פונקציה רציונלית שאלון 382 3 יחידות

פונקציה רציונלית היא פונקציה שיש לה משתנה במכנה למשל:

או

בדף זה יש סיכום בנושא פונקציה רציונלית.

בנוסף ניתן ללמוד בצורה ממוקדת יותר את החומר מהדפים הבאים:

1. תחום הגדרה פונקציה רציונלית.
2. נגזרת של פונקציה רציונלית 3 יחידות.
3. משיק וקיצון רציונלית 3 יחידות.
4. חיתוך עם הצירים פונקציה רציונלית.

סרטון מסכם

הסרטון  מסכם את נושא הפונקציה הרציונלית (47 דקות).

1.תחום הגדרה

במתמטיקה אסור לנו שהמכנה של שבר יהיה שווה ל 0.

במקרה של מכנה השווה ל 0 השבר הוא “לא מוגדר”.

תחום הגדרה של פונקציה אלו הם קבוצת המספרים שניתן להציב בפונקציה ולקבל ביטוי מוגדר (חוקי) מבחינה מתמטית.

לכן עבור הפונקציה:

תחום ההגדרה של הפונקציה הזו הוא x ≠ 0.
ניתן לכתוב גם כך:
הפונקציה מוגדרת לכל x מלבד x = 0.

אם מוסיפים לפונקציה הזו מספר או פולינום תחום ההגדרה לא משתנה.

תחום ההגדרה הוא x ≠ 0.

בבחינת הבגרות ברמת 3 יחידות לרוב יש משהו בסגנון של שתי הפונקציות שרשומות למעלה זה מה שאתם יכולים לפגוש.

אבל בתוכנית הלימודים יש פונקציות אחרות שכדאי שנכיר.

הכלל עבור כל הפונקציות הללו הוא אותו כלל:
כאשר המכנה שווה ל 0 הפונקציה לא מוגדרת.

2.נגזרת רציונלית

בדף זה אנו נלמד כיצד לגזור נגזרת רציונלית ברמת 3 יחידות עבור שאלון 382.

לאורך הדף אתם תראו ביטויים הנראים כך:

ביטוי כזה הוא כמו לשאול:
“מה היא הנגזרת של מה שיש בתוך הסוגריים?”

כאשר אתם רואים ביטוי כזה עליכם לגזור את מה שיש בתוך הסוגריים ולתת את הנגזרת כתשובה.

והכוונה של הסימון הזה היא שאתם צריכים לגזור את מה שנמצא בתוך הסוגריים ולתת את הנגזרת כתשובה.

לדף זה שני חלקים:

1. נוסחאות ודוגמאות גזירה.
2. תרגילים.

זכרו
הנגזרת של מספר כפול x היא המספר.
למשל:

(6x) ‘ = 6

הנגזרת של מספר היא 0.
למשל:

(8) ‘ = 0

נוסחאות ודוגמאות גזירה

נוסחה 1

הנוסחה לגזירת הפונקציה

היא

 

נוסחה 2

כאשר יש מספר במונה הפונקציה נוסחת הגזירה היא:

לדוגמה:

ודוגמה נוספת:

 

סוג שלישי

זה הסוג הנפוץ ביותר של פונקציות שאתם תצטרכו לגזור.

פונקציות מסוג זה יכללו פונקציה רציונלית יחד עם מספר ומשתנה (עם חזקה או ללא חזקה).

במקרה זה, שבו יש לנו חיבור או חיסור בין איברים שונים אנו:

1. נגזור כל ביטוי בנפרד.
2. נחבר את כל תוצאות הגזירה לנגזרת בודדת.

לדוגמה

מה היא הנגזרת של הביטוי הבא:

פתרון
נגזור כל אחד מהביטויים בנפרד

(7x) ‘ = 7

(0.5) ‘ = 0

לכן הנגזרת של הפונקציה כולה היא:

את ה 0 שבסוף כמובן שלרוב לא רושמים.

**סוגים רביעי וחמישי

הסוג הנפוץ ולרוב גם הקשה ביותר שתפגשו הוא הסוג השלישי.

כאן מופיעים עוד שני נגזרות שהם חלק מתוכנית הלימודים אבל משתמשים בהם הרבה פחות ואולי לא תשמשו בהם כלל.

סוג רביעי: נגזרת מכפלה

יתכן ויבקשו מאתנו לגזור את הפונקציה:

זו פונקציה שאנו לא יודעים לגזור כמו שהיא.

אבל ניתן לכתוב את הפונקציה כמכפלה של שתי פונקציות שאנו כן יודעים לגזור.

ועכשיו נשתמש בנוסחה של נגזרת מכפלה.

הנוסחה אומרת שאם יש לנו מכפלה של שתי פונקציות:

f (x) * g (x)

אז הנגזרת של המכפלה הזו היא:

[ f (x) * g (x) ] ‘ = f ‘ (x) * g (x) + g ‘ (x) * f (x)

נשתמש בנוסחה זו עבור הפונקציה ונקבל:

נפשט את הביטוי:

דוגמה נוספת:

סוג חמישי: מונה ומכנה שניתן לחלק

לפעמים פונקציה עם x² במכנה אבל במונה יש סימנים של פלוס או מינוס בין האיברים.

