חפיפת משולשים

הדף מחולק ל 4 חלקים:

  1. היכרות עם שלושת משפטי החפיפה.
  2. כיצד רושמים את חפיפת המשולשים בסדר נכון.
  3. טיפים לפתרון תרגילים.
  4. תרגילים.

התרגילים מחולקים ל 3 רמות קושי: קל, אמצע, קשה.

בדף משולבים הרבה סרטוני וידאו.

אם יש שאלות אתם יכולים להשאיר אותם כתגובה בדף.

בהצלחה!

1. משפטי חפיפה

בסרטון זה הסבר לשלושת משפטי החפיפה והסבר למה בכלל כדאי להוכיח חפיפת משולשים. משך הסרטון 3:25

משפט חפיפה ראשון צ.ז.צ

אם שני משולשים שווים זה לזה באורכי שתי צלעות ובזווית שבין שתי הצלעות השוות הם חופפים.

משפט חפיפה ראשון צ.ז.צ

משפט חפיפה ראשון צ.ז.צ

משפט חפיפה שני ז.צ.ז

אם שני משולשים שווים זה לזה בשתי זוויות ובאורך הצלע שבין שתי הזוויות הם חופפים.

באתר זה פועל צ'אט!
ימים א-ה. שעות 8-19 (עם הפסקות)
מענה לשאלות על התכנים באתר.   שאלות קצרות על תכנים מחוץ לאתר

משפט חפיפה שני ז.צ.ז

משפט חפיפה שני ז.צ.ז

משפט חפיפה שלישי צ.צ.צ

אם שני משולשים שווים זה לזה באורכי 3 צלעותיהם הם חופפים.

משפט חפיפה שלישי צ.צ.צ

משפט חפיפה שלישי צ.צ.צ

עוד באתר:

  1. משפט חפיפה רביעי – צלע, צלע והזווית שמול הצלע הגדולה.
  2. מתמטיקה לכיתה ח – הסברים ותרגילים לחומר הלימוד בשנה זו.
  3. משולש – הדף המרכזי הכולל מידע + קישורים על נושאים רבים.
  4. משולש ישר זווית – מידע ותרגילים.
  5. דמיון משולשים – מידע ותרגילים.

2. חשיבות סדר רישום אותיות בחפיפת משולשים

טעות בסדר רישום האותיות בשאלה והלכה כל השאלה. בסרטון זה הסבר כיצד לרשום את סדר האותיות בצורה נכונה. 2:46

חשיבות סדר הרישום בחפיפת משולשים

חפיפת משולשים נרשמת בצורה הזו ΔABC≅ΔDEF.
סדר האותיות הרשומות חשוב מאוד והוא ההבדל בין תשובה נכונה ללא נכונה.

סדר האותיות מראה לנו איזו צלע שווה לאיזו צלע ואיזו זווית שווה לאיזו זוויות.

זוויות

האות / הזוויות A נמצאת ראשונה ברישום המשולש הראשון ולכן היא שווה לאות / זווית הנמצאת ראשונה במשולש השני – זו הזווית D.
על פי אותו עיקרון:
B=∠E∠
C=∠F∠

צלעות
ΔABC≅ΔDEF

האותיות / צלע BC נמצאות במקומות 2 ו- 3 במשולש הראשון ולכן שוות לאותיות צלע הנמצאות במקומות 2 ו- 3 במשולש השני – צלע EF.
על פי אותו עיקרון:
AB=DE
AC=DF.

3. טיפים

טיפ 1: פרטים קטנים שצריך לשים אליהם לב

חלק מהנתונים בשאלות לא יכתבו במפורש, אלא אתם תצטרכו להסיק אותם.
הנתונים הבולטים הם:

1.זוויות קודקודיות – זוויות קודקודיות הן זוויות שוות ואם בשאלה מופיעות זוויות קודקודית כנראה שאתם צריכים להשתמש בזה.

