יחס דמיון

דף זה נועד לאלו:

  1. שכבר יודעים את משפטי דמיון המשולשים.
  2. יודעים את החשיבות של סדר האותיות ברישום הדמיון ויודעים לרשום נכון דמיון משולשים.

את שני הדברים הללו ניתן ללמוד בדף דמיון משולשים משפטים והוכחה.

בדף זה נענה על השאלות הבאות:

  1. מה הן צלעות מתאימות בין משולשים דומים?
  2. כיצד מוצאים את יחס הדמיון?
  3. האם יש חשיבות לסדר של רישום הדמיון וכיצד קובעים את הסדר?
  4. כיצד מוצאים יחס דמיון בעזרת יחס של שטחי המשולשים.

לאחר השאלות הללו נפתור תרגילים.

1.כיצד מזהים "צלעות מתאימות"?

צלעות מתאימות אלו הן צלעות שמיקום האותיות שלהם ברישום יחס הדמיון הוא אותו מיקום.
למשל, אם אנו יודעים שמתקיים הדמיון:
ARF ∼ UGE
אז הצלעות המתאימות הן:
AR ⇒ UG
AF ⇒ UE
RF ⇒ GE

2. כיצד מוצאים את יחס הדמיון?

מוצאים את יחס הדמיון בעזרת שתי הפעולות הבאות:

  1. מוצאים במשולשים הדומים שתי צלעות מתאימות שיודעים את גודלן.
  2. מחלקים גודל של צלע אחת בגודל של הצלע השנייה. המספר שקיבלנו הוא יחס הדמיון.

על מנת למצוא את יחס הדמיון עלינו להכיר את המושג "צלעות מתאימות".
צלעות מתאימות אלו הן צלעות שמיקום האותיות שלהן ברישום שני המשולשים הוא זהה.
נניח ונתון לנו כי:
ABC ∼KLH
במקרה זה:
הצלע AB – האותיות נמצאות במקומות 1,2 לכן הצלע המתאימה לה היא KL שגם האותיות שלה נמצאות במקום 1-2.
הצלע AC – האותיות נמצאות במקומות 1,3. לכן הצלע המתאימה לה היא KH.
הצלע BC – האותיות נמצאות במקומות 2,3 לכן הצלע המתאימה היא LH.

כאשר אנו רושמים צלעות אין חשיבות לסדר האותיות ברישום הצלע.
הצלע AB והצלע BA זו אותה הצלע ושתיהן מתאימות לצלע KL.

לאחר שמצאנו את יחס הדמיון, מה עושים?

אם מצאנו כי יחס הדמיון בין המשולשים הוא 4 זה אומר שכל צלע במשולש הגדול גדולה פי 4 מצלע במשולש הקטן.
לכן אם אנו יודעים גודל של צלע במשולש הקטן ניתן להכפיל פי 4 ולמצוא את הצלע המתאימה לה במשולש הגדול.
ואם אנו יודעים צלע במשולש הגדול ניתן לחלק ב 4 ולמצוא את גודל הצלע המתאימה לה במשולש הקטן.

תרגיל 1
בטבלה נתונים הגדלים של צלעות במשולשים דומים.
השלימו את החלקים החסרים בטבלה.

 צלע קטנהצלע בינוניתצלע גדולה
משולש ABC3 7
משולש DEF1220 

פתרון
את יחס הדמיון קובעים על פי שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלן.
במקרה זה אנו יודעים את שתי הצלעות הקטנות.
נחלק אותן ונמצא את יחס הדמיון.
4 = 12:3

יחס הדמיון הוא 1:4.
כל צלע במשולש DEF גדולה פי 4 מהצלע המתאימה לה במשולש ABC.
לכן הטבלה תראה כך:

 צלע קטנהצלע בינוניתצלע גדולה
משולש ABC357
משולש DEF122028

תרגיל 2
המשולשים ABC ∼ KHT הם משולשים דומים.
AB = 6,  AC = 8,  KT = 24 סנטימטר.

  1. מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים.
  2. גודל של איזו צלע נוספת ניתן למצוא? מצאו את גודלה.

פתרון
על מנת למצוא את יחס הדמיון עלינו למצוא שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלן.

אתם מורים פרטיים?
אני מציע פרסום תמורת עבודת שדרוג קטנה באתר וללא תשלום.
פרטים כאן

עבור הצלע AB
האותיות בצלע AB נמצאות במקום 1-2 ברישום המשולש ABC.
לכן KH זו הצלע המתאימה לה.
אך אנחנו לא יודעים את גודל KH ולכן לא ניתן להשתמש בצלעות AB, KH לצורך חישוב יחס הדמיון.

