בדף זה הצעה לפתרון שאלון 382 קיץ 2018 מועד א.
את החומר ניתן ללמוד בדפים הבאים:
תרגיל 1 (קנייה ומכירה)
סעיף א
נגדיר:
x מחיר שעון.
לכן:
1.6x מחיר טבעת.
המשוואה היא:
1.6x * 4 = 4032
6.4x = 4032 / : 6.4
x = 630
תשובה: מחיר של שעון הוא 630 שקלים.
סעיף ב
נחשב את המחיר של טבעת:
1008 = 630 * 1.6
את השאלה הזו ניתן לפתור בעזרת משוואה עם נעלם אחד או שני נעלמים.
אנו נפתור בעזרת שני נעלמים.
נגדיר:
x מספר השעונים שנמכרו.
y מספר הטבעות שנמכרו.
משוואה ראשונה:
x + y = 22
x = 22- y
משוואה שנייה:
630x + 1008y = 17262
נציב את המשוואה הראשונה במשוואה השנייה:
1008y + 630(22 – y) = 17262
1008y + 13,680 – 630y = 17262
378y + 13680 = 17262 /-13680
378y = 3402 /:378
y=9
x = 22 – 9 =13
תשובה: מספר השעונים שנמכרו הוא 13, מספר הטבעות שנמכרו הוא 9.
תרגיל 2 (גיאומטריה אנליטית משוואת הישר)
סעיף א
על מנת למצוא את משוואת AC עלינו למצוא את שיפוע AC.
נקודה על AC כבר יש לנו (A (12,4
ידוע כי
AC ⊥ BA
לכן מכפלת השיפועים שלהם היא 1-.
נניח ששיפוע הישר AC הוא m.
אז המשוואה שלנו תהיה:
m * 0.33 = -1 / *3
m = -3
נמצא את משוואת AC על פי שיפוע m = -3 ונקודה (A (12,4.
(y-y1=m(x-x1
y – 4 = -3 (x – 12
y-4 = -3x + 36 / +4
y = -3x + 40
סעיף ב חלק ראשון
משוואת BA היא y = 0.33x
נציב x = 3 ונמצא את ערך ה y בנקודה B.
y = 0.33*3 = 1
(B (3, 1
סעיף ב חלק שני
ידוע לנו ש BC מקבילה לציר ה x ולכן יש ערך y קבוע לכל אורכה.
בנקודה B ערך ה y הוא 1 ולכן כך גם בנקודה C.
נציב y = 1 במשוואת AC ונמצא את ערך ה x.
y = -3x + 40
3x + 40 = 1 / -40-
3x = -39 / : -3-
x = 13
(C (13, 1
סעיף ג
עלינו לחשב את אורכי הצלעות AC ו AE.
נעשה זאת באמצעות הנוסחה למרחק בין שתי נקודות.
(A (12,4
(B (3, 1
(C (13, 1
d²=(x1-x2)² + (y1-y2)²
AC² = (13 – 12)² + (1 -4)² = 1² + 3²
AC = √10
הצלע AE היא חצי מ AB. נמצא את אורך AB ונחלק ב 2.
AB² = (12 – 3)² + (4 -1)² = 9² + 3²
AB = √90
AE = 0.5 * √90 = 4.74
שטח המשולש המבוקש הוא:
S = 0.5*AE * AC = 0.5 * 4.74 * 3.16 = 7.5
שאלה 3 (מעגל)
סעיף א
דרך אחת למצוא את המרחק את רדיוס המעגל היא להציב את הנקודה (A (6,3 במשוואת המעגל.
R² = (x – 4)² + (y – 7)²
R² = (6 – 4)² + (3 – 7)² = 2² +( – 4)²
R² = 4 + 16 = 20
R = √20
דרך שנייה לחשב את הרדיוס היא להשתמש בנוסחת מרחק בין שתי נקודות למציאת המרחק בין הנקודה (A (6,3 הנמצאת על המעגל לנקודת מרכז המעגל (M (4.7 המרחק הזה הוא כידוע אורך הרדיוס.
משוואת המעגל היא:
x – 4)² + (y – 7)² = 20)
סעיף ב
בנקודת החיתוך עם ציר ה y מתקיים x = 0.
נציב x = 0 במשוואת המעגל.
y – 7)² + (0 – 4)² = 20)
y² – 14y + 49 + 16 = 20 / -20
y² – 14y +45 = 0
ניתן לפתור משוואה ריבועית זו בעזרת נוסחת השורשים או פירוק טרינום.
נראה כאן פתרון בעזרת טרינום
y² – 5y – 9y + 45 = 0
y (y – 5) – 9 (y – 5) = 0
y – 9) (y -5) = 0)
y =9 או y = 5
בהתבוננות בגרף ניתן לראות כי הנקודה C נמוכה יותר ולכן
(C (5,0) D(9, 0
סעיף ג
המשיק מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה.
לכן אם נמצא את שיפוע הרדיוס MA אז נוכל למצוא את שיפוע המשיק.
נמצא את שיפוע MA על פי שתי הנקודות
(M (4,7) A (6,3
השיפוע m שווה ל:
לכן אם השיפוע של המשיק הוא a אז המשוואה שלנו היא:
a * -2 = -1 / : -2
a = 0.5
תשובה: השיפוע של המשיק הוא 0.5
סעיף ג חלק שני
נמצא את משוואת המשיק על פי שיפוע 0.5 ונקודה (A (6,3
(y-y1=m(x – x1
(y – 3 = 0.5 (x – 6
y – 3 = 0.5x – 3 / +3
y = 0.5x
סעיף ג חלק 3
על מנת לראות אם הישר עובר דרך (0,0) נציב את הערכים הללו במשוואת הישר.