שימו לב לזוויות קודקודיות

שימו לב לזוויות קודקודיות

2. צלע או זווית משותפת לשני משולשים – נסו לראות אם בין שני המשולשים שאתם צריכים להוכיח חפיפה שלהם יש צלע או זווית משותפת.

שתי דוגמאות לצלע משותפת

שתי דוגמאות לצלע משותפת

3. המילה "חוצים" – לפעמים כאשר אנו קוראים בשאלה את המילה "חוצים" אנו מתייחסים אליה כמו אל המילה "נחתכים". וזו טעות.
כאשר כתובה המילה חוצים הכוונה היא שישר אחד מחלק ישר שני לשני חלקים שווים.
למשל, אם בשרטוט נתון כי

אם AD חוצה את BC זה אומר ש BD= CD = 6

אם AD חוצה את BC זה אומר ש BD= CD = 6

טיפ 2: כיצד להשתמש בחיבור או חיסור צלעות לצורך חפיפת משולשים.

הוכחת שוויון של צלעות באמצעות חיבור או חיסור צלעות זו מיומנות חשובה מאוד שעליכם לרכוש.

נתחיל בהוכחת שוויון צלעות על ידי חיבור צלעות
נסתכל על הישר הבא:
ישר

הנתונים שלנו הם:
AD = EB
DC = EC
ומבקשים מאיתנו להוכיח כי AC = BC.
כיצד עושים זאת?

שלב 1: נגדיר את כל אחד מהישרים שאנו צריכים להוכיח שהם שווים (אלו הישרים AC,BC) באמצעות חיבור צלעות.
AC = AD + DC
וגם
BC = BE + EC
ואז נכתוב:
לכן על פי כלל החיבור:
AC = BC
* "כלל החיבור" הוא: אם מחברים גדלים שווים
לגדלים שווים מקבלים סכומים שווים.

הסבר מפורט הרבה יותר תמצאו בסרטון הוידאו.

טיפ 3: כיצד להשתמש בחיבור או חיסור זוויות לצורך חפיפת משולשים

זה מאוד דומה לחיסור וחיבר צלעות שעשינו קודם לכן.
נניח והשאלה שלנו היא כזו.
שרטוט זוויות

ידוע כי
A = ∠D∠  (הזווית האדומה).
FDH = ∠CAG∠ (הזווית הירוקה).
צריך להוכיח:
BAG = ∠EDH∠ (זו הזווית השמאלית).

פתרון
נגדיר את כל אחד מהזוויות שאנו צריכים להוכיח שהן שוות בעזרת חיסור זוויות.
BAG = ∠A – ∠CAG∠
EDH = ∠D – ∠FDA∠
לכן על פי כלל החיסור
BAG = ∠EDH∠
* "כלל החיסור" הוא: אם מחסרים גדלים שווים מגדלים שווים מקבלים הפרשים שווים.

תרגילים

מצורפים תרגילים ב 3 רמות.

  1. רמה בסיסית – אתם צריכים להכיר את משפטי החפיפה, ולהכיר את הרישום הנכון של חפיפת משולשים.
  2. רמת אמצע – הוכחות קשות יותר, בהם אתם צריכים לעשות פעולות על מנת להגיע אל הנתונים שיוכיחו חפיפה. כולל שימוש בישרים מקבילים.
  3. רמה גבוהה – כולל חיבור וחיסור של צלעות או זוויות. כולל שתי חפיפות משולשים.

תרגילים ברמה בסיסית

בחלק זה 4 תרגילים.
לשלושת התרגילים הראשונים יש פתרון וידאו המופיע לאחר הפתרון הכתוב.

תרגיל 1

זהו מי מבין זוגות המשולשים ניתן לקבוע שהוא חופף.

מי מבין המשולשים הבאים חופפים

פתרון

פתרון התרגיל

תרגיל 2

נתון ΔTKC≅ΔGVW.
מצאו את הזוויות והצלעות השוות לאלו הרשומות מטה
זווית:

  1.  K∠
  2. G∠
  3. W∠

צלעות:

  1. TC
  2. CK
  3. GV

פתרון

ΔTKC≅ΔGVW.
זווית

  1.  K=∠V∠ – אלו האותיות הנמצאות במקום השני.
  2. G=∠T∠ – אלו האותיות הנמצאות במקום הראשון.
  3. W=∠C∠אלו האותיות הנמצאות במקום השלישי.

