יחס דמיון

דף זה נועד לאלו:

1. שכבר יודעים את משפטי דמיון המשולשים.
2. יודעים את החשיבות של סדר האותיות ברישום הדמיון ויודעים לרשום נכון דמיון משולשים.

את שני הדברים הללו ניתן ללמוד בדף דמיון משולשים משפטים והוכחה.

בדף זה נענה על השאלות הבאות:

1. מה הן צלעות מתאימות בין משולשים דומים?
2. כיצד מוצאים את יחס הדמיון?
3. האם יש חשיבות לסדר של רישום הדמיון וכיצד קובעים את הסדר?
4. כיצד מוצאים יחס דמיון בעזרת יחס של שטחי המשולשים.

לאחר השאלות הללו נפתור תרגילים.

1.כיצד מזהים "צלעות מתאימות"?

צלעות מתאימות אלו הן צלעות שמיקום האותיות שלהם ברישום יחס הדמיון הוא אותו מיקום.
למשל, אם אנו יודעים שמתקיים הדמיון:
ARF ∼ UGE
אז הצלעות המתאימות הן:
AR ⇒ UG
AF ⇒ UE
RF ⇒ GE

דוגמה 2

נניח ונתון לנו כי:
ABC ∼KLH

במקרה זה:
הצלע AB – האותיות נמצאות במקומות 1,2 לכן הצלע המתאימה לה היא KL שגם האותיות שלה נמצאות במקום 1-2.
הצלע AC – האותיות נמצאות במקומות 1,3. לכן הצלע המתאימה לה היא KH.
הצלע BC – האותיות נמצאות במקומות 2,3 לכן הצלע המתאימה היא LH.

כאשר אנו רושמים צלעות אין חשיבות לסדר האותיות ברישום הצלע.
הצלע AB והצלע BA זו אותה הצלע ושתיהן מתאימות לצלע KL.

2. כיצד מוצאים את יחס הדמיון?

מוצאים את יחס הדמיון בעזרת שתי הפעולות הבאות:

1. מוצאים במשולשים הדומים שתי צלעות מתאימות שיודעים את גודלן.
2. מחלקים גודל של צלע אחת בגודל של הצלע השנייה. המספר שקיבלנו הוא יחס הדמיון.

ניתן כאן 3 דוגמאות.

שתי דוגמאות עם שרטוט ודוגמה שלישית ללא שרטוט.

דוגמה 1
נתונים 2 משולשים דומים כך ש:
ABC~FDE
צלעות המשולשים נתונות בשרטוט.
מהו יחס הדמיון?

פתרון
נחפש שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלן.

ABC~FDE

AB = 9,  FD = 3 אלו שתי צלעות מתאימות שיודעים את גודלן לכן יחס הדמיון הוא:

יחס הדמיון הוא 3.

המשמעות היא:
במשולש ABC כל הצלעות גדולות פי 3 מהצלעות המתאימות להן במשולש FDE.

דוגמה 2
נתון:  BCA~EFD
אורכי הצלעות BC,AC,DE,EF נתונות בשרטוט.
מהו יחס הדמיון?

פתרון
נחפש שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלן.

BCA~EFD

הצלע BC דומה לצלע EF:

נחלק את הצלעות הידועות על מנת למצוא את יחס הדמיון:

לכן:
במשולש DEF כל הצלעות גדולות פי 2 מהצלעות המתאימות להן במשולש ABC.

דוגמה 3 (ללא שרטוט)
נתון: ABC ~ EFD
בנוסף נתונות הצלעות:
AB = 9 , BC = 6 , ED = 4 , FD = 8
מהו יחס הדמיון?

פתרון

עלינו לזהות שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלם.
נעבור על הצלעות הידועות אחת אחת עד שנמצא אחת שיש לה צלע מתאימה.

ABC ~ EFD

AB = 9
EF היא הצלע המתאימה ואנו לא יודעים אותה.

BC = 6
FD היא הצלע המתאימה ואנו יודעים FD = 6.

נחשב בעזרת שתי הצלעות הללו את יחס הדמיון:

לכן:
יחס הדמיון בין המשולש EFD למשולש ABC הוא 4:3.

 

לאחר שמצאנו את יחס הדמיון, מה עושים?

אם מצאנו כי יחס הדמיון בין המשולשים הוא 4 זה אומר שכל צלע במשולש הגדול גדולה פי 4 מצלע במשולש הקטן.

לכן אם אנו יודעים גודל של צלע במשולש הקטן ניתן להכפיל פי 4 ולמצוא את הצלע המתאימה לה במשולש הגדול.

ואם אנו יודעים צלע במשולש הגדול ניתן לחלק ב 4 ולמצוא את גודל הצלע המתאימה לה במשולש הקטן.

תרגיל 1
בטבלה נתונים הגדלים של צלעות במשולשים דומים.
השלימו את החלקים החסרים בטבלה.

	צלע קטנה	צלע בינונית	צלע גדולה
משולש ABC	3		7
משולש DEF	12	20

את יחס הדמיון קובעים על פי שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלן.

במקרה זה אנו יודעים את שתי הצלעות הקטנות.

נחלק אותן ונמצא את יחס הדמיון.

4 = 12:3

יחס הדמיון בין המשולש הקטן למשולש הגדול הוא 1:4.

כל צלע במשולש DEF גדולה פי 4 מהצלע המתאימה לה במשולש ABC.

לכן הטבלה תראה כך:

	צלע קטנה	צלע בינונית	צלע גדולה
משולש ABC	3	5	7
משולש DEF	12	20	28

4. מה הסדר הנכון לכתיבת יחס הדמיון?

5.מציאת יחס הדמיון באמצעות יחס השטחים של משולשים דומים

6.תרגילים

עוד באתר:

• דמיון משולשים – דברים נוספים שצריך לדעת.
• מתמטיקה לכיתה ח – נושאים נוספים הנלמדים בשנה זו.
• משולשים חופפים.