עבור הצלע AC
האותיות AC נמצאות במיקום 1-3 ברישום המשולש ABC.
לכן KT זו הצלע המתאימה.
אנו יודעים את את הגודל של שתי הצלעות.
AC = 8,  KT = 24
לכן יחס הדמיון בין המשולשים יהיה:
3 = 8 : 24.

יחס דמיון זה אומר לנו שכל צלע במשולש KHT גדולה פי 3 מהצלע המתאימה לה במשולש ABC.

סעיף ב: מציאת גודל של צלע נוספת
ABC ∼ KHT
בסעיף א ראינו שאנו לא יודעים את הגודל של הצלע המתאימה ל AB.
עכשיו נוכל לחשב את הצלע המתאימה בעזרת יחס הדמיון.
הצלע המתאימה היא KH והיא גדולה פי 3 מהצלע AB.
18 = 3* 6.

תרגיל 3
נתון דמיון המשולשים ADF ∼ LKC.
נתונים גדלי הצלעות:
KC = 12,  CL = 15, AF = 2.5

  1. מצאו את יחס הדמיון.
  2. מצאו גודל של צלע נוספת.

פתרון
עבור הצלע KC
KC במקומות 2-3. לכן הצלע המתאימה היא DF.
את גודל הצלע DF אנו לא יודעים לכן לא ניתן לחשב כך את יחס הדמיון.

עבור הצלע CL
CL במקומות 1-3. לכן הצלע המתאימה היא AF.
אנו יודעים CL = 15, AF = 2.5.
לכן ניתן לחשב בעזרת החלוקה שלהם את יחס הדמיון.
6 = 2.5 : 15

כלומר כל צלע במשולש הגדול גדולה פי 6 מהצלע המתאימה לה במשולש הקטן.

סעיף ב: מציאת צלע נוספת
ADF ∼ LKC.
ראינו בסעיף א שאת הצלע KC אנו יודעים אך לא את הצלע המתאימה לה DF.
יחס הדמיון אומר ש KC גדולה פי 6  מ DF.
2 = 6 : 12
DF = 2.

תרגיל 4
ידוע שהמשולשים דומים ADF ∼ LKC.
על סמך הנתונים שבשרטוט השלימו את שתי הצלעות שגודלן לא ידוע.

פתרון
סעיף א
ADF ∼ LKC
עלינו למצוא שתי צלעות מתאימות שאנו יודעים את גודלן.
נבחר משולש אחד (נניח ABC) ונבדוק האם אנו יודעים את הצלע המתאימה של אחד הצלעות שלו.
תזכורת: צלעות מתאימות מוצאים רק על פי רישום הדמיון ולא על פי השרטוט.

עבור הצלע AD
הצלע המתאימה היא LK.
LK = 4
לכן ניתן לחשב את יחס הדמיון באמצעות הצלעות הללו.
1.5 = 4 : 6

ADF הוא המשולש עם הצלעות הגדולות יותר ולכן יחס הדמיון יכתב כך:
1 : 1.5
ניתן ורצוי לכתוב את היחס כך:
2 : 3

סעיף ב:
הצלע השנייה שאנו יודעים במשולש ADF היא:
ADF ∼ LKC
AF = 15
הצלע המתאימה לה היא LC, והיא קטנה ממנה פי 1.5.
LC = 15 : 1.5 = 10

הצלע השנייה שאנו יודעים במשולש LKC היא CK.
הצלע המתאימה לה היא AF והיא גדולה ממנה פי 1.5.
CK = 8 * 1.5 = 12

תשובה: CK = 12,   LC = 10.

שני תרגילים נוספים הפתורים בוידאו בלבד:

4. מה הסדר הנכון לכתיבת יחס הדמיון?

אם יש לנו שני משולשים דומים שבהם צלעות במשולש אחד גדולות פי 4 מצלעות במשולש שני.
האם נרשום את יחס הדמיון
כך :  4 : 1
או כך : 1 : 4

התשובה היא שאם כתבו לנו את סדר המשולשים בשאלה. למשל
"מצאו את יחס הדמיון בין ABC ∼ DEF"
אז עלינו לשמור על אותו סדר בכתיבת יחס הדמיון.

אם נכתוב "יחס הדמיון הוא 4 : 1".
זה אומר שצלעות משולש DEF גדולות פי 4 מצלעות משולש ABC.
אם נכתוב "יחס הדמיון הוא 1 : 4".
זה אומר שצלעות משולש ABC גדולות פי 4 מצלעות משולש DEF.

אם סדר המשולשים לא כתוב לנו בשאלה אז אנו יכולים לכתוב את יחס הדמיון על פי הסדר שנבחר.

5.מציאת יחס הדמיון באמצעות יחס השטחים של משולשים דומים

עד עכשיו למדנו למצוא את יחס הדמיון בעזרת היחס שבין הצלעות של משולשים דומים.

בנוסף ניתן למצוא את יחס הדמיון באמצעות יחס השטחים של משולשים דומים.

המשפט אומר שיחס השטחים בין משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון.
למשל, אם יחס הדמיון בין שני משולשים הוא 3 : 1
אז נעלה את היחס הזה בריבוע ונמצא את יחס השטחים:
3² :1²
9 : 1.
יחס השטחים הוא 1:9.

אם יחס הדמיון הוא 5 : 2
אז נעלה את היחס הזה בריבוע ונמצא את יחס השטחים:
5² :2²
25 : 4.
יחס השטחים הוא 4:25

ובמקרה ההפוך כאשר ידוע לנו יחס השטחים נוציא שורש לשני חלק היחס ונמצא את יחס הדמיון.
אם יחס השטחים הוא 16 : 1
אז יחס הדמיון הוא
16√ : 1√
4 : 1
יחס הדמיון הוא 1:4

אם יחס השטחים 4 : 9
אז יחס הדמיון הוא
4√ : 9√
2 : 3
יחס הדמיון הוא 3:2

6.תרגילים

תרגיל 1
בטבלה מוצגים נתונים.

  1. השלימו את הנתונים החסרים בטבלה.
  2. קבעו מה היקף כל אחד מהמשולשים.
 צלע קטנהצלע בינוניתצלע גדולהשטחי המשולשים
משולש ABC24 10
משולש DEF  20160

פתרון
סעיף א: השלמת הטבלה
אנו רואים ששטח משולש אחד גדול פי 16 משטח משולש שני.
יחס הדמיון הוא שורש יחס השטחים:
4 = 16√
יחס הדמיון הוא 1:4.
כל צלע במשולש הגדול גדולה פי 4 מצלע במשולש הקטן.
הטבלה תראה כך:

 צלע קטנהצלע בינוניתצלע גדולהשטחי המשולשים
משולש ABC24510
משולש DEF81620160

סעיף ב: חישוב ההיקף
על פי הנתונים בטבלה ניתן לראות שהיקף משולש ABC הוא:
11 = 5 + 4 + 2
היקף משולש DEF הוא:
44 = 20 + 16 + 8

תרגיל 2: הבנת משמעות סדר כתיבת האותיות ללא שרטוט
נתון כי ΔSDK ∼ ΔTEB.
מצאו את את הצלעות המתאימות לצלעות: KD, TB
מצאו את הזוויות המתאימות לזוויות: E, ∠S∠

פתרון

  1. KD הן האותיות הנמצאות במקום 3 ו- 2. ולכן הצלע השווה מוגדרת על ידי האותיות הנמצאות במקומות 3 ו- 2 של המשולש השני, וזו הצלע BE.
  2. צלע TB דומה לצלע SK – שוב פעם בגלל מיקום האותיות.

בנוגע לזוויות:

  1. E=∠D∠ – שתיהן במקום השני של סדר רישום הדמיון.
  2.  S =∠T∠ – שתיהן במקום הראשון של סדר רישום הדמיון.

תרגיל 3
נתון כי ΔABC ∼ ΔDEF  וכי יחס הדמיון הוא 3 (משולש ΔABC גדול יותר).
כמו כן מתקיים:

  1. צלע BC=6 ס"מ.
  2. צלע FD=1 ס"מ.
  3. D = 50∠ מעלות.
  4. שטח משולש ABC הוא 18 סמ"ר.

א. מצאו את גדלי הצלעות, והזוויות המתאימות.
ב. מצאו את שטח משולש ΔDEF.
ג. פי כמה גדול היקף משולש ΔABC מהיקף משולש ΔDEF ?
ד. בכמה גדול היקף משולש ΔABC מהיקף משולש ΔDEF ?

תשובות סופיות:
א. EF=2 ס"מ.  CA=3 ס"מ.  A=50∠.
ב. שטח משולש DEF הוא 2 סמ"ר.
ג. היקף משולש ΔABC גדול פי 3 מהיקף משולש ΔDEF.
ניתן לדעת זאת גם מבלי לדעת את הגודל המדויק של צלעות המשולשים.
ד. לא ניתן לדעת.