במקרה זה ניתן לקחת כל אחד מהאיברים במונה ולחלק אותו בנפרד במכנה.

 

נצמצם מונה ומכנה בכל אחד משלושת האיברים ואז נגזור כל אחד משולשת האיברים בנפרד, כפי שעשינו בדוגמה 3.

 

תרגילים בנושא נגזרת

זכרו:
*הנגזרת של מספר היא 0.
(כלומר – הנגזרת של 2, למשל,  היא 0).

*הנגזרת של מספר כפול x בחזקת 1 היא המספר.
(כלומר הנגזרת של 6x היא 6, הנגזרת של 0.2x היא 0.2)

תרגיל 1

תרגיל 2

תרגיל 3

תרגיל 4

3.נקודות קיצון ועליה וירידה

נפעל עפ”י השלבים הבאים:
1. נבדוק עבור אילו ערכי x מתקיים : f ‘(x) = 0
הנקודות שמצאנו יהיו “חשודות לקיצון”.
2. נפצל לתחומים בין כל הנקודות החשודות.
3. בתחומים הנ”ל נבדוק מהו סימן הנגזרת (חיובית או שלילית),
ע”י הצבה בנגזרת של  x כלשהו שנמצא בתחום ( נבחר את המספר שהכי נוח לנו להציב – שנמצא בתחום כמובן).
4. כאשר הנגזרת חיובית – הפונקציה עולה, כאשר הנגזרת שלילית – הפונקציה יורדת.
כמו כן, אם הפונקציה עברה מירידה לעלייה – זוהי נקודת מינימום,
אם הפונקציה עברה מעלייה לירידה – זוהי נקודת מקסימום.
5. נסכם הכל בטבלה.

מצאו את נקודות הקיצון ותחומי העליה והירידה של הפונקציות.

תרגיל 1

תרגיל 2

4.מציאת משיק

שלבים למציאת משיק:
1. נגזור את הפונקציה.
2. על-מנת למצוא את שיפוע המשיק, נציב בנגזרת את שיעור ה-x של נקודת ההשקה (נתון בשאלה).
(שיפוע המשיק הוא ערך הנגזרת בנקודת ההשקה)
3. נמצא את שיעור ה-y של נקודת ההשקה ע”י הצבת שיעור ה -x של הנקודה בפונקציה.
4. נמצא את משוואת המשיק לפי הנוסחה:
נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y₀ = m*(x-x₀ , כאשר m הוא השיפוע, ו-(x_0, y₀) נקודת ההשקה.

תרגיל 1
מצאו את משוואת המשיק לפונקציה

בנקודה x = 1

פתרון

f ‘ (x) = -2/x²
נציב בנגזרת  x = 1 כדי למצוא את שיפוע המשיק:
f ‘ (4) = -2/1 = -2
לכן m = -2

נמצא את נק’ ההשקה: (ע”י הצבת x = 1 בפונקציה)
f(1) = 2/1 = 2

לכן נקודת ההשקה היא (2 , 1).

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y₀ = m*(x-x₀ , כאשר m הוא השיפוע, ו-(x_0, y₀) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :

(y – 2 = -2*(x -1
y – 2 = -2x + 2
y = -2x + 4

 

תרגיל 2
מצאו את משוואת המשיק לפונקציה

ששיפועו  2.

פתרון

זהו תרגיל מעט שונה מקודמו, לכן נפעל בדרך קצת שונה.
ראשית, נגזור את הפונקציה:
f ‘ (x) = 4/x² + 1
שיפוע המשיק בנקודה הוא ערך הנגזרת בנקודה.
לפי תנאי השאלה, נרצה ששיפוע המשיק יהיה שווה ל – 2.
לכן נפתור את המשוואה : f ‘ (x) = 2
f ‘ (x) = 4/x² + 1 = 2
נעביר אגפים ונכפול ב -x²
4 = x²
נוציא שורש:
x₁ = 2 , x₂ = -2.
כלומר, יש 2 נקודות המקיימות ששיפוע המשיק בהן הוא 2.

נפתור עבור x = -2. (פותרים באותה צורה עבור x = 2).
כעת נמצא את נק’ ההשקה:
נציב x = -2 בפונקציה:
f( -2)  =  -4/-2  – 2 = 0
לכן נקודת ההשקה היא : (0, 2-).
שיפוע המשיק נתון לנו בשאלה, m = 2.

נוסחה למציאת משוואת המשיק : (y-y₀ = m*(x-x₀ , כאשר m הוא השיפוע, ו-(x_0, y₀) נקודת ההשקה.
נציב את הנתונים שמצאנו , ונקבל :

((y – 0 = 2*(x -(-2
y  = 2x + 4

5.אסימפטוטות

עוד באתר:

• בגרות במתמטיקה 3 יחידות – הסברים ותרגילים לחומר הנלמד.
• פונקציית פולינום שאלון 382.
• שאלון 382 – הסברים ותרגילים לחומר הנלמד בשאלון זה.
• פונקציה רציונלית – 4 יחידות.