צלעות

  1. TC=GW  – אלו האותיות הנמצאות במקומות 1 ו- 3.
  2. CK=WV    אלו האותיות הנמצאות במקומות 2 ו- 3.
  3. GV=TK    אלו האותיות הנמצאות במקומות 1 ו- 2.

תרגיל 3

נתונים המשולשים ABD ו- BDC.
DB חוצה את זווית ADC. ו- AD=CD.

  1. הוכיחו: ΔABD≅ΔCBD
  2. רשמו את שלושת השוויונות הנובעים מהחפיפה.

פתרון

קל יותר לפתור את התרגיל כאשר הנתונים מסומנים על השרטוט

שרטוט התרגיל עם הנתונים

  1. AD=CD  – נתון.
  2. BD=BD – צלע משותפת.
  3. ADB=∠CDB∠ – נתון כי BD חוצה זווית CDA.
  4. ΔABD≅ΔCBD משולשים חופפים על פי משפט חפיפה צ.ז.צ.

סעיף ב

  1. BC = BA (צלע)    אותיות הנמצאות במקום 1 ו 2 ברישום החפיפה.
  2. C = ∠A∠   אותיות הנמצאות במקום 1 ברישום החפיפה.
  3. CBD = ∠ABD∠

תרגיל 4

עבור המשולשים המשורטטים מטה נתון:
AD=BC, BO=AO
AOD=∠BOC∠
האם מתקיים ΔAOD≅ΔBOC ?

נתונים עבור תרגיל 2

פתרון
חפיפת המשולשים אינה מתקיימת משום שהזווית השווה אינה נמצאת בין הצלעות השוות – כפי שנדרש במשפט החפיפה הראשון (צ.ז.צ)

על מנת שחפיפת המשולשים הייתה מתקיימת היינו צריכים את הנתון B = ∠A∠.

תרגילים ברמת אמצע

בחלק זה 5 תרגילים.
לתרגיל 2 יש גם פתרון וידאו.

תרגיל 1 (ישרים מקבילים)

בשרטוט המצורף נתון כי AB מקביל ל CD.
AO=OC
הוכיחו BO = DO.

חפיפת משולשים, שרטוט התרגיל

פתרון

  1. AOC = ∠COD∠ זוויות קודקודיות שוות.
  2. DCO = ∠BAO∠  זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  3. AO=OC נתון.
  4. ABO≅ CDO על פי משפט חפיפה ז.צ.ז.
  5. BO=DO צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.

תרגיל 2 (שימוש בחפיפה קודמת)

המשולשים ABC ≅DEC.
במשולש ABC מעבירים תיכון AH ובמשולש DEF מעבירים תיכון DG.
הוכיחו כי AHB≅DGE.

שרטוט התרגיל

פתרון טקסט

  1. AB=DE צלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
  2. ABH = ∠DEG∠ זוויות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
  3. CB=FE צלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
  4. BH = 0.5CB = 0.5FE=GE נובע מ 3 ומכך ש AH ו DG הם תיכונים.
  5. AHB≅DGE משולשים חופפים על פי צ.ז.צ. (נובע מ 1,2,4).

פתרון וידאו

תרגיל 3 (כולל שימוש בחיסור זוויות)

נתון AC חוצה את הזווית BCD∠.
BCD=100∠.
DBC=50∠
A=∠D∠
הוכיחו: ΔABC≅ΔDCB

שרטוט תרגיל 3

 

פתרון
נציג את הנתונים בשרטוט.

הנתונים בשרטוט - תרגיל 3

הנתונים בשרטוט – תרגיל 3

ננסה להוכיח חפיפה על פי משפט חפיפה שני – ז.צ.ז

  1. BC=BC  – צלע משותפת.   (הוכחה של שוויון צלע במשולשים)
  2. ACB=∠DCA∠=50∠  – נתון AC חוצה זווית.
  3. DBC=∠ACB=50∠  – נובע מסעיף 2 והנתונים.      (הוכחה של שוויון זוויות במשולשים).
  4. עכשיו נעבור להוכחת שוויון הזוויות השנייה:
    CBA=180 – ∠A – 50 = 130 – ∠A∠
    BCD = 180- ∠D – 50 = 130 – ∠D∠
    השוויונות שלמעלה נובעות מכך שהזוויות BCD,  CBA משלימות ל 180 מעלות במשולשים DBC ו- ACD.
    ומכוון ש:
    A = ∠D∠
    אז CBA = ∠BCD∠
  5. ΔABC≅ΔDCB – על פי משפט חפיפה ז.צ.ז – נובע משורות 1,3,4.

מה הייתם צריכים ללמוד בתרגיל זה?

  1. לדעת כיצד מוכיחים (וכותבים) שאם בין שני משולשים 2 זוויות שוות אז גם הזווית השלישית שווה (שורה 4).
  2. לשים לב לצלע משותפת.
  3. לשים לב לחוצי זווית.

תרגיל 4

במשולש שווה שוקיים ABC (כאשר AB = AC) מעבירים את הגובה AD אל הבסיס.
הנקודה E נמצאת על הגובה AD.
הוכיחו כי:

  1. BED ≅ CED
  2. BEA ≅ CEA

חפיפת משולשים

פתרון

  1. BDE = ∠ CDE∠   נתון AD גובה.
  2. BD = CD כי במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס הוא גם תיכון.
  3. ED צלע משותפת למשולשים BDE, CDE.
  4. BED ≅ CED על פי צ.ז.צ

חלק שני: הוכחת חפיפת המשולשים  BEA ≅ CEA
ניתן להוכיח את החפיפה הזו בכמה דרכים

  1. EB= EC צלעות מתאימות שוות בין משולשים חופפים.
  2. AB = AC נתון המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים.
  3. AE צלע משותפת למשולשים BEA,  CEA.
  4. BEA ≅ CEA  חפיפת משולשים על פי צ.צ.צ

אפשרות נוספת להוכחת החפיפה:

  1. BAE = ∠CAE∠  במשולש שווה שוקיים ABC הגובה לבסיס הוא גם חוצה זווית.
  2. AB = AC נתון המשולש ABC הוא משולש שווה שוקיים.
  3. AE צלע משותפת למשולשים BEA,  CEA.
  4. BEA ≅ CEA  חפיפת משולשים על פי צ.ז.צ

תרגיל 5 (שימוש בתכונות מקבילית)

נתונה מקבילית ABCD.
את האלכסון AC מאריכים כך  ש AE=CF.
הוכיחו EB = FD.

שרטוט התרגיל

פתרון

  1. AB= CD צלעות נגדיות במקבילית שוות זו לזו.
  2. DCA = ∠CAB∠  זוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים.
  3. EAB = 180 – ∠CAB∠
  4. FCD = 180 – ∠DCA∠
  5. EAB = ∠FCD∠ נובע מ 2,3,4
  6. FCD ≅ EAB  משולשים חופפים על פי צ.ז.צ. (נובע מ 1,2,6).

תרגילים קשים

התרגילים הללו כוללים שני חפיפות משולשים ו/ או שימוש בחיבור וחיסור צלעות או זוויות.

תרגיל 1 (שימוש בחיסור זוויות)

נתונים שני משולשים; ABC ו DEF.
נתון DE מקביל ל AC.
EF מקביל ל AB.
EF=AB

הוכיחו ומצאו איזה משולש חופף למשולש ABC.

הוכחת חפיפת משולשים

פתרון

  1. EF=AB נתון.
  2. ABC = ∠EFD∠ זוויות מתאימות שוות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  3. EDF = ∠ACB∠ זוויות מתאימות שוות בין ישרים מקבילים שוות זו לזו.
  4. E = 180 – ∠EDF  – ∠EFD∠ סכום זוויות במשולש EDF הוא 180 מעלות.
  5. A = 180 – ∠ACB – ∠ ABC∠ סכום זוויות במשולש ABC הוא 180 מעלות.
  6. A = ∠E∠ כלל החיסור
  7. ABC ≅ EFD משולשים חופפים על פי ז.צ.ז

פתרון וידאו

תרגיל 2 (שימוש חיבור צלעות)

נתונים משולשים ΔABC ו- ΔDEF.
נתונים שוויוני הצלעות הבאים:
AC=DE, FC=DB, EF=AB.
הוכיחו: ΔABC≅ΔEFD

שרטוט תרגיל 4

שרטוט תרגיל 4

פתרון

נוסיף את נתוני התרגיל בשרטוט

נתוני תרגיל 4 בשרטוט

נתוני תרגיל 4 בשרטוט

נוכיח את החפיפה בעזרת המשפט השלישי  – צ.צ.צ

  1. AC=DE  – נתון.
  2. EF=AB.  – נתון.
  3. כעת נוכיח את השוויון של הצלע השלישית בעזרת חיבור של צלע משותפת.
    DF = DB+BF
    CB = CF+BF
    DF=CB  – כלל החיסור
  4. ΔABC≅ΔEFD – על פי משפט חפיפה שלישי – צ.צ.צ.

פתרון וידאו

תרגיל 3 (שימוש בחיסור צלעות, שתי חפיפות משולשים)

בצורה המשורטטת מטה נתון AB=CB ו- CE=AD.
הוכיחו:

  1. ΔABE≅ΔCBD.
  2. ΔAOD≅ΔCOE.
שרטוט תרגיל 5

שרטוט תרגיל 5

פתרון

1.נוכיח את החפיפה בעזרת צ.ז.צ

  1. AB=CB  – נתון.   (הוכחת צלע).
  2. B=∠B∠ – זווית משותפת.  (הוכחת זווית).
  3. DB=AB-AD
    BE=CB-CE
    על פי כלל החיסור
    DB=BE   (הוכחת צלע).
    (בשורה שלמעלה נעשה שימוש בשתי השוויונות AB=CB ו- CE=AD).
  4. ΔABE≅ΔCBD. – על פי משפט חפיפה ראשון צ.ז.צ.

סעיף 2: הוכחת ΔAOD≅ΔCOE.
נעשה זאת בעזרת משפט חפיפה שני – ז.צ.ז.

  1. A=∠C∠   –  זוויות מתאימות במשולשים חופפים ΔABE≅ΔCBD..
  2. CE=AD  – נתון.
  3. עכשיו נוכיח שיש עוד זווית שווה במשולשים.
    BDC=∠BEA∠  – זוויות מתאימות במשולשים חופפים ΔABE≅ΔCBD..
    ADO=∠180-∠BDC∠.
    CEO = 180 – ∠BEA∠ זוויות צמודות משלימות ל- 180 מעלות.
    מכוון ש BDC=∠BEA∠ אז על פי כלל החיסור
    ADO=∠CEO∠
    הערה: שימו לב שיינו יכולים להשתמש גם בזוויות הקודקודיות סביב הנקודה O ולאחר מיכן להשתמש בתכונה שבמשולש זוויות משלימות ל- 180 מעלות על מנת להוכיח ADO=∠CEO∠.
  4. ΔAOD≅ΔCOE  – על פי משפט חפיפה שני – ז.צ.ז.

מה הייתם אמורים ללמוד מתרגיל זה?

  1. לשים לב לזווית משותפת (בסעיף 1).
  2. לדעת להסיק נתונים מחפיפת משולשים שכבר ביצעתם לצורך חפיפת משולשים נוספת.
  3. לשים לב לזוויות צמודות / קודקודיות וכיצד הם עוזרות להוכיח חפיפה.
  4. לדעת לרשום זוויות כביטוי של חיסור שתי זוויות אחרות ולהגיע לשוויון זוויות בצורה זו.

פתרון התרגיל בתמונות

תרגיל 4

במשולש שווה שוקיים (AB=AC) מעבירים את חוצה הזווית BD ואת חוצה הזווית CE.
הוכיחו כי

1. המשולש ADE הוא משולש שווה שוקיים.
2. ** הוכיחו כי המרובע CEDB הוא טרפז שווה שוקיים.

חפיפת משולשים, שרטוט התרגיל

פתרון

שלב 1: נוכיח את חפיפת המשולשים EBC ≅ DCB

  1. B = ∠C∠ זוויות הבסיס במשולש שווה שוקיים שוות זו לזו (הזווית האדומה בשרטוט למטה).
  2. DBC = 0.5∠ B = 0.5∠C = ∠ECB∠ נתון BD ו CE חצי זווית (הזווית השחורה בשרטוט למטה).
  3. BC צלע משותפת למשולשים EBC ו DCB.
  4. EBC ≅ DCB משולשים חופפים על פי ז.צ.ז.
הוכחת חפיפת המשולשים על פי ז.צ.ז

הוכחת חפיפת המשולשים על פי ז.צ.ז

שלב 2: נוכיח שמשולש ADE שווה שוקיים בעזרת חיסור צלעות.

  1. EB=DC צלעות מתאימות בין משולשים חופפים.
  2. AB = AC נתון.
  3. AE = AB- EB
    AD = AC- DC
    לכן: AD = AE
  4. AE=AD כלומר משולש ADE הוא שווה שוקיים.

סעיף ב: (הוכחת הטרפז)
הערה: על מנת להוכיח שהמרובע BCDE הוא טרפז עלינו להוכיח שהישרים BC, DE הם ישרים מקבילים. והישרים CD, BE אינם מקבילים.

  1. ADE = (180 – ∠A) / 2∠ (נובע מכך שסכום זוויות במשולש הוא 180 ומכך שזוויות הבסיס שוות).
  2. ABC = (180 – ∠A) / 2∠
  3. ADE = ∠ABC∠  נובע מ 1,2.
  4. ED מקביל ל BC. נובע מ 3. אם זוויות מתאימות שוות זו לזו אז הישרים מקבילים.
  5. הישרים EC ו DB נפגשים בנקודה A. לכן הם לא מקבילים.
  6. CEDB טרפז. נובע מ 4,5.

הוכחת טרפז שווה שוקיים:
הערה: ניתן להוכיח שטרפז הוא שווה שוקיים על ידי הוכחה שאלכסוני הטרפז שווים.

  1. EB=DC צלעות מתאימות בין משולשים חופפים. (מספר 4 בחלק הראשון).
  2. CEDB טרפז שווה שוקיים. טרפז שבו האלכסונים שווים זה לזה הוא טרפז שווה שוקיים.

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? השאירו אותה במערכת התגובות או פנו אלי בצאט.

10 thoughts on “חפיפת משולשים

  1. ציון חי חסון

    אין לך מושג כמה האתר שלך עוזר לי אני פשוט נהנה ללמוד . אני מתחיל ללמוד אחרי הפסקה של 15 שנה (הוצאתי בגרות 5 יח"ל מתמטיקה פיזיקה אמנם נכנסתי לישיבה 4 שנים ולאחר מכן הייתי אברך 11 שנים נוספות ב"ה ) והאתר שלך מצוין משמח לראות שיש אנשים שרוצים לעזור ועוזרים מכל הלב ירבו כמותך בישראל

    1. לומדים מתמטיקה מאת

      שלום.
      הנתונים היו AC=DE
      EF=AB
      במהלך ההוכחה הוכחנו גם DF=CB
      אלו 3 צלעות שוות ובגלל זה המשולשים חופפים.
      מקווה שזה מובן יותר.

  2. יון

    ממש ממש ממש טוווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווווובבבבבבבבבבבב

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.