פתרון מלא
במשולשים דומים:

  1. יחס הצלעות הוא כיחס הדמיון (בשאלה זו יחס הדמיון הוא 3).
  2. הזוויות שוות זו לזו.
  3. יחס שטחי המשולשים הוא כריבוע יחס הדמיון (בשאלה זו יחס השטחים הוא 3²=9).

לכן
סעיף א: מציאת הגדלים של הזוויות והצלעות המתאימות.
נתון: ΔABC ∼ ΔDEF
BC = 6, FD  =1

  1. הצלע המתאימה ל- BC היא EF והיא קטנה ממנה פי 3.
    EF=6:3=2 ס"מ.
  2. הצלע המתאימה לצלע FD היא CA והיא גדולה ממנה פי 3.
    CA=1*3=3 ס"מ.
  3. הזווית המתאימה ל- D∠ היא A∠ והן שוות אחת לשנייה.
    A=50∠ מעלות.

סעיף ב:
שטח משולש ABC הוא 18 סמ"ר ושטח משולש DEF קטן ממנו פי 9=3².
18:9=2.
שטח משולש DEF הוא 2 סמ"ר.

סעיף ג + סעיף ד
בנוגע ליחס היקפי המשולשים:
יחס ההיקפים של משולשים דומים הוא כיחס הדמיון – במקרה הזה 3.
לכן היקף משולש ΔABC גדול פי 3 מהיקף משולש ΔDEF.

אבל לא ניתן "ב " כמה גדול היקף משולש אחד מהיקף משולש אחר – משום שאנו יודעים רק את יחס הצלעות ולא את הפרש הגדלים של הצלעות

תרגיל 4
ידוע הדמיון ABC ∼ DEF.
שטח משולש ABC הוא 40 סמ"ר.
שטח משולש DEF הוא 10 סמ"ר.

  1. מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים.
  2. DE = 6 סנטימטר מצאו את אורך הצלע המתאימה לה.

פתרון
סעיף א
4 = 10 : 40
מכוון שמשולש ABC גדול יותר היחס בין השטחים בסדר הזה:
1 : 4
יחס הדמיון הוא:
1 : 2
כל צלע במשולש ABC גדולה פי 2 מהצלע המתאימה לה במשולש DEF.

סעיף ב
ABC ∼ DEF
DE = 6
הצלע המתאימה ל DE היא AB והיא גדולה ממנה פי 2.
AB = 6 * 2 = 12
תשובה: AB = 12 סנטימטר.

תרגיל 5
ידוע הדמיון ABC ∼ DEF.
שטח משולש ABC הוא 20 סמ"ר.
שטח משולש DEF הוא 100 סמ"ר.

  1. מצאו את יחס הדמיון בין המשולשים.
  2. EF = 10 סנטימטר מצאו את אורך הצלע המתאימה לה.

פתרון
5 = 20 : 100
מכוון ששטח משולש DEF גדול יותר היחס בין השטחים יכתב בסדר הזה:
5 : 1
היחס בין הצלעות (יחס הדמיון) הוא השורש של היחס בין השטחים
5√ : 1
2.23 : 1
(ניתן לרשום תשובה בשני האופנים).

סעיף ב
ABC ∼ DEF
הצלע המתאימה ל EF היא BC.
EF שייכת למשולש שצלעותיו גדולים יותר לכן אנו צריכים לחלק ב 2.23 על מנת למצוא את BC.
BC = 10 : 2.23 = 4.48
תשובה: BC = 4.48 סנטימטר.

תרגיל 6
ידוע כי דמיון המשולשים ABC ∼ DEF
רשומים כאן יחסי שטחים בין משולשים.
רשמו את יחס הדמיון בן המשולשים.

פתרון
על מנת למצוא יחס הדמיון נוציא שורש לכל אחד מהיחסים שקיבלנו.

תרגיל 1

יחס הדמיון הוא 4:1.

תרגיל 2

יחס הדמיון הוא 3:5

תרגיל 3

יחס הדמיון הוא 2:10.

עוד באתר:

אהבתם? שתפו עם בני משפחה וחברים

יש לכם שאלה? דברו איתי בצאט או השאירו תגובה
מצאתם טעות? יש לכם רעיון לשיפור האתר? כתבו לי 

2 thoughts on “יחס דמיון

  1. תמר כהן

    אני תלמידה בכיתה ח במגמה הטכניונית. האתר מאוד עזר לי להבין את הנושא.
    שיתפתי לחבריי לכיתה, תודה רבה !

כתיבת תגובה

האימייל לא יוצג באתר.