 = -12
תשובה: נקודת המינימום היא (4,4). נקודת המקסימום היא (12- , 44-).

ג. נקודת אי ההגדרה של הפונקציה היא x=0.
מימין לנקודת המינימום הפונקציה עולה ולכן x>4 עולה.
משמאל למינימום ועד לנקודת אי ההגדרה הפונקציה יורדת ולכן x<4 וגם x>0 הפונקציה יורדת.
מימין למקסימום ועד לנקודת אי ההגדרה הפונקציה יורדת לכן x>-4  וגם x<0 הפונקציה יורדת.
משמאל למקסימום הפונקציה עולה ולכן x<-4 עולה.
לסיכום: הפונקציה יורדת כאשר  x<4 וגם x>0 או x>-4  וגם x<0.
הפונקציה עולה כאשר x>4 או x< -4.

ד. סקיצה של הפונקציה נראית כך:

גרף הפונקציה f(x) = x-4 + 16/x

עוד באתר:

 

 

הפונקציה 1 לחלק ב x

זו הפונקציה הרציונלית הבסיסית ביותר.

הנגזרת של הפונקציה

זו הנגזרת. ניתן לזכור את הנוסחה הזו בעל פה או להשתמש בנוסחה של נגזרת פולינום על מנת לגזור את הפונקציה.

גזירה של הפונקציה כאשר יש מספר שונה מ- 1 במונה.

נגזרת כאשר יש מספר השונה מ- 1 במונה

דוגמאות לגזירה.

דוגמאות לגזירת הפונקציות

מנויים באתר יכולים לשאול שאלות גם:
1.וואטסאפ: 0527-586-585
2.דרך המייל: help@m-math.co.il

מי שאינו מנוי יכול להשאיר שאלה על ידי השארת תגובה באתר.

כתיבת תגובה

השאירו שאלה או תגובה באתר. אין צורך להשאיר אימייל (השירות זמין לכולם ללא תשלום).

כתיבת תגובה

השאירו שאלה או תגובה באתר. אין צורך להשאיר אימייל (השירות זמין לכולם ללא תשלום).