0*0.5 = 0
0 = 0
קיבלנו ביטוי נכון ולכן הישר עובר דרך ראשית הצירים.
סעיף ד
האורך של AM, CO הוא הרדיוס 20√.
האורך של CO הוא 5.
את האורך של AO נחשב על פי נוסחת מרחק בין שתי נקודות.
d² = (x1-x2)² + (y1-y2)²
d² = (6 – 0)² + (3 – 0)²
d² = 6² + 3² = 36 + 9 = 45
d = √45
ההיקף הוא:
P = √20 + √20 + 5 + √45 = 20.652
סנטימטר
שאלה 4 (פונקציית שורש)
סעיף א
תחום ההגדרה הוא x ≥ 0.
סעיף ב
נוסחת הנגזרת של פונקציית שורש היא:
נגזור את הפונקציה
f(x) = 3√x
נציב x = 4 בנגזרת.
f ‘ (4) = 1.5 / √4
f ‘ (4) = 1.5 / 2 = 0.75
סעיף ב חלק שני
נמצא את נקודת ההשקה ואז נוכל למצוא את משוואת המשיק על פי שיפוע ונקודה
נציב x = 4 במשוואת הפונקציה
f (4) = 3*√4 = 3 * 2 = 6
נקודת ההשקה היא 4,6
נמצא את משוואת המשיק על פי השיפוע 0.75 והנקודה 4,6
(y – y1 = m(x – x1
(y – 6 = 0.75 (x – 4
y – 6 = 0.75x – 3 / +6
y = 0.75x + 3
סעיף ג
נקודת קיצון פנימיות מתקבלות כאשר הנגזרת שווה ל 0.
הביטוי:
שווה ל 0 כאשר המונה שווה ל 0.
המונה כאן הוא 1.5 ולעולם אינו שווה ל 0. לכן הנגזרת לא שווה ל 0.
סעיף ג חלק שני
הפונקציה עולה כאשר הנגזרת חיובית ויורדת כאשר הנגזרת שלילית
המונה של הנגזרת הוא 1.5, כלומר חיובי תמיד.
המכנה של הנגזרת הוא שורש בלבד. שורש שני של מספר הוא תמיד חיובי.
לכן הנגזרת חיובית בכול תחום ההגדרה של הפונקציה.
הפונקציה עולה כאשר x ≥ 0.
תרגיל 5 (פונקציית פולינום ואינטגרל)
סעיף א
f (x) = 2x³ – 9x² +12x – 6
בנקודת החיתוך עם ציר ה y מתקיים x=0.
נציב זאת במשוואת הפונקציה
f (0) = 2* 0³ – 9 *0² + 12*0 – 6 = -6
נקודת החיתוך היא 6-, 0
הישר המקביל הוא בעל ערך y קבוע ועובר בנקודה שבה y = -6
לכן משוואת הישר היא:
y = -6
סעיף ב
על מנת למצוא נקודת קיצון נגזור את הפונקציה
f (x) = 2x³ – 9x² +12x – 6
f ‘ (x) = 6x² – 18x + 12
נשווה את הנגזרת ל 0
6x² – 18x + 12 = 0 / :6
x² – 3x + 2 = 0
נפתור את המשוואה הריבועית ונקבל:
x = 2 או x = 1.
נמצא את ערכי ה y של הנקודות על ידי הצבה בפונקציה
f (1) = 2*1³ – 9*1² +12*1 – 6 = -1
הנקודה היא 1-, 1
f (2) = 2*2³ – 9*2² +12*2 – 6 = 16 -36 + 24 – 6
f (2) = -2
הנקודה היא 2-, 2
בגרף רואים שלנקודה A ערך y גדול יותר מלנקודה B. לכן הנקודות הן:
(A (1, -1), B (2, -2
סעיף ג
השטח המבוקש נתון על ידי האינטגרל
נציב באינטגרל ונקבל:
קיבלנו שהשטח שלילי כי השטח נמצא מתחת לציר ה x.
אבל שטח הוא גודל חיובי ולכן השטח הוא 4.5-.
תרגיל 6 (בעיית קיצון)
סעיף א
שטח מלבן שווה למכפלת צלעותיו. לכן:
AD * x = 25
AD = 25 / x
סעיף ב
היקף המלבן החדש הוא:
P = 2(X + 2) + 2*25/x
P = 2x + 4 + 50/x
סעיף ג
עלינו למצוא את נקודת המינימום של הפונקציה שמצאנו בסעיף ב.
P ‘ (x) = 2 – 50/x²
נשווה את הנגזרת ל 0 ונקבל:
2x² = 50
x² = 25
x = 5 או x = -5
מכוון ש x הוא גודל של צלע, גודל חיובי התשובה היא x = 5.
עכשיו עלינו לבדוק אם זו נקודת מינימום.
נעשה זאת בעזרת הנגזרת השנייה.
P ‘ (x) = 2 – 50/x²
P ” (x) = 100/ x³
כאשר x = 5 המונה והמכנה של הנגזרת השנייה חיוביים לכן זו נקודת מינימום.
תשובה: עבור AB = 5 סנטימטר שטח המלבן ALKD הוא מינימלי.
עוד באתר: